(共27张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：24.4.1 解直角三角形及其简单应用
副标题：掌握解直角三角形方法，解决实际测量问题
适用教材：华东师大版数学九年级上册
授课教师：[具体姓名]
授课班级：[具体班级]
授课时间：[具体时间]
设计思路：以 “定义理解→解法推导→实际应用” 为逻辑，突出 “已知条件→选择工具（勾股定理、三角函数）→求解未知” 的解题流程
幻灯片 2：课程导入
复习回顾：
提问 1：直角三角形有哪些基本元素？（预设答案：3 条边（直角边 a、b，斜边 c）和 3 个角（直角 90°，锐角 A、B），共 6 个元素）
提问 2：我们已经学过哪些与直角三角形相关的知识？（学生回答：勾股定理\(a^2+b^2=c^2\)、锐角三角函数（sin、cos、tan）、两锐角互余（∠A+∠B=90°））
情境引导：
展示图片：工人师傅要制作一个倾斜角为 30°、斜边为 10cm 的直角三角支架，需要知道两条直角边的长度；测量员在山下测得山顶的仰角为 45°，已知山底到测量点的水平距离为 200 米，要计算山的高度。
引导提问：这些问题都需要根据直角三角形的已知元素，求出未知元素，这就是 “解直角三角形”。今天我们就来学习解直角三角形的方法，并将其应用到实际问题中。
幻灯片 3：解直角三角形的定义与条件
定义阐述：
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
说明：直角三角形中，直角是已知的（90°），因此解直角三角形只需知道除直角外的 2 个元素（至少 1 个是边），即可求出其余 3 个未知元素。
解直角三角形的条件分类：
已知条件类型
具体示例
核心思路
已知 1 条边 + 1 个锐角
已知斜边 c 和锐角 A，求 a、b、∠B
先由∠A+∠B=90° 求∠B，再用三角函数（sinA=a/c、cosA=b/c）求 a、b
幻灯片 5：解直角三角形的工具选择（总结表格）
未知元素
已知条件
优先选择的工具
公式示例
锐角
已知另一个锐角
两锐角互余
∠B=90°-∠A
直角边（对边）
已知斜边 + 对应锐角
正弦函数
a=c·sinA
直角边（邻边）
已知斜边 + 对应锐角
余弦函数
b=c·cosA
直角边
已知另一条直角边 + 对应锐角
正切函数
a=b·tanA
斜边
已知两条直角边
勾股定理
\(c=\sqrt{a^2+b^2}\)
锐角
已知两条边（对边 + 邻边）
正切函数
∠A=arctan(a/b)
解题口诀：
有角先求角（互余），有边用定理（勾股、三角）；
求边看已知（斜边用 sin/cos，直角边用 tan），求角用三角（tan 最直接，sin/cos 需斜边）。
幻灯片 6：课堂练习 1（解直角三角形基础题）
题目展示：
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，根据下列已知条件解直角三角形：
已知 a=2，∠A=30°；
已知 c=15，b=12。
解答过程：
已知 a=2，∠A=30°：
求∠B：∠B=90°-30°=60°；
求斜边 c：由 sinA=a/c，得 c=a/sinA=2/sin30°=2/(1/2)=4；
求另一直角边 b：由 cosA=b/c，得 b=c cosA=4×cos30°=4×(√3/2)=2√3（或\(b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{16-4}=2 3\)）。
已知 c=15，b=12：
求直角边 a：由勾股定理，\(a=\sqrt{c^2 - b^2}=\sqrt{15^2 - 12^2}=\sqrt{225-144}=9\)；
求锐角 A：由 cosA=b/c=12/15=0.8，用计算器得∠A≈36.87°；
求锐角 B：∠B=90°-36.87°≈53.13°。
答案：
∠B=60°，c=4，b=2√3；
a=9，∠A≈36.87°，∠B≈53.13°。
幻灯片 7：实际应用中的常用概念（仰角、俯角、坡度）
关键概念解析：
仰角与俯角：
仰角：从水平线向上看目标，视线与水平线的夹角叫做仰角；
俯角：从水平线向下看目标，视线与水平线的夹角叫做俯角；
说明：仰角和俯角都是与水平线的夹角，且仰角 = 俯角（内错角相等，如图中从 A 看 B 的仰角 = 从 B 看 A 的俯角）。
坡度（坡比）与坡角：
坡度（i）：坡面的垂直高度（h）与水平宽度（l）的比，即 i=h:l（或 i=h/l），通常写成 1:m 的形式（如坡度 1:2 表示垂直高度 1，水平宽度 2）；
坡角（α）：坡面与水平面的夹角，坡度 i=tanα（因为 tanα=h/l）。
图形标注：
分别画出仰角、俯角示意图（如人站在地面看楼顶的仰角，站在楼顶看地面的俯角），坡度示意图（山坡的垂直高度、水平宽度与坡角），标注关键角度和线段，帮助学生理解。
幻灯片 8：实际应用 1（仰角问题 —— 测量物体高度）
题目展示：
