幻灯片 1：封面
标题：24.3.1 锐角三角函数
副标题：探索直角三角形中边与角的对应关系
适用教材：华东师大版数学九年级上册
授课教师：[具体姓名]
授课班级：[具体班级]
授课时间：[具体时间]
设计思路：以 “实际问题→概念引入→定义推导→性质应用” 为逻辑，聚焦正弦、余弦、正切的核心概念
幻灯片 2：课程导入
情境展示：
图片 1：小明站在距离大楼底部 10 米处，测得大楼顶部的仰角为 30°，想知道大楼的高度，但仅用直角三角形性质无法直接计算（已知邻边，求对边，需新的数学工具）。
图片 2：梯子靠在墙上，梯子长度为 5 米，与地面的夹角为 60°，想知道梯子底部到墙的距离（已知斜边，求邻边，需边与角的定量关系）。
复习回顾：
提问：在直角三角形中，30° 角对的直角边是斜边的一半，这是边与角的定性关系。那对于任意锐角，它的对边、邻边与斜边之间是否存在固定的比例关系呢？
引导提问：当直角三角形的一个锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值是否固定？这些固定的比值就是我们今天要学习的 “锐角三角函数”，它能帮我们解决上述实际问题。
幻灯片 3：锐角三角函数的基础 —— 固定锐角的边长比例不变
探究活动：
画图操作：
画 Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，测量各边长度：设 BC=1cm，则 AB=2cm，AC=√3≈1.732cm；
再画 Rt△A'B'C'，∠C'=90°，∠A'=30°，测量各边长度：设 B'C'=2cm，则 A'B'=4cm，A'C'=2√3≈3.464cm。
计算比例：
在 Rt△ABC 中：\(\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}\)，\(\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)；
在 Rt△A'B'C' 中：\(\frac{B'C'}{A'B'}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)，\(\frac{A'C'}{A'B'}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\frac{B'C'}{A'C'}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)。
得出结论：当直角三角形的一个锐角（如 30°）固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值是固定不变的，与三角形的大小无关。
幻灯片 4：正弦函数（sin）的定义
定义阐述：
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，对于锐角 A，它的对边与斜边的比值叫做∠A 的正弦，记作 sinA。
符号表示：\(\sin A = \frac{???A??????è??}{???è??} = \frac{BC}{AB}\)。
图形标注与示例：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AB=5（∠A 的对边为 BC，斜边为 AB），则\(\sin A = \frac{3}{5}\)；
若∠B 的对边为 AC，AC=4，则\(\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5}\)。
注意要点：
正弦值是一个比值，没有单位；
正弦值只与锐角的大小有关，与三角形的边长无关；
锐角的正弦值范围：0 < sinA < 1（因为对边 < 斜边，比值小于 1；边长为正，比值大于 0）。
幻灯片 5：余弦函数（cos）的定义
定义阐述：
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，对于锐角 A，它的邻边与斜边的比值叫做∠A 的余弦，记作 cosA。
符号表示：\(\cos A = \frac{???A???é??è??}{???è??} = \frac{AC}{AB}\)。
图形标注与示例：
延续上图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4（∠A 的邻边为 AC），AB=5，则\(\cos A = \frac{4}{5}\)；
∠B 的邻边为 BC，BC=3，则\(\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}\)。
性质推导：
在 Rt△ABC 中，∠A + ∠B = 90°，则\(\sin A = \cos B\)，\(\cos A = \sin B\)（如∠A=30°，∠B=60°，sin30°=cos60°=0.5，cos30°=sin60°=√3/2）。
注意要点：\(\sin A\)
\(\frac{BC}{AB}\)
0 < sinA < 1
\(\sin A = \cos B\)
余弦
邻边 / 斜边
\(\cos A\)
\(\frac{AC}{AB}\)
0 < cosA < 1
\(\cos A = \sin B\)
正切
对边 / 邻边
\(\tan A\)
\(\frac{BC}{AC}\)
tanA > 0
\(\tan A \cdot \tan B = 1\)
记忆口诀：
正弦：对边比斜边（“对斜”）；
余弦：邻边比斜边（“邻斜”）；
正切：对边比邻边（“对邻”）。
幻灯片 8：特殊锐角（30°、45°、60°）的三角函数值
推导与总结：
30° 角的三角函数值：
设 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则 AB=2，AC=√3；
\(\sin30?° = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}\)，\(\cos30?° = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\tan30?° = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)。
45° 角的三角函数值：
设 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，BC=1，则 AC=1，AB=√2；
\(\sin45?° = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\cos45?° = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\tan45?° = \frac{BC}{AC} = 1\)。
60° 角的三角函数值：
设 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，BC=√3，则 AC=1，AB=2；
\(\sin60?° = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\cos60?° = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{2}\)，\(\tan60?° = \frac{BC}{AC} = \sqrt{3}\)。
表格整理：
锐角 α
sinα
cosα
tanα
30°
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
45°
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
1
60°
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\sqrt{3}\)
幻灯片 9：课堂练习 1（基础三角函数值计算）
题目展示：
计算下列三角函数值：
\(\sin30?° + \cos60?°\)；
\(\tan45?° - \sin45?° \cdot \cos45?°\)；
\(\frac{\tan30?°}{\cos30?°}\)。
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=5，求∠A 的正弦、余弦和正切值。
解答过程：
计算三角函数值：
\(\sin30?° + \cos60?° = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)；
\(\tan45?° - \sin45?° \cdot \cos45?° = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)；
\(\frac{\tan30?°}{\cos30?°} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3}\)。
求∠A 的三角函数值：
∠A 的对边为 BC=5，邻边为 AC，斜边为 AB=10；
由勾股定理，AC = \(\sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = 5\sqrt{3}\)；
\(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)，\(\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{5\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)。
