(共36张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：25.4.3 相似三角形的判定
副标题：进阶应用与动态问题解析
背景图：展示含动点的几何图形、实际测量场景中的三角形相似示意图，搭配动态变化的比例关系动画效果。
幻灯片 2：知识回顾与进阶引入
核心判定方法回顾：
AA 判定：两角分别相等则相似。
SAS 判定：两边成比例且夹角相等则相似。
SSS 判定：三边成比例则相似。
直角三角形特殊判定：一锐角相等或斜边直角边成比例。
进阶问题特征：
含动点：三角形形状随点的移动变化，需判断相似的临界条件。
多辅助线：需通过多条辅助线构造相似三角形的判定条件。
实际情境转化：将测量、设计等实际问题转化为相似三角形判定问题。
幻灯片 3：动态问题中的相似判定（动点问题）
问题特征：图形中存在一个或多个动点，需分析动点移动过程中三角形相似的情况，通常涉及分类讨论。
解题步骤：
确定动点移动范围及变量表示（如设移动距离为\(x\)）。
用含变量的代数式表示三角形的边长或角度。
根据相似判定定理列出比例关系或角的等量关系。
解方程并检验解的合理性（符合动点范围）。
例题讲解 1：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点 P 从点 A 出发沿 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 C 出发沿 CB 向点 B 以 2cm/s 的速度移动，两点同时出发，设运动时间为\(t\)秒，当\(t\)为何值时，△PCQ 与△ACB 相似？
解题步骤：
表示线段长度：AP = \(t\)，则 PC = 6 - \(t\)；CQ = 2\(t\)，QB = 8 - 2\(t\)（\(t\)范围：0 < \(t\) < 4）。
分情况讨论相似：
情况 1：△PCQ∽△ACB（∠C=∠C），则\(\frac{PC}{AC} = \frac{CQ}{CB}\)，即\(\frac{6 - t}{6} = \frac{2t}{8}\)，解得\(t = \frac{12}{5} = 2.4\)。
情况 2：△PCQ∽△BCA（∠C=∠C），则\(\frac{PC}{BC} = \frac{CQ}{AC}\)，即\(\frac{6 - t}{8} = \frac{2t}{6}\)，解得\(t = \frac{18}{11} \approx 1.64\)。
结论：当\(t = 2.4\)秒或\(t = \frac{18}{11}\)秒时，两三角形相似。
幻灯片 4：含特殊角度的相似判定
特殊角度应用：当图形中存在 30°、45°、60°、90° 等特殊角度时，可利用角度关系快速寻找等角，简化判定过程。
例题讲解 2：如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，点 D 在 AC 上，且∠ABD=30°，求证：△ABD∽△ACB。
解题步骤：
计算角度：∠ACB = 180° - 60° - 45° = 75°；∠ADB = 180° - 60° - 30° = 90°（错误，重新计算：∠ADB = 180° - ∠BAD - ∠ABD = 180° - 60° - 30° = 90°，∠DBC = 45° - 30° = 15°，∠BDC = 180° - 15° - 75° = 90°）。
寻找等角：∠BAD=∠CAB=60°（公共角）；∠ABD=30°，∠ACB=75°（不相等），修正思路：计算∠ABD=30°，∠ACB=75° 不匹配，重新看题：∠ABC=45°，∠ABD=30°，故∠DBC=15°，∠ADB=180°-60°-30°=90°，∠BAC=60°，∠ABC=45°，△ABC 中∠C=75°，△ABD 中∠ABD=30°，∠BAD=60°，∠ADB=90°，△ACB 中∠C=75°，∠ABC=45°，无直接等角，换方法：计算边的比例或找其他角。
正确思路：∠ABD=30°，∠BAC=60°，则∠ADB=90°；∠ABC=45°，∠BAC=60°，则∠ACB=75°，不相似？题目可能有误，调整例题：∠ABD=∠ACB，即∠ABD=75°，则∠DBC=45°-75° 不合理，改为∠BDC=∠BAC=60°，则可证相似。（修正例题后）证明：∵∠BDC=∠BAC=60°，∠C=∠C，∴△BDC∽△BAC（AA）。
幻灯片 5：多辅助线构造相似三角形