如图，小明在距离教学楼底部 O 点 30 米的 A 点处，用测角仪测得教学楼顶部 B 点的仰角为 45°（测角仪高度忽略不计），求教学楼 OB 的高度（精确到 0.1 米）。
解题步骤：
建立直角三角形模型：
由题意，OA⊥OB（教学楼垂直地面），故△OAB 为 Rt△，∠AOB=90°，OA=30 米（水平距离，∠OAB 的邻边），OB 为教学楼高度（∠OAB 的对边），∠OAB=45°（仰角）。
选择合适的三角函数：
已知邻边 OA 和锐角∠OAB，求对边 OB，用正切函数 tanA = 对边 / 邻边。
代入计算：
tan∠OAB=OB/OA，即 tan45°=OB/30；
已知 tan45°=1，故 OB=30×1=30.0 米。
答案：教学楼的高度为 30.0 米。
幻灯片 9：实际应用 2（坡度问题 —— 计算坡面长度）
题目展示：
某山坡的坡度为 1:√3（垂直高度：水平宽度），山坡上有一条小路，水平宽度为 60 米，求这条小路的坡面长度（精确到 0.1 米）。
解题步骤：
理解坡度与坡角的关系：
坡度 i=1:√3=h:l，已知水平宽度 l=60 米，设垂直高度 h=x，则 x:60=1:√3，解得 x=60/√3=20√3≈34.64 米。
坡角 α 满足 tanα=i=1/√3，故 α=30°（特殊角，可直接得出）。
求坡面长度（斜边 c）：
坡面长度为 Rt△的斜边，已知水平宽度 l=60 米（邻边），坡角 α=30°，用余弦函数 cosα= 邻边 / 斜边，得 c=l/cosα=60/cos30°=60/(√3/2)=40√3≈69.3 米。
（或用勾股定理：c=\(\sqrt{h^2 + l^2}=\sqrt{(20 3)^2 + 60^2}=\sqrt{1200+3600}=\sqrt{4800}=40 3 69.3 ± \)）。
答案：这条小路的坡面长度约为 69.3 米。
幻灯片 10：课堂练习 3（综合应用 —— 俯角问题）
题目展示：
如图，一架无人机在距离地面 120 米的高空 A 处，测得地面上目标 B 点的俯角为 30°，求无人机与目标 B 点的水平距离和直线距离（精确到 0.1 米）。
解答过程：
转化俯角为仰角：
无人机的俯角为 30°，即水平线 AC 与视线 AB 的夹角为 30°，故∠ABC=30°（内错角相等，AC∥OB，∠CAB=∠ABO=30°）。
Rt△AOB 中，∠AOB=90°，AO=120 米（垂直高度，∠ABO 的对边），OB 为水平距离（邻边），AB 为直线距离（斜边）。
求水平距离 OB：
tan∠ABO=AO/OB，即 tan30°=120/OB，解得 OB=120/tan30°=120/(√3/3)=120√3≈207.8 米。
求直线距离 AB：
sin∠ABO=AO/AB，即 sin30°=120/AB，解得 AB=120/sin30°=120/(1/2)=240.0 米（或用勾股定理验证：AB=\(\sqrt{AO^2 + OB^2}=\sqrt{120^2 + (120 3)^2}=240\)米）。
答案：水平距离约为 207.8 米，直线距离为 240.0 米。
幻灯片 11：课堂总结
知识梳理（框架图）：
解题关键：
建模优先：将实际问题转化为直角三角形模型，明确已知条件（边、角）对应的三角形元素；
工具选择：
求角：优先用 “两锐角互余”（已知一个锐角）或 “三角函数的反函数”（已知两边）；
求边：已知斜边和锐角用 sin/cos，已知直角边和锐角用 tan，已知两边用勾股定理；
单位统一：实际问题中注意单位是否一致（如米、厘米），结果按要求保留精度。
幻灯片 12：课后作业布置（分层设计）
基础层（必做）：
解下列直角三角形（∠C=90°）：
已知 b=5，∠A=60°；
已知 a=7，c=14。
如图，在地面上 A 点测得旗杆顶端 C 的仰角为 60°，AB=10 米（AB 为 A 到旗杆底部 B 的距离），求旗杆 BC 的高度（精确到 0.1 米）。
提高层（选做）：
某水库大坝的坡度为 1:2.4，坝顶宽 6 米，坝高 10 米，求坝底宽（提示：大坝横截面为梯形，可分解为两个直角三角形和一个矩形）；
从山顶 A 测得地面上两点 B、C 的俯角分别为 30° 和 45°，若 BC=100 米，求山高 AD（D 为 A 在地面的垂足，B、C、D 在同一直线上，精确到 0.1 米）。
实践层（拓展）：
小组合作：选择校园内的一个高物体（如旗杆、教学楼），用卷尺测量
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.4.1解直角三角形及其简单应用
第24章 解直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
A
C
B
c
b
a
(1) 三边之间的关系: a2 + b2 =_____；
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；
(3)边角之间的关系：sin A =_____，cos A =_____，tan A =_____.
