(共24张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：24.2 直角三角形的性质
副标题：探索直角三角形的边、角与特殊线段规律
适用教材：华东师大版数学九年级上册
授课教师：[具体姓名]
授课班级：[具体班级]
授课时间：[具体时间]
设计思路：以 “定义回顾→性质推导→定理应用” 为逻辑，突出直角三角形的特殊性与实用性
幻灯片 2：课程导入
复习回顾：
提问 1：什么是直角三角形？（预设答案：有一个角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形，直角所对的边叫做斜边，另外两条边叫做直角边）
提问 2：任意三角形都具有哪些性质？（学生回答：内角和为 180°、两边之和大于第三边、大角对大边等）
情境展示：
图片 1：建筑中的直角三角支架（如屋顶桁架、空调外机支架），利用直角三角形的稳定性和特殊边长关系承重；
图片 2：直角三角板（30°-60°-90° 和 45°-45°-90°），标注各边长度（如 30° 三角板三边比 1:√3:2，45° 三角板三边比 1:1:√2）；
引导提问：直角三角形作为特殊的三角形，除了具备普通三角形的性质，还拥有哪些独特的性质？比如斜边与直角边的关系、特殊角度对应的边长规律、斜边上的中线有什么特点？今天我们就来深入探索直角三角形的性质。
幻灯片 3：性质 1—— 直角三角形的两个锐角互余
定理推导：
已知：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°（如图）。
求证：∠A + ∠B = 90°（互余）。
证明：
任意三角形内角和为 180°，即∠A + ∠B + ∠C = 180°；
∵ ∠C = 90°，代入得∠A + ∠B + 90° = 180°；
∴ ∠A + ∠B = 90°，即∠A 与∠B 互余。
定理表述：直角三角形的两个锐角互余（简记为 “直角三角形两锐角和为 90°”）。
几何语言：在 Rt△ABC 中，∵ ∠C = 90°（已知），∴ ∠A + ∠B = 90°（直角三角形两锐角互余）。
应用示例：
在 Rt△ABC 中，∠A = 35°，则∠B = 90° - 35° = 55°；若∠A = ∠B，则∠A = ∠B = 45°（等腰直角三角形）。
幻灯片 4：性质 2—— 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
定理推导（实验与证明结合）：
实验探究：
画 Rt△ABC，∠C = 90°，取斜边 AB 的中点 D，连接 CD（斜边上的中线）；
用刻度尺测量 CD 和 AB 的长度（如 AB = 8cm，CD = 4cm），发现 CD = \(\frac{1}{2}\)AB；
更换直角三角形（如∠A = 30° 的 Rt△），重复测量，结论依然成立。
理论证明：
延长 CD 到 E，使 DE = CD，连接 AE、BE；
∵ D 是 AB 中点，∴ AD = BD；
在△ACD 和△BED 中，\(\begin{cases}CD = ED \\ ADC = BDE \\ AD = BD\end{cases}\)，∴ △ACD ≌ △BED（SAS）；
∴ AC = BE，∠ACD = ∠BED，∴ AC ∥ BE（内错角相等，两直线平行）；
∵ ∠ACB = 90°，∴ ∠CBE = 90°（两直线平行，同旁内角互补）；
∴ 四边形 ACBE 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）；
∴ AB = CE（矩形对角线相等），又∵ CD = \(\frac{1}{2}\)CE，∴ CD = \(\frac{1}{2}\)AB。
定理表述：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何语言：在 Rt△ABC 中，∵ ∠C = 90°，D 是 AB 中点（CD 是斜边上的中线），∴ CD = \(\frac{1}{2}\)AB = AD = BD。
重要推论：
若直角三角形斜边上的中线等于某条直角边，则该直角三角形是等腰直角三角形（如 CD = AC，则 AC = \(\frac{1}{2}\)AB，∠B = 30°？不，CD = AC = AD，故△ACD 是等边三角形，∠A = 60°，∠B = 30°，需结合具体条件判断）；
直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等（D 是 AB 中点，CD = AD = BD）。
幻灯片 5：性质 3—— 含 30° 角的直角三角形的性质
定理推导：
实验观察：
