(共25张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：24.3.2 特殊角的三角函数值
副标题：推导、记忆与应用 30°、45°、60° 角的三角函数
适用教材：华东师大版数学九年级上册
授课教师：[具体姓名]
授课班级：[具体班级]
授课时间：[具体时间]
设计思路：以 “特殊三角形推导→值的整理记忆→多场景应用” 为逻辑，强化特殊角三角函数值的熟练运用
幻灯片 2：课程导入
复习回顾：
提问 1：上节课我们学习了锐角三角函数的定义，谁能说说正弦、余弦、正切的定义分别是什么？（预设答案：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA = 对边 / 斜边，cosA = 邻边 / 斜边，tanA = 对边 / 邻边）
提问 2：对于固定的锐角，它的三角函数值是固定的还是随三角形大小变化的？（预设答案：固定的，只与锐角大小有关）
情境引导：
展示图片：建筑工人在搭建 30° 角的钢架时，需要根据三角函数值计算材料长度；数学考试中，常需快速用到 45°、60° 角的三角函数值解题。
引导提问：30°、45°、60° 是我们生活和学习中最常见的特殊锐角，它们的三角函数值有固定的数值，掌握这些数值能帮我们快速解决问题。今天我们就来推导、记忆并应用这些特殊角的三角函数值。
幻灯片 3：推导 30° 角的三角函数值
推导依据：含 30° 角的直角三角形性质 ——30° 角对的直角边是斜边的一半。
推导过程：
构造直角三角形：画 Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，设∠A 对的直角边 BC=1（设为 1 方便计算）。
求斜边和另一直角边：
由性质，BC=1/2 AB，故斜边 AB=2BC=2；
由勾股定理，AC=√(AB - BC )=√(2 - 1 )=√3。
计算三角函数值：
sin30°=∠A 的对边 / 斜边 = BC/AB=1/2；
cos30°=∠A 的邻边 / 斜边 = AC/AB=√3/2；
tan30°=∠A 的对边 / 邻边 = BC/AC=1/√3=√3/3（分母有理化，规范书写）。
图形标注：在 Rt△ABC 中，标注∠A=30°，BC=1，AB=2，AC=√3，对应写出 sin30°、cos30°、tan30° 的计算过程和结果。
幻灯片 4：推导 45° 角的三角函数值
推导依据：等腰直角三角形性质 —— 两直角边相等，斜边是直角边的√2 倍。
推导过程：
构造直角三角形：画 Rt△ABC，∠C=90°，∠A=45°，则∠B=45°，△ABC 为等腰直角三角形，设直角边 BC=AC=1。
求斜边：
由勾股定理，AB=√(AC + BC )=√(1 + 1 )=√2。
计算三角函数值：
sin45°=∠A 的对边 / 斜边 = BC/AB=1/√2=√2/2（分母有理化）；
cos45°=∠A 的邻边 / 斜边 = AC/AB=1/√2=√2/2；
tan45°=∠A 的对边 / 邻边 = BC/AC=1/1=1。
图形标注：在等腰 Rt△ABC 中，标注∠A=45°，AC=BC=1，AB=√2，清晰呈现各三角函数值的计算过程。
幻灯片 5：推导 60° 角的三角函数值
推导依据：含 30° 角的直角三角形中，60° 角是 30° 角的余角，可利用三角形边角对应关系推导。
推导过程：
构造直角三角形：沿用幻灯片 3 中的 Rt△ABC（∠C=90°，∠A=30°，BC=1，AB=2，AC=√3），此时∠B=60°（因为∠A+∠B=90°）。
确定 60° 角的对边、邻边：
∠B=60°，它的对边是 AC=√3，邻边是 BC=1，斜边仍为 AB=2。
计算三角函数值：
sin60°=∠B 的对边 / 斜边 = AC/AB=√3/2；
cos60°=∠B 的邻边 / 斜边 = BC/AB=1/2；
tan60°=∠B 的对边 / 邻边 = AC/BC=√3/1=√3。
对比总结：60° 角的三角函数值与 30° 角的三角函数值存在 “sin60°=cos30°，cos60°=sin30°，tan60°=1/tan30°” 的关系，印证了 “互余角的三角函数关系”。
幻灯片 6：特殊角三角函数值汇总表（重点记忆）
整理表格：将 30°、45°、60° 角的三角函数值系统整理，方便对比记忆：
锐角 α
正弦（sinα）
余弦（cosα）
正切（tanα）
30°
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
45°
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
1
60°
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\sqrt{3}\)
记忆技巧：
正弦值记忆：30°、45°、60° 的正弦值分子依次为√1、√2、√3，分母均为 2，即 sin30°=√1/2=1/2，sin45°=√2/2，sin60°=√3/2；
余弦值记忆：余弦值与正弦值 “对称”，30° 的余弦值 = 60° 的正弦值，45° 的余弦值 = 45° 的正弦值，即 cos30°=sin60°=√3/2，cos45°=sin45°=√2/2，cos60°=sin30°=1/2；
正切值记忆：正切值 = 正弦值 / 余弦值，30° 的正切值 = 1/√3=√3/3，45° 的正切值 = 1，60° 的正切值 =√3，可记为 “√3/3、1、√3”，呈递增趋势。
幻灯片 7：课堂练习 1（直接代入计算）
题目展示：计算下列各式的值，要求熟练运用特殊角三角函数值：
\(2\sin30 ° + 3\cos60 °\)；
\(\tan45 ° - \sin45 ° \cdot \cos45 °\)；
