(共31张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：25.4.2 相似三角形的判定
副标题：综合应用与复杂图形分析
背景图：展示含多条辅助线的复杂几何图形，标注相似三角形的对应关系和关键角度、比例，搭配推理链条示意图。
幻灯片 2：知识回顾与衔接
三大判定定理回顾：
AA 判定：两角分别相等的两个三角形相似。
SAS 判定：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
SSS 判定：三边成比例的两个三角形相似。
直角三角形特殊判定：
一锐角相等（AA 的特殊形式）。
斜边和一条直角边成比例。
衔接问题：在含多个三角形的复杂图形中，如何准确识别相似三角形？如何利用中间量推导比例关系或角的关系？
幻灯片 3：复杂图形中相似三角形的识别
图形特征分析：
含公共角或对顶角：优先考虑公共角作为对应角，结合其他角的关系用 AA 判定。
含平行线：利用平行线形成的同位角、内错角相等，构建 AA 判定条件。
含中线、高线、角平分线：利用线段比例关系结合 SAS 或 SSS 判定。
识别步骤：
标记已知角的度数和边的比例关系。
寻找公共角、对顶角、平行线形成的等角。
计算边的比例，验证是否满足 SAS 或 SSS 条件。
结合图形对称性或辅助线转化隐含条件。
幻灯片 4：例题讲解 1（含公共角的相似判定）
题目呈现：如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 上，点 E 在 AD 上，且∠BED=∠BAC，求证：△BDE∽△ABC。
解题步骤：
寻找等角关系：∠BED=∠BAC（已知），∠DBE=∠ABC（公共角）。
应用 AA 判定：∵∠BED=∠BAC，∠DBE=∠ABC，∴△BDE∽△ABC（AA）。
关键思路：公共角是重要的对应角，需优先识别并标注，再结合已知角相等完成判定。
幻灯片 5：例题讲解 2（含平行线的相似判定）
题目呈现：如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC、BD 交于点 O，求证：△AOD∽△COB。
解题步骤：
利用平行线性质：∵AD∥BC，∴∠OAD=∠OCB（内错角相等），∠ODA=∠OBC（内错角相等）。
应用 AA 判定：∵∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，∴△AOD∽△COB（AA）。
延伸结论：由相似得\(\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{BC}\)，即平行线分线段成比例的另一种体现。
幻灯片 6：例题讲解 3（多三角形相似的推导）
题目呈现：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，求证：△ABC∽△ACD∽△CBD。
解题步骤：
证明△ABC∽△ACD：
∠ACB=∠ADC=90°（已知），∠A=∠A（公共角），∴△ABC∽△ACD（AA）。
证明△ABC∽△CBD：
∠ACB=∠CDB=90°（已知），∠B=∠B（公共角），∴△ABC∽△CBD（AA）。
传递性得证：∵△ABC∽△ACD 且△ABC∽△CBD，∴△ACD∽△CBD。
结论应用：由此可推导出射影定理：AC =AD AB，BC =BD AB，CD =AD BD。
幻灯片 7：例题讲解 4（SAS 判定的综合应用）
题目呈现：如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD=∠CAE，\(\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}\)，求证：△ABC∽△ADE。
解题步骤：
转化角的关系：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。
验证 SAS 条件：已知\(\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}\)，且∠BAC=∠DAE（已证）。
应用 SAS 判定：∴△ABC∽△ADE（SAS）。
关键技巧：通过角的和差关系转化得到夹角相等，是 SAS 判定中常用的角处理方法。
幻灯片 8：例题讲解 5（SSS 判定的实际应用）
题目呈现：一个三角形框架的三边长分别为 3m、4m、5m，另一个三角形框架的三边长分别为 6m、8m、10m，且两个框架的角都对应摆放，判断它们是否相似，并用角尺验证对应角是否相等。
解题步骤：
计算边的比例：\(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)，三边成比例。
应用 SSS 判定：∴两个三角形相似。
验证对应角：用角尺测量发现对应角均相等（如 90°、53°、37°），符合相似性质。
实践意义：SSS 判定可用于实际物体的相似性判断，无需测量角度。
幻灯片 9：辅助线在相似判定中的应用
辅助线添加原则：
构造平行线：利用平行线分线段成比例或形成等角，创造 AA 判定条件。
构造等角：通过作角平分线、垂线等转化角的关系。
转化线段比例：通过延长或截取线段，使分散的比例关系集中。