辅助线组合策略：当单一辅助线无法转化条件时，需结合平行线、垂线、角平分线等多种辅助线构造相似模型。
例题讲解 3：如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，D 为 BC 中点，E 为 AC 上一点，且 CE=3AE，求证：△ADE∽△ABD。
辅助线：连接 AD，过 E 作 EF⊥AD 于 F。
解题步骤：
计算角度与边长：AB=AC，∠BAC=120°，故∠B=∠C=30°，D 为中点，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=60°，设 AE=k，则 CE=3k，AC=4k=AB，AD=AB sin30°=2k，BD=AB cos30°=2√3 k。
计算△ADE 的边：在 Rt△AEF 中，∠CAD=60°，AF=k cos60°=0.5k，EF=k sin60°=√3 k/2，FD=AD - AF=2k - 0.5k=1.5k。
验证比例与角：AD=2k，AB=4k，故\(\frac{AD}{AB} = \frac{2k}{4k} = \frac{1}{2}\)；AE=k，AD=2k，故\(\frac{AE}{AD} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}\)，且∠DAE=∠BAD=60°，∴△ADE∽△ABD（SAS）。
幻灯片 6：相似判定在实际测量中的应用
测量原理：利用相似三角形对应边成比例，将不可直接测量的长度转化为可测量的线段比例。
例题讲解 4：如图，为测量河对岸大树 AB 的高度，在河岸上取一点 C，在 C 处测得树顶 A 的仰角为 30°，沿 BC 方向前进 20 米至 D 处，测得树顶 A 的仰角为 60°，求大树 AB 的高度。
解题步骤：
构造三角形：∠ABC=90°，∠ACB=30°，∠ADB=60°，故∠BAD=30°，∠CAD=30°，AD=CD=20 米（∠CAD=∠ACB=30°）。
证明相似或直接计算：在 Rt△ABD 中，∠ADB=60°，AB=AD sin60°=20×√3/2=10√3≈17.32 米。
相似思路验证：△ABD∽△CBA（∠B=∠B，∠ADB=∠CAB=60°），\(\frac{AB}{BC} = \frac{BD}{AB}\)，设 BD=x，则 BC=x+20，AB=√3 x，故 (√3 x) = x (x+20)，解得 x=10，AB=10√3。
幻灯片 7：相似三角形的判定与函数结合
函数关系建立：将三角形的边长、面积等用变量表示，结合相似判定条件建立函数关系式。
例题讲解 5：在△ABC 中，AB=8，AC=6，BC=10，点 P 在 BC 上运动，过 P 作 PD⊥AB 于 D，PE⊥AC 于 E，设 BP=x，用含 x 的代数式表示 PD 和 PE，并判断△PBD 与△PCE 是否可能相似。
解题步骤：
证明△ABC 为直角三角形：6 +8 =10 ，故∠A=90°，PD⊥AB，PE⊥AC，四边形 ADPE 为矩形。
求 PD 和 PE：△PBD∽△CBA，\(\frac{PD}{AC} = \frac{BP}{BC}\)，即\(\frac{PD}{6} = \frac{x}{10}\)，PD=0.6x；同理 PE=0.8 (10 - x)。
判断相似可能性：若△PBD∽△PCE，则\(\frac{PD}{PE} = \frac{BD}{CE}\)，BD=0.8x，CE=0.6 (10 - x)，代入得\(\frac{0.6x}{0.8(10 - x)} = \frac{0.8x}{0.6(10 - x)}\)，解得 x=10（舍去）或 x=0（舍去），故不可能相似。
幻灯片 8：课堂练习 1（动态问题）
题目 1：在△ABC 中，AB=5，BC=6，AC=7，点 P 从 B 出发沿 BC 向 C 运动，速度为 1 单位 / 秒，点 Q 从 C 出发沿 CA 向 A 运动，速度为 2 单位 / 秒，运动时间为\(t\)秒，当\(t\)为何值时，△BPQ∽△BCA？
题目 2：Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点 M 在 AB 上，且 AM=1，点 N 在 AC 上运动，当 AN 为何值时，△AMN∽△ABC？
幻灯片 9：课堂练习 2（实际应用与证明）
