(共33张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：24.4.3 坡度问题
副标题：理解坡度与坡角关系，解决斜面相关实际问题
适用教材：华东师大版数学九年级上册
授课教师：[具体姓名]
授课班级：[具体班级]
授课时间：[具体时间]
设计思路：以 “概念解析→关系推导→分类应用→总结技巧” 为逻辑，聚焦坡度问题的核心解法
幻灯片 2：课程导入
情境展示：
图片 1：登山爱好者攀登山坡，地图标注山坡 “坡度 1:2.5”，需判断坡度陡峭程度；
图片 2：水利大坝的横截面示意图，工程师根据 “坡度 1:3” 设计坝体高度与水平宽度；
图片 3：教学楼的楼梯，台阶高度与水平深度的比为 “1:2”，符合安全坡度标准。
引导提问：生活中常提到的 “坡度 1:2”“坡度 1:3” 是什么意思？坡度与斜面的倾斜角度（坡角）有什么关系？如何利用坡度解决山坡高度、大坝宽度等实际问题？今天我们就来深入学习 “坡度问题”。
幻灯片 3：坡度与坡角的定义及关系
1. 核心概念定义
坡度（坡比）：坡面的垂直高度（通常用\(h\)表示）与水平宽度（通常用\(l\)表示）的比，记作\(i = h:l\)（或\(i = \frac{h}{l}\)）。
示例：坡度\(1:2\)表示垂直高度\(h=1\)时，水平宽度\(l=2\)，即\(\frac{h}{l} = \frac{1}{2}\)。
坡角：坡面与水平面的夹角，通常用\(\alpha\)表示（如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 即为坡角\(\alpha\)）。
2. 坡度与坡角的关系
推导过程：
在 Rt△ABC 中，坡角\(\alpha\)的对边为垂直高度\(h\)，邻边为水平宽度\(l\)。
根据正切函数定义，\(\tan\alpha = \frac{ è }{é è } = \frac{h}{l}\)。
而坡度\(i = \frac{h}{l}\)，因此坡度\(i = \tan\alpha\)（坡度等于坡角的正切值）。
关键结论：
坡度越大，\(\tan\alpha\)越大，坡角\(\alpha\)越大，坡面越陡峭；反之，坡度越小，坡面越平缓。
3. 图形标注与示例
绘制 Rt△ABC，标注：
垂直高度\(BC = h\)（对边），水平宽度\(AC = l\)（邻边），坡面\(AB\)（斜边，即坡面长度）；
坡角\(\alpha = A\)，坡度\(i = \frac{BC}{AC} = \tan\alpha\)。
示例：若坡度\(i = 1:2\)，则\(\tan\alpha = \frac{1}{2}\)，用计算器可求得坡角\(\alpha 26.57 °\)。
幻灯片 4：坡度问题的基本类型 1—— 已知坡度求垂直高度或水平宽度
解题思路
已知坡度\(i = h:l\)和其中一个量（\(h\)或\(l\)），根据\(i = \frac{h}{l}\)列比例式，求解另一个量。
例题 1：山坡高度计算
题目展示：
某山坡的坡度为\(1:3\)，某人沿山坡向上走了一段水平距离\(l = 15\)米，求此人上升的垂直高度\(h\)。
解答过程：
明确坡度含义：坡度\(1:3\)表示\(\frac{h}{l} = \frac{1}{3}\)；
代入已知量列方程：已知\(l = 15\)米，设\(h = x\)米，则\(\frac{x}{15} = \frac{1}{3}\)；
求解：\(x = \frac{15 1}{3} = 5\)米。
答案：此人上升的垂直高度为 5 米。
例题 2：大坝水平宽度计算
题目展示：
某水库大坝的坡度为\(1:2.4\)，坝高\(h = 20\)米，求大坝的水平宽度\(l\)（坝底与坝顶的水平距离）。
解答过程：
坡度转化：坡度\(1:2.4\)即\(\frac{h}{l} = \frac{1}{2.4}\)；
代入计算：已知\(h = 20\)米，得\(\frac{20}{l} = \frac{1}{2.4}\)，解得\(l = 20 2.4 = 48\)米。
答案：大坝的水平宽度为 48 米。
幻灯片 5：坡度问题的基本类型 2—— 已知坡度求坡面长度
解题思路
先根据坡度\(i = \frac{h}{l}\)，结合已知条件求出垂直高度\(h\)和水平宽度\(l\)；
再利用勾股定理\(AB = \sqrt{h^2 + l^2}\)（\(AB\)为坡面长度），或利用三角函数\(AB = \frac{h}{\sin\alpha}\)（\(\alpha\)为坡角）求解坡面长度。
