(共13张PPT)
幻灯片 1：仰角、俯角概念回顾
概念呈现：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角。例如，当我们站在地面上，抬头看山顶时，视线与水平线的夹角就是仰角。
俯角：视线在水平线下方的角叫做俯角。就像我们站在高楼顶端，向下看地面上的物体时，视线与水平线的夹角为俯角。
图形展示：
绘制清晰的示意图，标注出水平线、视线、仰角和俯角。比如，一个人站在平地上看空中的飞机，飞机所在位置与观测者眼睛的连线为视线，该视线与观测者所处位置的水平线形成的夹角（在水平线上方）就是仰角；若观测者站在高楼窗户处看地面上的汽车，从观测者眼睛到汽车的视线与窗户所在的水平线形成的夹角（在水平线下方）则为俯角。通过图形让学生直观地理解仰角和俯角的概念。
幻灯片 2：仰角问题 - 测量树高
题目展示：
如图，在距离一棵大树底部\(B\)点\(10\)米的\(A\)点处，小明用测角仪测得大树顶端\(C\)点的仰角为\(30^{\circ}\)（测角仪高度忽略不计），求这棵大树\(BC\)的高度（结果保留根号）。
解题步骤分析：
构建直角三角形模型：
因为大树垂直于地面，所以\(\triangle ABC\)是直角三角形，\(\angle ABC = 90^{\circ}\)。已知\(AB = 10\)米（水平距离，是\(\angle BAC\)的邻边），\(BC\)为大树高度（是\(\angle BAC\)的对边），\(\angle BAC = 30^{\circ}\)（仰角）。
选择合适的三角函数：
已知邻边\(AB\)和锐角\(\angle BAC\)，求对边\(BC\)，根据正切函数的定义\(\tan A=\frac{ è }{é è }\)，这里选择正切函数\(\tan\angle BAC\)来求解。
代入计算：
由\(\tan\angle BAC=\frac{BC}{AB}\)，即\(\tan30^{\circ}=\frac{BC}{10}\)。
因为\(\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，所以\(BC = 10\times\tan30^{\circ}=10\times\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3}\)米。
答案：这棵大树的高度为\(\frac{10\sqrt{3}}{3}\)米。
幻灯片 3：仰角问题 - 测量塔高（增加测角仪高度）
题目展示：
如图，在离塔底部\(D\)点\(20\)米的\(A\)点处，用高\(1.5\)米的测角仪\(AB\)测得塔顶\(C\)的仰角为\(45^{\circ}\)，求塔\(CD\)的高度。
解题步骤分析：
构建直角三角形模型：
过\(B\)点作\(BE\perp CD\)于\(E\)点，则四边形\(ABED\)是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。所以\(DE = AB = 1.5\)米，\(BE = AD = 20\)米。在\(\triangle BCE\)中，\(\angle BEC = 90^{\circ}\)，\(\angle CBE = 45^{\circ}\)（仰角），\(BE\)为邻边，\(CE\)为对边。
选择合适的三角函数：
已知邻边\(BE\)和锐角\(\angle CBE\)，求对边\(CE\)，选用正切函数\(\tan\angle CBE\)。
代入计算：
因为\(\tan\angle CBE=\frac{CE}{BE}\)，且\(\tan45^{\circ}=1\)，\(BE = 20\)米，所以\(CE = BE\times\tan45^{\circ}=20\times1 = 20\)米。
求塔高\(CD\)：
塔高\(CD = CE + DE\)，把\(CE = 20\)米，\(DE = 1.5\)米代入可得\(CD = 20 + 1.5 = 21.5\)米。
答案：塔\(CD\)的高度为\(21.5\)米。
幻灯片 4：俯角问题 - 无人机与目标距离
题目展示：
如图，一架无人机在距离地面\(150\)米的高空\(A\)处，测得地面上目标\(B\)点的俯角为\(60^{\circ}\)，求无人机与目标\(B\)点的水平距离和直线距离（结果保留根号）。
解题步骤分析：
转化俯角为仰角：
因为无人机的俯角为\(60^{\circ}\)，即水平线\(AC\)与视线\(AB\)的夹角为\(60^{\circ}\)，根据两直线平行，内错角相等（\(AC\parallel OB\)），所以\(\angle ABC = 60^{\circ}\)。在\(Rt\triangle AOB\)中，\(\angle AOB = 90^{\circ}\)，\(AO = 150\)米（垂直高度，是\(\angle ABO\)的对边），\(OB\)为水平距离（是\(\angle ABO\)的邻边），\(AB\)为直线距离（斜边）。
求水平距离\(OB\)：
根据正切函数\(\tan\angle ABO=\frac{AO}{OB}\)，即\(\tan60^{\circ}=\frac{150}{OB}\)。
因为\(\tan60^{\circ}=\sqrt{3}\)，所以\(OB=\frac{150}{\tan60^{\circ}}=\frac{150}{\sqrt{3}}=\frac{150\sqrt{3}}{3}=50\sqrt{3}\)米。
求直线距离\(AB\)：
根据正弦函数\(\sin\angle ABO=\frac{AO}{AB}\)，即\(\sin60^{\circ}=\frac{150}{AB}\)。