\(\frac{\sin60 °}{\tan30 °} + \cos30 °\)；
\((\sin30 ° + \cos60 °) \times \tan60 °\)。
解答过程：
\(2\sin30 ° + 3\cos60 ° = 2 \frac{1}{2} + 3 \frac{1}{2} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}\)；
\(\tan45 ° - \sin45 ° \cdot \cos45 ° = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)；
\(\frac{\sin60 °}{\tan30 °} + \cos30 ° = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}\)；
\((\sin30 ° + \cos60 °) \times \tan60 ° = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) \sqrt{3} = 1 \sqrt{3} = \sqrt{3}\)。
答案：1. \(\frac{5}{2}\)；2. \(\frac{1}{2}\)；3. \(\frac{3 + \sqrt{3}}{2}\)；4. \(\sqrt{3}\)。
幻灯片 8：课堂练习 2（结合直角三角形边长计算）
题目展示：
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，斜边 AB=8cm，求 BC 的长和 AC 的长（用三角函数值计算）；
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=45°，AC=5cm，求 AB 的长和 tanB 的值。
解答过程：
求 BC 和 AC 的长：
∵ ∠A=30°，sinA=BC/AB，∴ BC=AB·sinA=8×sin30°=8×\(\frac{1}{2}\)=4cm；
∵ cosA=AC/AB，∴ AC=AB·cosA=8×cos30°=8×\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)=4√3 cm。
求 AB 和 tanB 的值：
∵ ∠B=45°，△ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=5cm；
cosB=BC/AB，∴ AB=BC/cosB=5/cos45°=5/(\(\frac{\sqrt{2}}{2}\))=5√2 cm；
tanB=tan45°=1（或 tanB=AC/BC=5/5=1）。
答案：1. BC=4cm，AC=4√3 cm；2. AB=5√2 cm，tanB=1。
幻灯片 9：课堂练习 3（实际问题应用）
题目展示：
如图，一架梯子靠在墙上，梯子与地面的夹角为 60°，梯子顶端到地面的垂直高度（对边）为 6√3 米，求梯子的长度（斜边）和梯子底部到墙的距离（邻边）；
小明在距离旗杆底部 10 米处，测得旗杆顶部的仰角为 45°，求旗杆的高度（忽略小明的身高）。
解答过程：
求梯子长度和底部到墙的距离：
设梯子长度为 L（斜边），底部到墙的距离为 d（邻边），垂直高度 h=6√3 米（对边），夹角 α=60°；
∵ sinα=h/L，∴ L=h/sin60°=6√3/(\(\frac{\sqrt{3}}{2}\))=12 米；
∵ tanα=h/d，∴ d=h/tan60°=6√3/√3=6 米。
求旗杆高度：
设旗杆高度为 H（对边），小明到旗杆底部的距离为 10 米（邻边），仰角 α=45°；
∵ tanα=H/10，∴ H=10×tan45°=10×1=10 米。
答案：1. 梯子长度为 12 米，底部到墙的距离为 6 米；2. 旗杆高度为 10 米。
幻灯片 10：易错点分析与规避
常见易错点：
记错三角函数值：如将 sin30° 记为√3/2，cos60° 记为√3/2，混淆正弦和余弦的对应值；
规避方法：牢记 “正弦 30°=1/2，余弦 60°=1/2”，利用 “互余角关系” 验证，如 sin30°=cos60°，sin60°=cos30°。
分母未有理化：如将 tan30° 写成 1/√3，未化为√3/3；
规避方法：计算完成后检查分母，若含根号，需分子分母同乘根号，进行有理化（初中阶段要求规范书写有理化结果）。
误用三角函数定义：在直角三角形中，混淆 “对边” 和 “邻边”（如将∠A 的对边当成邻边）；
规避方法：先在三角形中明确所求锐角，用箭头标出它的对边和邻边，再代入定义计算。
忽略单位统一：实际问题中，已知边和所求边单位不统一（如已知边为米，所求边误算为厘米）；
规避方法：解题前检查所有已知量的单位，统一单位后再计算，结果标注单位。
幻灯片 11：课堂总结
知识梳理：
特殊角三角函数值：熟练掌握 30°、45°、60° 角的 sin、cos、tan 值，记住记忆技巧（正弦分子√1、√2、√3，余弦对称，正切递增）；
推导逻辑：基于特殊直角三角形（含 30° 角的直角三角形、等腰直角三角形）的边长关系，结合三角函数定义推导，理解值的由来而非死记硬背；
应用场景：
直接代入计算：化简含特殊角三角函数的代数式；
直角三角形边长计算：已知锐角和一条边，求另外两条边；
实际问题：解决仰角、俯角、梯子、旗杆高度等实际测量问题。
能力要求：
能快速、准确回忆特殊角的三角函数值；
能根据直角三角形的角或边，选择合适的三角函数解决问题；
能规避常见易错点，规范书写解题过程。
幻灯片 12：课后作业布置（分层设计）
基础层（必做）：
计算下列各式的值：
\(3\sin60 ° - 2\cos30 °\)；