例题 3：山坡坡面长度计算
题目展示：
一段登山步道的坡度为\(1:\sqrt{3}\)，已知步道的垂直高度\(h = 80\)米，求这段步道的坡面长度（即登山者实际行走的路程）。
解答过程：
求水平宽度\(l\)：
坡度\(1:\sqrt{3}\)表示\(\frac{h}{l} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)，已知\(h = 80\)米，得\(l = 80\sqrt{3}\)米；
求坡面长度\(AB\)：
由勾股定理，\(AB = \sqrt{h^2 + l^2} = \sqrt{80^2 + (80\sqrt{3})^2} = \sqrt{6400 + 19200} = \sqrt{25600} = 160\)米；
（或利用坡角：\(\tan\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}\)，故\(\alpha = 30 °\)，\(AB = \frac{h}{\sin30 °} = \frac{80}{0.5} = 160\)米）。
答案：这段步道的坡面长度为 160 米。
幻灯片 6：坡度问题的综合类型 —— 大坝横截面计算
解题思路
大坝横截面通常为梯形，可通过作高将梯形分解为 “两个直角三角形 + 一个矩形”，利用坡度分别计算两个直角三角形的边长，再结合矩形对边相等的性质，求解坝底宽、坝顶宽等关键量。
例题 4：大坝横截面尺寸计算
题目展示：
某水利大坝的横截面为梯形\(ABCD\)，坝顶宽\(AD = 6\)米，坝高\(h = 10\)米，迎水坡\(AB\)的坡度为\(1:2\)，背水坡\(CD\)的坡度为\(1:1\)，求大坝的坝底宽\(BC\)。
解答过程：
分解梯形为直角三角形和矩形：
过\(A\)作\(AE BC\)于\(E\)，过\(D\)作\(DF BC\)于\(F\)，则\(AE = DF = 10\)米（坝高），\(EF = AD = 6\)米（矩形对边相等）；
计算迎水坡水平宽度\(BE\)：
迎水坡坡度\(1:2\)，即\(\frac{AE}{BE} = \frac{1}{2}\)，得\(BE = 2 AE = 2 10 = 20\)米；
计算背水坡水平宽度\(CF\)：
背水坡坡度\(1:1\)，即\(\frac{DF}{CF} = \frac{1}{1}\)，得\(CF = DF = 10\)米；
求坝底宽\(BC\)：\(BC = BE + EF + CF = 20 + 6 + 10 = 36\)米。
答案：大坝的坝底宽为 36 米。
幻灯片 7：课堂练习 1（基础坡度计算）
题目展示：
某楼梯的坡度为\(1:1.5\)，若楼梯的垂直高度为\(1.8\)米，求楼梯的水平深度和每级台阶的坡面长度（每级台阶高度相同，忽略台阶宽度）；
一段斜坡的坡度为\(1:2\)，坡角为\(\alpha\)，求\(\sin\alpha\)和\(\cos\alpha\)的值。
解答过程：
楼梯问题：
水平深度\(l\)：坡度\(1:1.5 = \frac{1.8}{l}\)，解得\(l = 1.8 1.5 = 2.7\)米；
坡面长度\(AB\)：\(AB = \sqrt{1.8^2 + 2.7^2} = \sqrt{3.24 + 7.29} = \sqrt{10.53} 3.24\)米。
三角函数计算：
设\(h = 1\)，\(l = 2\)，则坡面长度\(AB = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\)；
\(\sin\alpha = \frac{h}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\)，\(\cos\alpha = \frac{l}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\)。
答案：1. 水平深度 2.7 米，坡面长度约 3.24 米；2. \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}\)，\(\cos\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}\)。
幻灯片 8：课堂练习 2（综合大坝问题）
题目展示：
某大坝横截面为梯形，坝顶宽\(8\)米，坝高\(12\)米，迎水坡坡度为\(1:3\)，背水坡坡度为\(1:2.5\)，求：