画 Rt△ABC，∠C = 90°，∠A = 30°，测量 BC 和 AB 的长度（如 AB = 6cm，BC = 3cm），发现 BC = \(\frac{1}{2}\)AB；
理论证明：
取斜边 AB 的中点 D，连接 CD（斜边上的中线）；
由性质 2，CD = \(\frac{1}{2}\)AB = AD = BD；
∵ ∠A = 30°，∠ACB = 90°，∴ ∠B = 60°；
∴ △BCD 是等边三角形（BD = CD，∠B = 60°），∴ BC = BD；
又∵ BD = \(\frac{1}{2}\)AB，∴ BC = \(\frac{1}{2}\)AB。
定理表述：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
几何语言：在 Rt△ABC 中，∵ ∠C = 90°，∠A = 30°（已知），∴ BC = \(\frac{1}{2}\)AB（含 30° 角的直角三角形，30° 角对的直角边等于斜边的一半）。
逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30°（如 BC = \(\frac{1}{2}\)AB，则∠A = 30°）。
应用示例：
若 Rt△ABC 中，∠A = 30°，斜边 AB = 10cm，则 BC = 5cm；若直角边 BC = 4cm，则斜边 AB = 8cm。
幻灯片 6：性质 4—— 直角三角形的勾股定理
定理回顾与强化：
定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（若直角边为 a、b，斜边为 c，则\(a^2 + b^2 = c^2\)）。
推导思路（弦图法简介）：
展示赵爽弦图：以直角三角形的三边为边长，分别向外作正方形，通过面积关系推导\(a^2 + b^2 = c^2\)（大正方形面积 = 小正方形面积 + 4 个直角三角形面积）；
常见勾股数：
整数勾股数：（3，4，5）、（5，12，13）、（6，8，10）（倍数关系）、（7，24，25）等；
特殊角度勾股数：30°-60°-90° 三角形三边比 1:√3:2（如 a=1，b=√3，c=2）；45°-45°-90° 三角形三边比 1:1:√2（如 a=1，b=1，c=√2）。
几何语言：在 Rt△ABC 中，∵ ∠C = 90°（已知），∴ \(AC^2 + BC^2 = AB^2\)（勾股定理）。
应用示例：
在 Rt△ABC 中，AC = 3cm，BC = 4cm，则斜边 AB = \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5cm\)；若 AB = 13cm，AC = 5cm，则 BC = \(\sqrt{13^2 - 5^2} = 12cm\)。
幻灯片 7：性质 5—— 直角三角形斜边上的高的性质
定理推导：
已知：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，CD⊥AB 于 D（斜边上的高，如图）。
推导结论：
结论 1：△ACD ∽ △ABC ∽ △CBD（AA 判定：∠A 为公共角，∠ADC = ∠ACB = 90°，故△ACD ∽ △ABC；同理△CBD ∽ △ABC）；
结论 2：由相似得比例关系：\(AC^2 = AD ·AB\)，\(BC^2 = BD ·AB\)，\(CD^2 = AD ·BD\)（射影定理，初中阶段可通过相似三角形对应边成比例推导）；
结论 3：面积关系：\(S_{ ABC} = \frac{1}{2}AC ·BC = \frac{1}{2}AB ·CD\)，故\(CD = \frac{AC ·BC}{AB}\)（斜边上的高 = 两直角边乘积 ÷ 斜边）。
应用示例：
在 Rt△ABC 中，AC = 6cm，BC = 8cm，AB = 10cm，则斜边上的高 CD = \(\frac{6 8}{10} = 4.8cm\)；由\(CD^2 = AD ·BD\)，若 AD = 3.6cm，则 BD = \(\frac{4.8^2}{3.6} = 6.4cm\)（验证 3.6 + 6.4 = 10cm，符合 AB 长度）。
幻灯片 8：直角三角形性质总结表格
性质类别
具体性质
几何语言（Rt△ABC，∠C=90°）
适用场景
角的性质
两锐角互余
∠A + ∠B = 90°
已知一个锐角，求另一个锐角
中线性质
斜边上的中线 = 斜边的一半
D 是 AB 中点→CD = \(\frac{1}{2}\)AB
求斜边上的中线长度，判断等腰三角形
特殊角性质
30° 角对的直角边 = 斜边的一半
∠A=30°→BC = \(\frac{1}{2}\)AB