\((\tan30 ° + \tan45 °) \times \cos60 °\)；
\(\frac{\sin45 ° \cdot \cos45 °}{\tan60 °}\)。
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6cm，求 AB 和 AC 的长（用三角函数值计算）。
提高层（选做）：
应用题：如图，一座山的坡度为 30°（坡度是山坡与水平面的夹角），某人从山脚沿山坡向上走了 1000 米，求此人上升的垂直高度（对边）和水平前进的距离（邻边）；
探究题：已知 α 是锐角，且 sinα=1/2，求 cosα 和 tanα 的值；若 cosα=√2/2，求 sinα 和 tanα 的值（结合特殊角三角函数值推导）。
实践层（拓展）：
动手操作：用硬纸板制作含 30°、45°、60° 角的直角三角形模型，测量各边长度，验证特殊角三角函数值的准确性；
生活观察：寻找生活中含 30°、45°、60° 角的物体（如三角尺、屋顶、梯子），记录并计算相关边长（如已知梯子长度和夹角，计算高度），下节课分享你的发现。
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.3.2特殊角的三角函数值
第24章 解直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cos A = ，BC = 8，则
AB =____，AC =____，sin B = ，△ABC 的周长是____.
2.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 45°，则∠A =_____，设 AB = k，则 AC=____，BC=____，sin B = sin 45°=____， cos B = cos 45°=____，tan B = tan 45°= ____.
回顾与思考
10
6
24
45°
1
____
两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
特殊角的三角函数
30°
60°
45°
45°
设 30° 所对的直角边长为 a，那么斜边长为 2a，
另一条直角边长 =
∴
30°
60°
∴
30°
60°
设两条直角边长为 a，则斜边长 =
∴
45°
45°
30°、45°、60° 角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a 三角 函数 30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
归
纳
1
特殊三角函数值的运用
1.求下列各式的值：
提示：cos260° 表示 (cos 60°)2，即(cos 60°)×(cos 60°).
解：cos260° + sin260°
(1) cos260° + sin260°；
(2)
解：
2.操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部 10 米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为 30°，并已知目高为 1.65米．
然后他很快就算出旗杆的高度了.
10 m
30°
1.65 m
？
)
你想知道小明怎样算出的吗？
1.如图，在 △ABC 中，∠A=30°，
求 AB.
A
B
C
D
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，
∠A = 30°，
2.求下列各式的值：
（1）1－2sin 30°cos 30°
（2）3tan 30°－tan 45°+2sin 60°
（3）
解：
（1）1－2 sin 30°cos 30°
（2）3tan 30°－tan 45°+2sin 60°
（3）
3. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，
求∠A、∠B 的度数．
B
A
C
解： 由勾股定理知
∴ ∠A = 30°，
∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60°.
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B
B
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返回
4.桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶，当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，
若已知：杠杆AB＝6米，AO∶OB＝2∶1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为________米．(结果保留根号)
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5.计算：
返回
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A
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B
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角α 三角函数 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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