题目 3：如图，为测量建筑物 CD 的高度，在 A 处测得顶端 C 的仰角为 30°，向建筑物前进 50 米至 B 处，测得顶端 C 的仰角为 45°，求 CD 的高度（结果保留根号）。
题目 4：在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，求证：△AEF∽△ACB。
幻灯片 10：常见错误与难点突破
动态问题漏解：
错误示例：动点问题中只考虑一种相似对应关系，忽略其他可能的对应情况。
突破方法：明确相似三角形的顶点对应方式，分情况列出所有可能的比例式。
辅助线添加盲目：
错误示例：在含特殊角度的图形中，未利用角度关系构造辅助线（如未作高转化直角三角形）。
突破方法：根据特殊角度（如 60°、45°）优先构造含该角度的直角三角形或平行线。
实际问题建模困难：
错误示例：无法将测量场景中的仰角、距离转化为三角形的边角关系。
突破方法：画出示意图，标注已知角度和距离，确定相似三角形的对应顶点。
幻灯片 11：相似判定的思想方法总结
分类讨论思想：动态问题中根据不同的相似对应关系分类求解。
转化思想：通过辅助线将复杂图形转化为基本相似模型（如 “A 型”“X 型” 相似）。
建模思想：将实际问题抽象为几何图形，建立相似三角形模型解决测量问题。
函数思想：用变量表示线段长度，结合相似条件建立函数关系分析数量变化。
幻灯片 12：课堂总结
动态问题关键：抓住动点移动过程中的不变量（如公共角、固定角度），分情况讨论相似对应关系。
辅助线技巧：特殊角度优先构造直角三角形，复杂图形结合平行线和垂线转化比例关系。
实际应用步骤：抽象几何模型→标注已知量→确定相似三角形→列比例式求解。
思想方法：综合运用分类讨论、转化、建模思想，提升复杂问题的分析能力。
幻灯片 13：课后作业布置
基础作业：
（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，点 P 在 AC 上，AP=2，点 Q 在 AB 上，当 AQ 为何值时，△APQ∽△ACB？
（2）如图，△ABC 中，∠B=60°，点 D、E 分别在 AB、BC 上，且∠CDE=60°，求证：△CDE∽△CBA。
拓展作业：
（1）在△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，点 P 在 BC 上，BP=4，点 Q 在 AC 上，当△BPQ 与△BAC 相似时，求 CQ 的长。
（2）设计一个利用相似三角形测量学校旗杆高度的方案，要求写出测量工具、步骤、数据记录及计算过程。
挑战作业：在平面直角坐标系中，A (0,3)，B (4,0)，C (0,0)，点 P 在 AB 上，从 A 向 B 运动，速度为 1 单位 / 秒，设运动时间为\(t\)，过 P 作 PD⊥x 轴于 D，当\(t\)为何值时，△PBD 与△ABC 相似？
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
25.4.3 相似三角形的判定
第二十五章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.经历探索相似三角形判定的过程，培养几何直观与推理能力，发展科学的探究精神，养成严谨的科学态度。
2.通过相似三角形判定的应用，培养推理能力，发展核心素养。
学习重点：
会用三条边对应成比例判定两个三角形相似并能进行应用。
学习难点：
能够找到证明判定定理的方法，能有条理的表达说理过程。
思考：
（1）目前判定相似的方法有哪些？
（2）全等三角形有哪些判定方法？类比全等的判定猜想相似 的判定还会有哪些？
全等的判定方法 相似的判定
AAS 两角对应相等的两个三角形相似
ASA SAS
猜想：
两边对应成比例且夹角相等的
两个三角形相似
全等的判定方法 相似的判定
SSS
猜想：
HL
猜想：
三边对应成比例两个三角形相似
斜边、直角边对应成比例的两个直角三角形相似
做一做：画出△ABC与△DEF，使 =2，
（比值可以自己确定）
学生活动一 【一起探究】
思考：（1）你画的两个三角形相似吗？
（2）如何验证这两个三角形相似？试一试。
（3）如何证明这两个三角形相似呢？上节课证明 判定定理的方法对你有 什么启示？
思考：如何证明上述猜想？
请画出图形，写出已知、求证并证明。
猜想：三边对应成比例的两个三角形相似
已知：如图25-4-11，在△ABC和 △A′B′C′中，= =
求证： △ABC∽△A′B′C′.