已知 30° 角或斜边 / 直角边，求边长
边的性质（勾股定理）
两直角边平方和 = 斜边平方
\(AC^2 + BC^2 = AB^2\)
已知两边求第三边，判断三角形是否为直角三角形
高的性质
斜边上的高 = 两直角边乘积 ÷ 斜边
\(CD = \frac{AC ·BC}{AB}\)
求斜边上的高，利用相似或射影定理求线段长度
幻灯片 9：课堂练习 1（基础性质应用）
题目展示：
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 40°，则∠B = ______；若∠A = ∠B，则∠A = ______，此时三角形为______直角三角形。
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，斜边 AB = 14cm，D 是 AB 中点，则 CD = ______cm；若 CD = 5cm，则 AB = ______cm。
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 5cm，则 AB = ______cm，AC = ______cm（结果保留根号）。
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 5cm，BC = 12cm，则 AB = ______cm，斜边上的高 CD = ______cm。
解答过程：
∠B = 90° - 40° = 50°；∠A = 45°，等腰；
CD = \(\frac{1}{2}\)AB = 7cm；AB = 2CD = 10cm；
AB = 2BC = 10cm；AC = \(\sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = 5\sqrt{3}\)cm；
AB = \(\sqrt{5^2 + 12^2} = 13\)cm；CD = \(\frac{5 12}{13} 4.62\)cm（或\(\frac{60}{13}\)cm）。
答案：1. 50°，45°，等腰；2. 7，10；3. 10，\(5\sqrt{3}\)；4. 13，\(\frac{60}{13}\)（或约 4.62）。
幻灯片 10：课堂练习 2（综合性质应用）
题目展示：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，AD 平分∠BAC，交 BC 于 D，若 CD = 2cm，求 AB 的长度。
解答过程：
求∠BAC 的度数：∵ ∠C = 90°，∠B = 30°，∴ ∠BAC = 60°（直角三角形两锐角互余）；
利用角平分线求∠CAD：∵ AD 平分∠BAC，∴ ∠CAD = \(\frac{1}{2}\)∠BAC = 30°；
在 Rt△ACD 中求 AC：∵ ∠C = 90°，∠CAD = 30°，CD = 2cm，∴ CD = \(\frac{1}{2}\)AD（30° 角对的直角边 = 斜边的一半），AD = 4cm；由勾股定理，AC = \(\sqrt{AD^2 - CD^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}\)cm；
在 Rt△ABC 中求 AB：∵ ∠B = 30°，∠C = 90°，∴ AC = \(\frac{1}{2}\)AB（30° 角对的直角边 = 斜边的一半），∴ AB = 2AC = 4\sqrt {3}) cm。
答案：AB 的长度为\(4\sqrt{3}\)cm（或约 6.93cm）。
幻灯片 11：课堂总结
知识梳理（框架图）：
解题关键：
遇 “直角” 优先考虑两锐角互余；
遇 “斜边中点” 优先用斜边上的中线性质；
遇 “30° 角” 优先用 30° 角对的直角边与斜边的关系；
遇 “边长计算” 优先用勾股定理；
遇 “斜边上的高” 优先用面积法或相似三角形。
幻灯片 12：课后作业布置
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.2 直角三角形的性质
第24章 解直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1 什么是直角三角形？
有一个内角是直角的三角形叫直角三角形．
直角三角形可表示为：Rt△ABC
A
C
B
斜边
直角边
直角边
想一想：直角三角形的两个锐角有什么关系？三边之间有什么关系？
观察与思考
（1）直角三角形的两个锐角_________；
互余
（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和______斜边的平方.