在 Rt△ABC 中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C = 90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？
c2
90°
观察与思考
比萨铁塔倾斜问题，设塔顶中心点为 B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过 B 点向垂直中心线引垂线，垂足为点 C（如图），在 Rt△ABC 中，
∠C＝90°，BC＝5.2 m，AB＝54.5 m.
∴∠A ≈ 5°28′
可以求出 2001 年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？
A
B
C
A
B
C
已知两边解直角三角形及解直角三角形的应用
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 α 一般要满足 50°≤α≤75°.现有一个长 6 m 的梯子，问：
（1）当梯子底端距离墙面 2.4 m 时，梯子与地面所成的角 α 等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
（2）使用这个梯子最高可以
安全攀上多高的墙（精确到 0.1m）？
对于问题（1），当梯子底端距离墙面 2.4 m 时，求梯子与地面所成的角 α 的问题，可以归结为：在Rt△ABC 中，已知 AC＝2.4，斜边 AB＝6，求锐角 α 的度数
由于
利用计算器求得
α ≈ 66°
因此当梯子底墙距离墙面 2.4 m 时，梯子与地面所成的角大约是 66°.
由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的．
C
A
B
由 得 .
问题（2）可以归结为：在 Rt△ABC 中，已知∠A＝75°，斜边 AB＝6，求∠A 的对边 BC 的长．
问题（2）当梯子与地面所成的角 α 为 75° 时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是 5.8 m.
所以 BC ≈ 6×0.97 ≈ 5.8 .
由计算器求得 sin75° ≈ 0.97 .
A
C
B
在图中的 Rt△ABC 中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
A
B
C
6
75°
）
解：
已知一边和一锐角解直角三角形
在如图的 Rt△ABC 中，根据 AC＝2.4，斜边 AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
A
B
C
6
2.4
解：
事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．
A
B
a
b
c
C
在直角三角形中，由已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
归纳总结
1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， ，解这个直角三角形.
解：
A
B
C
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6， ∠BAC的平分线 ，解这个直角三角形.
D
A
B
C
6
解：
∵AD 平分∠BAC，
3.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）a = 30，b = 20； (2) ∠B＝72°，c = 14.
解：根据勾股定理得
A
B
C
b = 20
a = 30
c
(2) ∠B＝72°，c = 14.
A
B
C
b
a
c = 14
解：
4. 如下图，某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米
解：如图所示，依题意可知，当∠B = 60°时，
答：梯子的长至少 4.62 米
C
A
B
返回
D
返回
A
返回
D
返回
4.在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，若△ABC是锐角三角形，则满足条件的BC长可以是( )
A．1 B．2 C．6 D．8
C
返回
【答案】C
返回
【答案】B
（2）两锐角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
（1）三边之间的关系
A
B
a
b
c
C
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（勾股定理）
1．数形结合思想.
方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.
解题思想与方法小结：
2．方程思想.
3．转化（化归）思想.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