迎水坡和背水坡的水平宽度；
大坝的坝底总宽度。
解答过程：
水平宽度计算：
迎水坡水平宽度\(l_1\)：\(\frac{12}{l_1} = \frac{1}{3}\)，解得\(l_1 = 36\)米；
背水坡水平宽度\(l_2\)：\(\frac{12}{l_2} = \frac{1}{2.5}\)，解得\(l_2 = 30\)米；
坝底总宽度：
坝底宽 = 迎水坡水平宽 + 坝顶宽 + 背水坡水平宽 = \(36 + 8 + 30 = 74\)米。
答案：1. 迎水坡水平宽度 36 米，背水坡水平宽度 30 米；2. 坝底总宽度 74 米。
幻灯片 9：坡度问题的常见易错点与规避方法
常见易错点
混淆坡度的 “垂直高度” 与 “水平宽度”：
错误示例：将坡度\(1:2\)理解为 “水平宽度 1，垂直高度 2”，颠倒\(h\)与\(l\)的关系；
规避方法：牢记坡度定义 “垂直高度：水平宽度”，可简记为 “高：宽”，画图时明确标注\(h\)（垂直）和\(l\)（水平）。
误用坡面长度作为水平宽度或垂直高度：
错误示例：已知坡面长度和坡度，直接用坡度比例求\(h\)或\(l\)，忽略坡面是斜边；
规避方法：先通过坡度确定\(h\)与\(l\)的比例，设未知数（如\(h = k\)，\(l = nk\)，\(n\)为坡度分母），再用勾股定理关联坡面长度。
大坝横截面分解错误：
错误示例：分解梯形时，未正确区分迎水坡和背水坡的坡度，导致水平宽度计算错误；
规避方法：画图时标注 “迎水坡”“背水坡”，明确每段坡度对应的直角三角形，再分别计算。
幻灯片 10：课堂总结
知识梳理（框架图）：
核心能力：
能准确理解坡度与坡角的关系，将实际问题转化为直角三角形模型；
能根据不同已知条件，选择比例式、勾股定理或三角函数求解；
能解决梯形横截面等综合问题，掌握 “分解图形” 的解题思路。
幻灯片 11：课后作业布置（分层设计）
基础层（必做）：
某山坡坡度为\(1:4\)，若沿山坡走 100 米（坡面长度），求上升的垂直高度（精确到 0.1 米）；
楼梯的垂直高度为 2.4 米，坡度为\(1:2\)，求楼梯的水平深度和坡面长度。
提高层（选做）：
某大坝坝高 15 米，迎水坡坡度\(1:2.5\)，背水坡坡度\(1:2\)，坝顶宽 10 米，求大坝的坝底宽和迎水坡的坡面长度；
一段斜坡的坡度为\(1:\sqrt{2}\)，求坡角\(\alpha\)的度数（用计算器，精确到 1°），并计算沿斜坡向上走 50 米时，水平前进的距离。
实践层（拓展）：
观察生活中的坡度场景（如小区坡道、自行车道、堤坝），用卷尺测量其垂直高度和水平宽度，计算实际坡度，并与设计标准（如无障碍坡道坡度不大于 1:12）对比，分析是否符合规范；
设计一个小型 “水坝” 模型，给定坝高 10 厘米，要求迎水坡坡度不大于 1:3，背水坡坡度不大于 1:2，计算坝顶宽和坝底宽的合理尺寸，画出设计图并标注关键数据。
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.4.3坡度问题
第24章 解直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
A
B
C
观察与思考
α
l
h
i= h : l
1. 坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
2. 坡度 (或坡比)
坡度通常写成 1 : m 的形式，如 i = 1 : 6.
如图所示，坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平长度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作 i， 即 i = h : l .
坡面
水平面
与坡度、坡角有关的实际问题
知识回顾
3. 坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
α
l
h
i= h : l
坡面
水平面
显然，坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡.
1. 斜坡的坡度是 ，则坡角 α =___度.
2. 斜坡的坡角是 45° ，则坡比是 _____.
3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是_______.