例题讲解：如图，在△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 中点，E 为 AB 上一点，F 为 AC 延长线上一点，且 BE=CF，EF 交 BC 于 G，求证：EG=FG。
辅助线：过 E 作 EH∥AC 交 BC 于 H。
证明：∵EH∥AC，∴∠EHB=∠ACB=∠B（AB=AC），故 EH=BE=CF。再证△EHG∽△FCG（AA），得\(\frac{EG}{FG} = \frac{EH}{CF} = 1\)，故 EG=FG。
幻灯片 10：相似判定与其他几何知识的结合
与全等三角形的结合：
全等是相似比为 1 的特殊情况，判定方法可类比（如 ASA 对应 AA，SAS 对应 SAS）。
例题：若△ABC≌△DEF，则△ABC∽△DEF，相似比为 1。
与平行线分线段成比例的结合：
平行线截三角形得相似三角形，比例线段可用于相似判定。
例题：DE∥BC 则\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)，结合∠A=∠A 可证△ADE∽△ABC（SAS）。
与勾股定理的结合：
直角三角形中，若两边满足勾股定理且对应成比例，则相似。
例题：Rt△ABC（3,4,5）与 Rt△DEF（6,8,10），三边成比例故相似。
幻灯片 11：课堂练习 1（综合判定）
题目 1：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE。
题目 2：在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，D 为 AB 中点，E 为 AC 上一点，若 DE=4，判断 DE 与 BC 是否平行，并说明理由。
题目 3：Rt△ABC 中，∠C=90°，CD⊥AB，AD=2，DB=8，求 CD 的长（用相似三角形判定推导）。
幻灯片 12：课堂练习 2（拓展提升）
题目 4：如图，在△ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 上的点，且 BD=CE，DE 的延长线交 BC 的延长线于 F，求证：\(\frac{DF}{EF} = \frac{AC}{AB}\)（提示：过 D 作 DG∥AC 交 BC 于 G）。
题目 5：已知△ABC 中，∠A=60°，BD、CE 分别为 AC、AB 上的高，求证：△ADE∽△ABC。
幻灯片 13：常见错误与纠正
错误类型 1：辅助线添加无目的：
错误示例：随意作辅助线，未与已知条件或判定定理关联。
纠正：添加辅助线前明确目标（如构造平行线需对应等角或比例线段）。
错误类型 2：忽略相似三角形的传递性：
错误示例：已知△A∽△B 和△B∽△C，未意识到△A∽△C。
纠正：掌握相似的传递性（若△A∽△B 且△B∽△C，则△A∽△C）。
错误类型 3：比例线段对应错误：
错误示例：△ABC∽△DEF 中，误写\(\frac{AB}{EF} = \frac{BC}{DE}\)。
纠正：严格按对应顶点顺序写比例式（\(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}\)）。
幻灯片 14：课堂总结
复杂图形判定要点：优先识别公共角、平行线形成的等角，利用角的和差转化夹角关系。
辅助线作用：通过构造平行线、等角等，将隐含条件转化为相似判定的明确条件。
知识关联：相似判定与全等、平行线分线段成比例、勾股定理等知识紧密结合，需综合运用。
解题策略：
标记已知条件，明确目标三角形。
选择合适的判定定理（优先 AA，再 SAS 或 SSS）。
利用辅助线或传递性突破难点。
幻灯片 15：课后作业布置
基础作业：
（1）如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 AB 中点，CE⊥AB 于 E，求证：△ACE∽△CBE。
（2）两个三角形的边长分别为 a、b、c 和\(ka\)、\(kb\)、\(kc\)（\(k>0\)），证明它们相似。
拓展作业：
（1）在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，求证：\(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\)（提示：过 C 作 CE∥AD 交 BA 延长线于 E）。
（2）已知△ABC∽△DEF，相似比为 3:4，若△ABC 的周长为 18，求△DEF 的周长及面积比。
实践作业：在校园中找两个相似的三角形结构（如屋顶桁架、警示牌），测量对应边长验证相似，并分析相似在结构稳定性中的作用。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
25.4.2 相似三角形的判定
第二十五章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.经历探索相似三角形判定的过程，培养几何直观与推理能力，发展科学的探究精神，养成严谨的科学态度。
2.通过相似三角形判定的应用，培养推理能力，发展数学核心素养。
学习重点：会用两条边对应成比例且夹角相等判定两个三角形相似并能进行应用。
学习难点：能够找到证明判定定理的方法，能有条理的表达说理过程。
思考：
（1）目前判定相似的方法有哪些？
（2）全等三角形有哪些判定方法？类比全等的判定猜想相似 的判定还会有哪些？