因为\(\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以\(AB=\frac{150}{\sin60^{\circ}}=\frac{150}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 150\times\frac{2}{\sqrt{3}} = 100\sqrt{3}\)米（也可利用勾股定理\(AB=\sqrt{AO^{2}+OB^{2}}=\sqrt{150^{2}+(50\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{22500 + 7500}=\sqrt{30000}=100\sqrt{3}\)米进行验证）。
答案：无人机与目标\(B\)点的水平距离为\(50\sqrt{3}\)米，直线距离为\(100\sqrt{3}\)米。
幻灯片 5：俯角问题 - 轮船与灯塔距离
题目展示：
如图，一艘轮船在\(A\)处观测到灯塔\(B\)在它的北偏东\(30^{\circ}\)方向，轮船向正东方向航行\(20\)海里到达\(C\)处，此时观测到灯塔\(B\)在它的北偏东\(60^{\circ}\)方向。求轮船在\(C\)处时与灯塔\(B\)的距离（结果保留根号）。
解题步骤分析：
构建直角三角形模型：
过\(B\)点作\(BD\perp AC\)，交\(AC\)的延长线于\(D\)点。设\(CD = x\)海里。
在\(\triangle BCD\)中，\(\angle BDC = 90^{\circ}\)，\(\angle BCD = 180^{\circ}-(90^{\circ}+60^{\circ}) = 30^{\circ}\)（因为轮船在\(C\)处观测灯塔\(B\)在它的北偏东\(60^{\circ}\)方向，所以\(\angle BCD\)的度数可求）。
在\(\triangle ABD\)中，\(\angle ADB = 90^{\circ}\)，\(\angle BAD = 30^{\circ}\)（轮船在\(A\)处观测灯塔\(B\)在它的北偏东\(30^{\circ}\)方向）。
利用三角函数关系列方程：
在\(\triangle BCD\)中，\(\tan\angle BCD=\frac{BD}{CD}\)，因为\(\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，所以\(BD = CD\times\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}x\)。
在\(\triangle ABD\)中，\(AD = AC + CD = 20 + x\)，\(\tan\angle BAD=\frac{BD}{AD}\)，又因为\(\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，所以\(BD=(20 + x)\times\tan30^{\circ}=(20 + x)\times\frac{\sqrt{3}}{3}\)。
由于\(BD\)的值是相等的，所以可得方程\(\frac{\sqrt{3}}{3}x=(20 + x)\times\frac{\sqrt{3}}{3}\)，两边同时除以\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)，得到\(x = 20 + x\)，这显然不成立，说明我们设未知数的方式有误。重新设\(BD = h\)海里。
在\(\triangle BCD\)中，\(\tan\angle BCD=\frac{BD}{CD}\)，即\(\tan30^{\circ}=\frac{h}{CD}\)，所以\(CD=\frac{h}{\tan30^{\circ}}=\sqrt{3}h\)。
在\(\triangle ABD\)中，\(\tan\angle BAD=\frac{BD}{AD}\)，即\(\tan30^{\circ}=\frac{h}{20 + CD}\)，把\(CD=\sqrt{3}h\)代入可得\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{20+\sqrt{3}h}\)。
交叉相乘得\(20+\sqrt{3}h=\sqrt{3}h\)，这也不成立，再次检查发现是角度关系分析错误。
重新分析：在\(\triangle BCD\)中，\(\angle BCD = 30^{\circ}\)，\(\tan\angle BCD=\frac{BD}{CD}\)，所以\(CD=\sqrt{3}BD\)。在\(\triangle ABD\)中，\(\angle BAD = 30^{\circ}\)，\(\tan\angle BAD=\frac{BD}{AD}\)，所以\(AD=\sqrt{3}BD\)。又因为\(AD = AC + CD\)，\(AC = 20\)海里，所以\(\sqrt{3}BD=20+\sqrt{3}BD\)，这还是错误的。再次重新分析，在\(\triangle BCD\)中，\(\angle BCD = 30^{\circ}\)，\(\cot\angle BCD=\frac{CD}{BD}\)，所以\(CD=\sqrt{3}BD\)；在\(\triangle ABD\)中，\(\angle BAD = 30^{\circ}\)，\(\cot\angle BAD=\frac{AD}{BD}\)，所以\(AD=\sqrt{3}BD\)，由\(AD - CD = AC = 20\)，即\(\sqrt{3}BD-\frac{1}{\sqrt{3}}BD = 20\)。
化简方程\(\sqrt{3}BD-\frac{1}{\sqrt{3}}BD = 20\)，通分得到\(\frac{3BD - BD}{\sqrt{3}} = 20\)，即\(\frac{2BD}{\sqrt{3}} = 20\)，解得\(BD = 10\sqrt{3}\)海里。
求轮船在\(C\)处与灯塔\(B\)的距离（即\(BC\)的长度）：