α
l
h
30
1 : 1
练一练
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1 : 3 ，斜坡 CD 的坡度 i = 1 : 2.5 ， 求(1)求坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长（精确到0.1m ）； (2)斜坡 CD 的坡面角 α（精确到 1°）
典例精析
分析：由坡度 i 会想到产生铅垂高度，即分别过点 B、C 作 AD 的垂线；
垂线 BE、CF 将梯形分割成 Rt△ABE，Rt△CFD 和矩形 BEFC，则 AD = AE + EF + FD， EF = BC = 6 m，AE、DF 可结合坡度，通过解 Rt△ABE 和 Rt△CDF 求出；
斜坡 AB 的长度以及斜坡 CD 的坡角的问题实质上就是解 Rt△ABE 和 Rt△CDF.
解：(1)分别过点 B、C 作 BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点 E、 F，由题意可知
BE = CF = 23 m ，EF = BC = 6 m.
在 Rt△ABE 中
在 Rt△DCF 中，同理可得
在 Rt△ABE 中，由勾股定理可得
(2) 斜坡 CD 的坡度 i = tan α = 1 : 2.5 = 0.4，由计算器可算得 α = 22°.
= 69 + 6 + 57.5 = 132.5 m
答：坝底宽 AD 为 132.5 米，斜坡 AB 的长约为 72.7 米．斜坡 CD 的坡角 α 约为 22°.
铁路路基的横断面是四边形 ABCD，AD∥BC，路基宽 BC = 9.8 m，高 BE = 5.8 m，斜坡 AB 的坡度 i1 = 1 : 1.6，斜坡 CD 的坡度 i2 = 1 : 2.5，求：底宽 AD 和斜坡的坡角 α 和 β (精确到 1°)；
解： 过 C 作 CF⊥AD于点 F，得 CF = BE，EF = BC，∠A = α，∠B = β.
练一练
A
D
B
C
i2 = 1 : 2.5
5.8
9.8
α
i1 = 1 : 1.6
β
F
E
∴AE = 1.6×5.8 = 9.28 (m)，DF = 2.5×5.8 = 14.5 (m).
∴AD = AE + EF + DF = 9.28 + 9.8 + 14.5 ≈ 33.6 (m).
答：铁路路基下底宽为 33.6 m，斜坡的坡角分别为 32° 和 21°.
A
D
B
C
i2 = 1 : 2.5
5.8
9.8
α
i1 = 1 : 1.6
β
F
E
h
α
α
l
)
l
h
)
与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
探究归纳
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长 l1，测出相应的仰角 α1，这样就可以算出这段山坡的高度 h1 = l1 sin α1.
h1
α1
l1
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度 h1，h2，…，hn，然后我们再“积零为整”，把 h1，h2，…，hn 相加，于是得到山高 h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
方法归纳
h1
α1
l1
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识.例如，当我们要测量如图 1 所示大坝的高度 h 时，只要测出仰角 α 和大坝的坡面长度 l，就能算出 h = l sin α，但是，当我们要测量如图 2 所示的山高 h 时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角 α 和山坡长度 l.
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
图 1
图 2
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，
垂足分别为E、F．
由题意可知
DE＝CF＝4 (米)，
CD＝EF＝12 (米)．
在 Rt△ADE 中，
1. 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米，路基的坡面与地面的倾斜角分别是 45°和 30°，求路基下底的宽 (精确到 0.1 米， ， ).
45°
30°
4 米
12 米
A
B
C
D
E
F
在 Rt△BCF 中，同理可得
因此 AB＝AE＋EF＋BF ≈ 4＋12＋6.93 ≈ 22.93 (米)．
答： 路基下底的宽约为 22.93 米．
(米).
(米).
45°
30°
4 米
12 米
A
B
C
D
E
F
2.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离 AB＝6 m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为 55°，由此，点 A 需向右平移至点 D，请你计算 AD 的长 (精确到 0.1 m)．
1.[2024·泉州实验中学月考]某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．
【点拨】如图，作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N.
∵AC⊥BC，
∴四边形ONCM为矩形．∴ON＝MC，OM＝NC.
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【答案】D
2.[2023·通辽]如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向，距离灯塔100 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处．这时， B处距离灯塔P有多远？(结果取整数，参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈
3.08，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，
tan 40°≈0.84)
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3. 为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建了一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C
的正北方向， BD长为100米，点B在
点A的北偏东30°方向，点D在点E的
北偏东58°方向．
(1)求人行步道DE的长度(结果精确到个位)；
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利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