答案：1. 1；\(\frac{1}{2}\)；\(\frac{2}{3}\)；2. \(\sin A = \frac{1}{2}\)，\(\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\tan A = \frac{\sqrt{3}}{3}\)。
幻灯片 10：课堂练习 2（实际问题应用）
题目展示：
小明站在距离大楼底部 O 点 12 米的 A 点处，测得大楼顶部 B 点的仰角为 30°（仰角是从水平线向上到目标的夹角，即∠OAB=30°），求大楼 OB 的高度（结果保留根号）。
解答过程：
建立直角三角形模型：
由题意，OA⊥OB（大楼垂直地面），故△OAB 是 Rt△，∠AOB=90°，OA=12 米（∠OAB 的邻边），OB 是大楼高度（∠OAB 的对边），∠OAB=30°。
选择合适的三角函数：
已知邻边 OA，求对边 OB，且已知锐角∠OAB=30°，应使用正切函数（tanA = 对边 / 邻边）。
代入计算：
\(\tan???OAB = \frac{OB}{OA}\)，即\(\tan30?° = \frac{OB}{12}\)；
已知\(\tan30?° = \frac{\sqrt{3}}{3}\)，代入得\(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{OB}{12}\)；
解得 OB = 12 × \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) = 4√3 米。
答案：大楼 OB 的高度为 4√3 米（或约 6.93 米）。
幻灯片 11：课堂总结
知识梳理（框架图）：
解题思路：
求三角函数值：
已知直角三角形边长：先确定锐角的对边、邻边、斜边，再代入定义计算；
已知特殊锐角（30°、45°、60°）：直接用记忆的特殊值。
实际问题应用：
第一步：建立直角三角形模型，明确已知条件（边或角）和所求量；
第二步：根据 “已知边” 和 “所求边” 的位置关系，选择合适的三角函数（对斜选 sin，邻斜选 cos，对邻选 tan）；
第三步：代入数据计算，注意单位统一和结果格式（如保留根号）。
幻灯片 12：课后作业布置（分层设计）
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.3.1锐角三角函数
第24章 解直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，BC = 6，
AC = ______.
2.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，
AB = 10 cm，则 BC = cm，理由是
回顾与思考
8
5
30°所对直角边是斜边的一半
.
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．能解释一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
锐角三角函数定义及三角函数之间的关系
探究归纳
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以 Rt△ABC ∽ Rt△A'B'C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比是一个固定值．
A
B
C
A'
B'
C'
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sine），记作 sin A ， 即
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
在图中，
∠A 的对边记作 a，
∠B 的对边记作 b，
∠C 的对边记作 c
归纳
例如，当∠A＝30° 时，我们有
当∠A＝45° 时，我们有
A
B
C
c
a
b
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角∠A 确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？
B
对边 a
A
C
邻边 b
斜边 c
探究归纳
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能试着分析一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
探究归纳
这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的邻边与斜边的比也是一个固定值．
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以 Rt△ABC ∽ Rt△A'B'C'
A
B
C
A'
B'
C'
∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine），记作 cos A，即
归纳
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
在图中，
∠A 的对边记作 a，
∠B 的对边记作 b，
∠C 的对边记作 c
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，
正弦
余弦
注意：
1. sinA、cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).
2. sinA、 cosA 是一个比值（数值）.
3. sinA、 cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？
探究归纳
如图，Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′，∠C =∠C′ = 90°，∠A =∠A′ = α，问： 有什么关系？
AC
BC
A′C′
B′C′
与
A
B
C
A'
B'
C'
∵∠C =∠C′ = 90°，∠A =∠A′ = α，
∴Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′
在直角三角形中，当锐角∠A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，
∠A的对边与邻边的比是一个固定值.
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tan），记作 tan A ， 即
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
在图中，
∠A 的对边记作 a，
∠B 的对边记作 b，
∠C 的对边记作 c
归纳
一个角的正切表示定值、比值、正值.
A
B
C
┌
思考：锐角∠A的正切值可以等于 1 吗？为什么？可以大于 1 吗？
对于锐角∠A 的每一个确定的值，tan A 都有唯一的确定的值与它对应.
答：可以等于 1，此时为等腰直角三角形；也可以大于 1.
延伸
1.如图，Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，图中 sinB 可由哪两条线段的比求得.
D
C
B
A
解：在Rt△ABC中，
在Rt△BCD中，
因为∠B=∠ACD，所以
求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值.
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求 sinA、cosA、tanA 的值．
解：∵ ，
又∵
A
B
C
6
10
3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，cosA＝ ，求 sinA、tanA 的值．
解：∵ ，
A
B
C
∴设 AC = 15k，则 AB = 17k.
∴ .
4.填空：下图中∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D.
A
B
C
D
(1) tan A =
=
AC
( )
CD
( )
(2) tan B =
=
BC
( )
CD
( )
BC
AD
BD
AC
5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，tan A＝ ，求：sin A、cos B 的值．
A
B
C
8
解：
返回
【答案】C
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A
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B
返回
C
返回
【答案】D
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B
返回
D
在 Rt△ABC 中
定义中应该注意的几个问题：
1. sin A、cos A、tan A 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).
2. sin A、 cos A、tan A 是一个比值（数值）.
3. sin A、 cos A 、tan A 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
