28.2. 过三点的圆（课件）冀教版2025-2026学年九年级数学上册

(共23张PPT)
幻灯片 1：封面
课程标题：28.2 过三点的圆
副标题：探寻圆的唯一性奥秘
教师姓名：[具体姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：学习目标
理解 “不在同一条直线上的三个点确定一个圆” 这一重要定理。
掌握过不在同一直线上的三点作圆的方法，能准确找出圆心和半径。
认识三角形的外接圆、外心等概念，理解三角形外心的性质。
体会反证法在证明 “过同一直线上的三点不能作圆” 中的应用，提升逻辑推理能力。
幻灯片 3：情境引入
展示图片：
图片 1：工人师傅要把一个破碎的圆形零件复原，他测量了零件边缘上三个点的位置，准备通过这三个点确定原来圆的大小和位置。
图片 2：为了美化校园，学校要在一块三角形的空地上修建一个圆形喷泉，要求喷泉刚好经过三角形空地的三个顶点，如何确定这个圆形喷泉的位置和大小？
提问引导：在这些实际问题中，都涉及到通过三个点来确定一个圆。那么，怎样才能通过给定的三个点准确地作出一个圆呢？这三个点需要满足什么条件呢？
幻灯片 4：过一点的圆
问题：平面上有一点 A，经过已知点 A 的圆有几个？
分析：圆心为点 A 以外任意一点，半径为这点与点 A 的距离。
图示：绘制多个以不同点为圆心，经过点 A 的圆，展示有无数个这样的圆。
结论：经过一点 A 的圆有无数个。
幻灯片 5：过两点的圆
问题：平面上有两点 A、B，经过已知点 A、B 的圆有几个？它们的圆心分布有什么特点？
分析：连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线。因为圆的圆心到圆上任意一点的距离都等于半径，所以经过 A、B 两点的圆的圆心到 A、B 的距离相等，这些圆心必然在线段 AB 的垂直平分线上。
图示：绘制线段 AB，作出其垂直平分线，再以垂直平分线上不同点为圆心，画出经过 A、B 两点的多个圆。
结论：经过两点 A、B 的圆有无数个，它们的圆心都在线段 AB 的垂直平分线上。
幻灯片 6：过三点的圆（不共线情况）
问题：当点 A、B、C 不在同一条直线上时，过这三点能否作圆？
分析：
经过 A、B 两点的圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上；经过 B、C 两点的圆的圆心在线段 BC 的垂直平分线 上。
这两条垂直平分线会相交于一点 O，点 O 到 A、B、C 三点的距离相等（根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。以点 O 为圆心，OA（或 OB、OC）为半径作圆，这个圆就经过 A、B、C 三点。
图示：绘制不共线的三点 A、B、C，作出线段 AB 和 BC 的垂直平分线，它们相交于点 O，然后以 O 为圆心，OA 为半径画圆，展示该圆经过 A、B、C 三点。
定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
幻灯片 7：过三点的圆（共线情况）
问题：当点 A、B、C 在同一条直线上时，过这三点能否作圆？
反证法证明：
假设过同一条直线 l 上三点 A、B、C 可以作一个圆，设这个圆的圆心为 P。
那么点 P 既在线段 AB 的垂直平分线 l 上，又在线段 BC 的垂直平分线 l 上，即点 P 为 l 与 l 的交点。
但是 l ⊥l，l ⊥l，这与我们以前学过的 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 相矛盾。
所以假设不成立，即过同一条直线上的三点不能作圆。
图示：绘制直线 l 及直线上三点 A、B、C，作出线段 AB 和 BC 的垂直平分线 l 和 l ，直观展示 l 与 l 平行，无交点。
幻灯片 8：三角形的外接圆及相关概念
三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
图示：绘制一个三角形 ABC，作出其外接圆⊙O。
三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。
性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。
图示：在上述图形中，标注出三角形 ABC 三边的垂直平分线相交于点 O（外心），连接 OA、OB、OC，说明 OA = OB = OC。
圆的内接三角形：这个三角形叫做这个圆的内接三角形。例如，在图中，△ABC 是⊙O 的内接三角形。
幻灯片 9：过三点作圆的应用示例 1
例 1：已知△ABC，AB = 3cm，BC = 4cm，AC = 5cm，求△ABC 外接圆的半径。
解答步骤：
因为 AB + BC = 3 + 4 = 25 = AC ，所以△ABC 是直角三角形，∠B = 90°。
直角三角形外接圆的圆心（外心）是斜边 AC 的中点。
所以外接圆半径 r = 1/2 AC = 2.5cm。
幻灯片 10：过三点作圆的应用示例 2
例 2：如图，在平面直角坐标系中，A (0, 2)，B (2, 2)，C (3, 1)，求经过 A、B、C 三点的圆的圆心坐标。
解答步骤：
设圆心坐标为 O (x, y)。
因为圆心到圆上各点距离相等，所以 OA = OB = OC。
根据两点间距离公式，OA = x + (y - 2) ，OB = (x - 2) + (y - 2) ，OC = (x - 3) + (y - 1) 。
由 OA = OB 得：x + (y - 2) = (x - 2) + (y - 2) ，化简得 x = (x - 2) ，展开 x = x - 4x + 4，解得 x = 1。
再由 OA = OC 得：x + (y - 2) = (x - 3) + (y - 1) ，把 x = 1 代入，1 + (y - 2) = (1 - 3) + (y - 1) ，展开 1 + y - 4y + 4 = 4 + y - 2y + 1，移项合并得 - 2y = 0，解得 y = 0。
所以圆心坐标为 (1, 0)。
幻灯片 11：练习 1（过三点的圆的基本概念与应用）
题目：
(1) 下列说法正确的是（ ）
A. 经过三个点一定可以作圆 B. 任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆
C. 任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形 D. 三角形的外心到三角形三边的距离相等
(2) 已知△ABC 的三边分别为 6、8、10，则这个三角形的外接圆半径是______。
(3) 如图，A、B、C 是平面内的三个点，求作经过这三点的圆。（保留作图痕迹）
答案：
(1) B。
(2) 5。
(3) 略（作出线段 AB、BC 的垂直平分线，交点为圆心，以圆心到任一点距离为半径作圆）。
幻灯片 12：反证法的应用拓展
反证法回顾：
反证法是一种间接证法，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾，由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。
应用示例：
求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°。