在\(\triangle BCD\)中，\(\cos\angle BCD=\frac{CD}{BC}\)，因为\(\angle BCD = 30^{\circ}\)，\(\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(CD=\sqrt{3}BD = 30\)海里，所以\(BC=\frac{CD}{\cos30^{\circ}}=\frac{30}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 20\sqrt{3}\)海里。
答案：轮船在\(C\)处时与灯塔\(B\)的距离为\(20\sqrt{3}\)海里。
幻灯片 6：仰角、俯角问题总结
解题关键步骤总结：
准确识别仰角、俯角：根据题目描述，在图中清晰地标出仰角或俯角，明确其对应的直角三角形中的锐角。
构建直角三角形模型：将实际问题中的物体高度、水平距离等信息，转化为直角三角形的边和角。例如，物体垂直高度对应直角三角形的一条直角边，水平距离对应另一条直角边，视线与水平线的夹角（仰角或俯角）为直角三角形的一个锐角。
选择合适的三角函数：
已知斜边和一个锐角，求对边，选用正弦函数\(\sin A=\frac{ è }{ è }\)；求邻边，选用余弦函数\(\cos A=\frac{é è }{ è }\)。
已知一条直角边和一个锐角，求另一条直角边，若已知对边求邻边，选用正切函数的倒数余切函数\(\cot A=\frac{é è }{ è }\)（或先求正切值再通过计算得到邻边）；若已知邻边求对边，选用正切函数\(\tan A=\frac{ è }{é è }\)。
已知两条直角边，可利用勾股定理\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)（其中\(a\)、\(b\)为直角边，\(c\)为斜边）求斜边，也可通过正切函数求锐角。
代入数据计算并作答：将已知数据准确代入所选的三角函数公式或勾股定理中进行计算，注意计算过程的准确性和结果的合理性，最后按照题目要求作答，包括单位等。
常见错误提醒：
角度关系混淆：例如在涉及多个角度的问题中，误将不同位置的仰角、俯角搞混，导致构建的直角三角形错误。
三角函数选择错误：没有根据已知条件正确选择正弦、余弦、正切等三角函数，从而得出错误结果。
计算错误：在代入数据进行计算时，由于粗心大意，如乘法、除法运算错误，根式化简错误等，导致最终答案错误。
忽略实际问题中的条件：比如在测量物体高度问题中，忘记加上测角仪本身的高度等实际因素。
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
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24.4.2仰角、俯角问题
第24章 解直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1 在三角形中共有几个元素？
问题2 解直角三角形的应用问题的思路是怎样？
观察与思考
解与仰俯角有关的问题
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
A
B
C
a
b
c
例1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯角为 60°，热气球与高楼的水平距离为 120 m，这栋高楼有多高（结果精确到 0.1 m）.
A
B
C
D
α
β
仰角
水平线
俯角
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a = 30°，β = 60°.
典例精析
Rt△ABD 中，a =30°，AD＝
120，所以利用解直角三角形的知识求出 BD 的长度；类似地可以求出 CD 的长度，进而求出 BC 的长度，即求出这栋楼的高度.
A
B
C
D
α
β
解：如图，α = 30°，β = 60°，AD = 120．
答：这栋楼高约为 277.1 m.
A
B
C
D
40 m
54°
45°
建筑物 BC 上有一旗杆 AB，由距 BC 40 m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角为 54°，观察底部 B 的仰角为 45°，求旗杆的高度（精确到 0.1 m）.
练一练
解：在等腰 Rt△BCD 中，∠ACD = 90°，
BC = DC = 40 m，
在 Rt△ACD 中 ，
∴AB = AC－BC ≈ 55.2－40 = 15.2 (m).
A
B
C
D
40 m
54°
45°
1. 如图①，在高出海平面 100 米的悬崖顶 A 处，观测海平面上一艘小船 B，并测得它的俯角为 45°，则船与观测者之间的水平距离 BC=_________米.
2. 如图②，两建筑物 AB 和 CD 的水平距离为 30 米，从 A点测得 D 点的俯角为 30°，测得 C 点的俯角为 60°，则建筑物 CD 的高为_______米.
100
图①
B
C
A
图②
B
C
A
D
30°
60°
3. 为测量松树 AB 的高度，一个人站在距松树 15 米的E 处，测得仰角∠ACD = 52°，已知人的高度是 1.72 米，则树高 米(精确到 0.1 米）.
A
D
B
E
C
20.9
图3
图4
4.如图3，从地面上的 C，D 两点测得树顶 A 仰角分别是 45° 和 30°，已知 CD = 200 米，点 C 在 BD 上，则树高 AB 等于 （根号保留）．
5.如图4，将宽为 1 cm 的纸条沿 BC 折叠，使∠CAB = 45°，则折叠后重叠部分的面积为 cm2（根号保留）．
铅垂线
水平线
视线
视线
)仰角
)
1.在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
俯角
3.认真阅读题目，把实际问题去掉情境转化为数学中的几何问题.把四边形问题转化为特殊四边形（矩形或平行四边形）与三角形来解决.
2.梯形通常分解成矩形和直角三角形（或分解成平行四边形与直角三角形）来处理.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