你还有其他方法吗？
方法：作全等，证相似
作相似，证全等
判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似
符号语言：
∵
∴△ABC∽△DEF
例 如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠B＝90°，
∠B′＝90°，
求证： Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ ．
学生活动二 【探究判定定理的应用】
你能得到什么结论？试着用自己的语言说一说
判定定理：直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。
符号语言：
∵∠B=∠E=90°，
∴△ABC∽△DEF
A
B C E F
D
学生活动三 【一起探究】
1.下图中小正方形的边长均为1，则图2 2中的哪一个三角形(阴影部分)与图2 1中的△ABC 相似？
2 2
2 1
引导：图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度的比是否相等来判断哪两个三角形相似．
温馨提示：三边从小到大
排列后再判断比是否相等
2.如图，若A，B，C，P，Q，甲，乙，丙，丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R 应是甲，乙，丙，丁四点中的( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
C
3.如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH 都是相同的正方形．
(1)△ACF 与△GCA相似吗 说说你的理由．
(2)求∠1＋∠2的度数．
(1)△ACF 与△GCA相似吗 说说你的理由．
(2)求∠1＋∠2的度数．
解：∵△ACF∽△GCA，
∴∠1=∠CAF，
∴∠1＋∠2=∠CAF＋∠2=∠ACB=45°.
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C
1.
已知△ABC的三边长分别为7.5，9和10.5，△DEF的一边长为5，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似( )
A．4，5
B．5，6
C．6，7
D．7，8
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2.
B
[2025石家庄期中]如图，每个小正方形边长均为1，则下列各图中的三角形(阴影部分)与左图中△ABC相似的是( )
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3.
C
把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A1B1C1，下列结论不能成立的是( )
A．△ABC∽△A1B1C1
B．△ABC与△A1B1C1的各对应角相等
C．△ABC与△A1B1C1的相似比为3∶1
D．△ABC与△A1B1C1的相似比为1∶3
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4.
20°
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5.
如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点，求证：△ABC∽△DEF.
6.
D
在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是( )
A．∠A＝65°，∠D＝25°
B．AC＝3，BC＝4，DF＝6，EF＝8
C．AC＝9，BC＝12，DF＝12，EF＝16
D．AB＝12，BC＝8，DE＝35，EF＝21
【点方法】
两个直角三角形除去直角外，具备下列条件都可以判定相似：①一个锐角相等；②任意两边对应成比例．
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7.
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8.
如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5；在△DEF中，∠F＝90°，DF＝6，DE＝10.求证：△ABC∽△DEF.
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9.
A
[教材P81习题A组T3变式]如图，在正方形网格中，与△ABC相似的三角形是( )
A．△AFD
B．△AED
C．△FED
D．不能确定
本节课我们研究了相似三角形判定定理，请同学们带着以下问题进行总结：
(1)本节课你学到了哪些知识？目前为止相似三角形的判定
方法你学了几个？
(2)本节课学习经历了怎样的过程？这个过程中用到了哪些
数学方法？积累了哪些活动经验？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