等于
下面我们探索直角三角形的其他性质
问题2 你知道我们学过了直角三角形的哪些性质？
1. 在Rt△ABC中，两锐角的和∠A＋∠B = ？
∠A ＋∠B = 90°
2. 在△ABC中，如果∠A＋∠B = 90°，那么△ABC 是直角三角形吗？
3. 在 Rt△ABC 中，AB、AC、BC 之间 有什么关系？
A
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
问题引导
是
AB2 = AC2 ＋ BC2
任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规比较中线与斜边的一半的长短，你发现了什么？再画几个直角三角形试一试，你的发现相同吗？
我们来验证一下！
A
B
C
D
探究归纳
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的中线.求证：CD = AB.
思路引导：
中线辅助线作法：将中线延长一倍.
B
【证明】
延长 CD 到点 E，使 DE = CD，连结AE、BE.
∵ CD 是斜边 AB 的中线，
∴ AD = BD.
又∵ DE = CD，
∴ 四边形 ACBE 是平行四边形.
又∵∠ACB = 90°，
∴ ACBE 是矩形.
∴CE = AB.
A
C
∟
D
E
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
数学语言表述为：
在 Rt△ABC 中
∵CD 是斜边 AB 上的中线，
∴CD＝AD＝BD＝ AB.
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
直角三角形的性质之一
C
B
A
D
1.已知 Rt△ABC 中，斜边 AB = 10 cm，则斜边上的中线的长为____cm.
2.如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线∠CDA = 80°，则∠A =_____ ，∠B =_____.
5
50°
40°
练一练
A
B
C
D
例 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠B = 30°，
求证：AC = AB.
证明：作斜边上的中线 CD，则 CD = AD = BD = AB.
（在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）
∵ ∠B = 30°，∴ ∠A = 60°
∴ △CDA 是等边三角形.
∴ AC = CD = AB.
C
B
A
D
对此，你能得出什么结论？
直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
1.如图，在△ABC 中，若∠BAC = 120°，AB = AC，DA⊥AC 于点 A，BD = 3，则 BC =______.
9
A
B
D
C
2.如图， ∠C = 90°，∠B = 15°，DE 垂直平分 AB，垂足为点 E，交 BC 边于点 D，BD = 16 cm，则 AC 的长为____cm.
8
A
B
D
C
E
3.如图，在△ABC 中，BD、CE 是高，M、N 分别是 BC、ED 的中点，试说明：MN⊥DE.
N
M
D
E
B
C
A
解：连结 EM、DM.
∵ BD、CE 是高，M 是 BC 中点，
∴ 在 Rt△BCE 和 Rt△BCD 中，
EM = BC，DM = BC.
∴ EM = DM.
又∵ N 是 ED 的中点， ∴MN⊥ED
1.[2023·攀枝花]如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝________.
10°
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【点拨】∵∠C＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°－∠A＝50°.
∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE.
∴∠EBA＝∠A＝40°.
∴∠EBC＝∠ABC－∠EBA＝50°－40°＝10°.
2.[2023·衢州]如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是( )
A．∠BEA
B．∠DEB
C．∠ECA
D．∠ADO
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【点拨】由示意图可知△DOA和△DBE都是直角三角形，∴∠O＋∠ADO＝90°，∠DEB＋∠ADO＝90°，∴∠DEB＝∠O，故选B.
【答案】B
【答案】D
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【答案】C
我们学习了直角三角形哪些性质？
性质1
直角三角形两个锐角互余
性质2
直角三角形的勾股定理
性质3
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
性质4
直角三角形 30° 角所对直角边等于斜边的一半
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