根据上节所学的相似三角形的判定定理，猜想满足两个条件还有其他的判定相似的方法吗？并设计方案，说明猜想的正确性。
学生活动一 【一起探究】
全等的判定方法 相似的判定
AAS 两角对应相等的两个三角形相似
ASA SAS
猜想：
请类比全等的判定定理，对相似的判定进行猜想
两边对应成比例且夹角相等的
两个三角形相似
全等的判定方法 相似的判定
SSS
猜想：
HL
猜想：
三边对应成比例两个三角形相似
斜边、直角边对应成比例的两个直角三角形相似
做一做：画出△ABC与△DEF，使∠A=∠D，
=2（比值可以自己确定）
学生活动二 【一起探究】
思考：（1）你画的两个三角形相似吗？
（2）如何验证这两个三角形相似？试一试。
（3）如何证明这两个三角形相似呢？上节课证明 判定定理的方法对你有 什么启示？
思考：如何证明上述猜想？
请画出图形，写出已知、求证并证明。
猜想：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
已知：如图25-4-8，在△ABC和 △A′B′C′中，= ，∠A=∠A′ .
求证： △ABC∽△A′B′C′.
你还有其他方法吗？
方法：作全等，证相似
作相似，证全等
判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
符号语言：
∵∠A=∠D,
∴△ABC∽△DEF
例 已知：在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝60°，
AB＝4 cm，AC＝8 cm，A′B′＝11 cm，A′C′＝22 cm.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
学生活动三 【探究判定定理的应用】
证明：∵=，=,
∴=.
又∵∠A=∠A′=60°，
∴△ABC∽△A′B′C′.
1.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA∶OC＝OB：OD，则下列结论中一定正确的是 ( ) .
A．①与②相似 B．①与③相似
C．①与④相似 D．②与④相似
B
①
④
②
③
2.如图所示，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的一点，
且BP ＝ 3PC，Q 是CD 的中点.
求证： △ ADQ ∽ △ QCP.
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C
1.
如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的( )
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2.
C
如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原
三角形不相似的是( )
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3.
D
根据上述信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论：
嘉嘉说：“连接PQ，则PQ∥BC．”
淇淇说：“连接PQ，则△AQP∽△ABC．”
对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是( )
A．两人都正确 B．两人都错误
C．嘉嘉正确，淇淇错误 D．嘉嘉错误，淇淇正确
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4.
50
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5.
54
如图所示，AB，CD交于点O，且OC＝45，OD＝30，OB＝36.
当OA＝________时，△AOC∽△BOD；
当OA＝________时，△AOC∽△DOB．
6.
[2024广州中考]如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF.
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7.
B
如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形，若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )
A．①和②相似
B．①和③相似
C．①和④相似
D．②和④相似
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8.
D
如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件，使得△ADE∽△ABC．则下列选项不满足要求的是( )
本节课我们研究了相似三角形判定定理，请同学们带着以下问题进行总结：
(1)本节课你学到了哪些知识？目前为止相似三角形的判定方法你学了几个？
(2)本节课学习经历了怎样的过程？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
