24.4.1弧长和扇形面积（教学课件）2025-2026学年九年级数学上册人教版
文档属性
| 名称 | 24.4.1弧长和扇形面积（教学课件）2025-2026学年九年级数学上册人教版 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-11 15:57:15 | ||
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文档简介
幻灯片 1：标题页
标题：24.4.1 弧长和扇形面积 —— 探索圆中部分图形的度量
副标题：掌握弧长与扇形面积公式，学会实际应用
配套元素：
背景图：展示含有弧和扇形的实际场景，如扇形花坛、圆弧弯道等，突出弧长和扇形面积计算的必要性。
署名：学科、年级、教师姓名
幻灯片 2：学习目标
知识与技能目标：
理解弧长的概念，掌握弧长公式的推导过程，能运用弧长公式计算弧长。
理解扇形的概念，掌握扇形面积公式的推导过程，能运用扇形面积公式计算扇形面积。
能结合弧长和扇形面积公式解决实际问题，提高计算能力和应用能力。
过程与方法目标：
通过观察、分析、推导等活动，经历弧长和扇形面积公式的探究过程，培养逻辑推理能力和抽象思维能力。
在运用公式解决实际问题的过程中，体会从整体到部分、从特殊到一般的思想方法，提升分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：
在探究弧长和扇形面积公式的过程中，感受数学与生活的密切联系，激发对数学知识的探究兴趣。
通过运用公式解决实际问题，体验成功的喜悦，增强学好数学的信心。
幻灯片 3：情境引入 —— 生活中的弧与扇形
展示实例：
动态展示建筑中的扇形窗户、游乐场的圆弧轨道、蛋糕的扇形切片等。
提出问题：如何计算圆弧轨道的长度？如何计算扇形蛋糕的面积？
提问引导：这些实例中都涉及到圆的一部分 —— 弧和扇形，它们的长度和面积该如何计算呢？本节课我们就来学习弧长和扇形面积的计算。
幻灯片 4：探究一 —— 弧长公式
概念回顾：圆的周长公式为\(C = 2\pi R\)（其中\(R\)为圆的半径）。
弧长定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧的长度叫做弧长。
公式推导：
整个圆的圆心角是\(360^{\circ}\)，对应的弧长是圆的周长\(2\pi R\)。
圆心角为\(1^{\circ}\)的弧长是圆周长的\(\frac{1}{360}\)，即\(\frac{2\pi R}{360}=\frac{\pi R}{180}\)。
圆心角为\(n^{\circ}\)的弧长\(l\)是圆心角为\(1^{\circ}\)的弧长的\(n\)倍，因此\(l=\frac{n\pi R}{180}\)。
公式表述：弧长公式：\(l=\frac{n\pi R}{180}\)（其中\(n\)为圆心角的度数，\(R\)为圆的半径）。
图形演示：在圆形图中标注出圆心角为\(n^{\circ}\)的弧，结合图形说明公式中各量的含义。
幻灯片 5：弧长公式的应用示例
例题 1：已知一个圆的半径为\(6cm\)，求圆心角为\(60^{\circ}\)所对的弧长。
解题步骤：
已知\(R = 6cm\)，\(n = 60^{\circ}\)。
根据弧长公式\(l=\frac{n\pi R}{180}\)，代入得\(l=\frac{60\times\pi\times6}{180}=\frac{360\pi}{180}=2\pi cm\)。
所以圆心角为\(60^{\circ}\)所对的弧长为\(2\pi cm\)。
变式练习：已知一段弧的长为\(4\pi cm\)，所在圆的半径为\(12cm\)，求这段弧所对的圆心角的度数。
解：由\(l=\frac{n\pi R}{180}\)得\(4\pi=\frac{n\pi\times12}{180}\)，解得\(n = 60^{\circ}\)。
幻灯片 6：探究二 —— 扇形面积公式
扇形定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
公式推导：
整个圆的面积公式为\(S=\pi R^{2}\)。
圆心角为\(1^{\circ}\)的扇形面积是圆面积的\(\frac{1}{360}\)，即\(\frac{\pi R^{2}}{360}\)。