证明：假设在一个三角形中没有一个内角小于或等于 60°，即三个内角都大于 60°，那么三个内角之和就大于 180°，这与三角形内角和等于 180° 相矛盾。所以假设不成立，原命题成立，即在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°。
幻灯片 13：练习 2（反证法及综合应用）
题目：
(1) 用反证法证明 “在同一平面内，若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b” 时，应假设（ ）
A. a 不垂直于 c B. a，b 都不垂直于 c C. a⊥b D. a 与 b 相交
(2) 已知△ABC 的外心在三角形的外部，则△ABC 是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定
(3) 已知 A、B、C 三点的坐标分别为 (1, 4)，(3, 2)，(-1, -2)，求经过这三点的圆的方程。
答案：
(1) D。
(2) C。
(3) 设圆的方程为 (x - a) + (y - b) = r ，把三点坐标代入得到方程组，解方程组可得圆的方程（过程略）。
幻灯片 14：课堂总结
定理内容：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
作圆方法：通过作线段的垂直平分线找到圆心，圆心到任一点的距离为半径。
相关概念：三角形的外接圆、外心（外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等）、圆的内接三角形。
反证法应用：证明 “过同一直线上的三点不能作圆” 及其他一些几何命题。
幻灯片 15：课后作业
基础作业：教材中与过三点的圆相关的练习题，巩固基本概念和作圆方法。
拓展作业：
实际生活中找一个需要通过三点确定圆的例子（如确定圆形花坛的位置），测量相关数据，作出这个圆。
已知等腰三角形 ABC，AB = AC = 5cm，BC = 6cm，求△ABC 外接圆的面积。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
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28.2. 过三点的圆
第二十八章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念.
2.理解“不在同一条直线上的三点确定一个圆”.
3.能熟练掌握应用尺规过不在同一条直线上的三点作圆的方法.
学习重点：“过不在同一条直线上的三点作圆”的方法.
学习难点：如何确定圆的思维过程.
过平面上一点你能画几个圆？
过平面上一个点可作无数个圆
学生活动一 【一起探究】
平面上有两点A、B，过点A、B画圆，能画几个圆？
过两点A,B的圆也有无数个，这些圆的圆心都在AB的垂直平分线上.
平面上三点A、B、C，过点A、B、C的圆是否存在？如果存在，这样的圆有多少个？你能确定经过A、B、C三点的圆的圆心及半径吗？说出你的想法并和同学进行交流.
不在同一直线上的三点确定一个圆.
例：用尺规作过三角形三个顶点的圆.
已知：△ABC.
求作： 圆O，使它过三点A,B,C.
学生活动三 【一起探究】
我们把经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心.
三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等.
学生活动四 【一起探究】
钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的外心在什么位置
学生活动五 【一起探究】
学生活动六 【一起探究】
1.已知直角三角形的两条直角边为5cm和12cm求这个直角三角形的外接圆半径.
2.有一个残破的圆形轮子如图所示，现在要浇铸一个和它半径一样的轮子，需要确定它的圆心，请在图中用尺规作出它的圆心.
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能
1.
已知平面直角坐标系中的三个点分别为A(1，－1)，B(1，5)，C(4，－6)，则A，B，C这三个点________确定一个圆．(填“能”或“不能”)
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2.
( 2，0)　
如图，在平面直角坐标系中，A，B，C是⊙M上的 三个点，A(0，4)，B(4，4)，C(6，2)．
(1)圆心M的坐标为________；
(2)点D(4，－3)在⊙M________(填“内”“外”或“上”)．
内
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3.
D
三角形的外心具有的性质是(　　)
A．外心在三角形外
B．外心在三角形内
C．外心到三角形三边的距离相等
D．外心到三角形三个顶点的距离相等
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4.
A
如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是(　　)
A．点D
B．点E
C．点F
D．点G
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5.
C
如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格的格点上，则以A，B，C三点为顶点的三角形的外接圆内部包含的格点数为(　　)
A．11个 B．12个
C．13个 D．14个
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6.
C
[P152习题A组T1变式]已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则△ABC的外接圆直径为(　　)
A．5
B．12
C．13
D．6.5
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7.
(1，－2)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是点A(－3，0)，点B(－1，2)，点C(3，2)，则△ABC的外心的坐标为________．
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8.
解：如图，圆心O即为所求，
线段OB即为这个圆的半径．
[P152习题A组T2变式]如图，有一块残破的轮片，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件，请你根据所学的有关知识，用尺规作图，找出圆心，作出这个圆的半径．(保留作图痕迹，不写作法)
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9.
D
如图，在由边长相同的小正方形组成的网格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则以点P为外心的三角形是(　　)
A．△ACE B．△ABD
C．△ACD D．△BCE
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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