圆心角为\(n^{\circ}\)的扇形面积\(S\)是圆心角为\(1^{\circ}\)的扇形面积的\(n\)倍，因此\(S=\frac{n\pi R^{2}}{360}\)。
另一种推导：因为\(l=\frac{n\pi R}{180}\)，所以\(S=\frac{1}{2}lR\)（可类比三角形面积公式\(S=\frac{1}{2}\times???\timesé??\)，这里弧长\(l\)相当于底，半径\(R\)相当于高）。
公式表述：扇形面积公式：
\(S=\frac{n\pi R^{2}}{360}\)（其中\(n\)为圆心角的度数，\(R\)为圆的半径）。
\(S=\frac{1}{2}lR\)（其中\(l\)为扇形的弧长，\(R\)为圆的半径）。
图形演示：在圆形图中标注出扇形，结合图形说明两个公式中各量的含义及关系。
幻灯片 7：扇形面积公式的应用示例
例题 2：已知一个扇形的半径为\(8cm\)，圆心角为\(90^{\circ}\)，求这个扇形的面积。
解题步骤：
方法一：已知\(R = 8cm\)，\(n = 90^{\circ}\)，根据\(S=\frac{n\pi R^{2}}{360}\)，代入得\(S=\frac{90\times\pi\times8^{2}}{360}=\frac{90\times\pi\times64}{360}=16\pi cm^{2}\)。
方法二：先求弧长\(l=\frac{90\times\pi\times8}{180}=4\pi cm\)，再根据\(S=\frac{1}{2}lR\)，得\(S=\frac{1}{2}\times4\pi\times8 = 16\pi cm^{2}\)。
所以这个扇形的面积为\(16\pi cm^{2}\)。
变式练习：已知一个扇形的弧长为\(6\pi cm\)，半径为\(6cm\)，求这个扇形的面积。
解：根据\(S=\frac{1}{2}lR\)，得\(S=\frac{1}{2}\times6\pi\times6 = 18\pi cm^{2}\)。
幻灯片 8：例题解析 —— 弧长和扇形面积的综合应用
例题 3：如图，一个扇形工件的半径为\(10cm\)，圆心角为\(120^{\circ}\)，求这个扇形工件的弧长和面积。
解题步骤：
求弧长：已知\(R = 10cm\)，\(n = 120^{\circ}\)，根据弧长公式\(l=\frac{n\pi R}{180}=\frac{120\times\pi\times10}{180}=\frac{1200\pi}{180}=\frac{20\pi}{3}cm\)。
求面积：方法一，根据\(S=\frac{n\pi R^{2}}{360}=\frac{120\times\pi\times10^{2}}{360}=\frac{120\times\pi\times100}{360}=\frac{100\pi}{3}cm^{2}\)；方法二，根据\(S=\frac{1}{2}lR=\frac{1}{2}\times\frac{20\pi}{3}\times10=\frac{100\pi}{3}cm^{2}\)。
所以这个扇形工件的弧长为\(\frac{20\pi}{3}cm\)，面积为\(\frac{100\pi}{3}cm^{2}\)。
关键思路：根据题目给出的半径和圆心角，直接代入弧长和扇形面积公式进行计算，注意选择合适的公式简化计算。
幻灯片 9：课堂练习（分层完成）
基础题：
半径为\(R\)的圆中，圆心角为\(n^{\circ}\)的弧长公式是\(l=\)______。
半径为\(R\)的圆中，圆心角为\(n^{\circ}\)的扇形面积公式是\(S=\)或\(S=\)（用弧长\(l\)表示）。
已知圆的半径为\(5cm\)，圆心角为\(36^{\circ}\)所对的弧长是______cm。
一个扇形的半径为\(6cm\)，弧长为\(2\pi cm\)，则这个扇形的面积是______\(cm^{2}\)。
提升题：
如图，在\(\odot O\)中，半径\(OA = 6cm\)，\(\angle AOB = 120^{\circ}\)，求阴影部分（扇形\(OAB\)）的周长和面积。
一个扇形的面积是\(15\pi cm^{2}\)，圆心角是\(60^{\circ}\)，求这个扇形的半径和弧长。
要求：学生独立完成后，小组内交流答案和解题思路，选取代表展示解题过程，教师进行点评和讲解。
幻灯片 10：易错点提醒
常见错误：
应用弧长公式时，忘记将圆心角的度数代入公式，或混淆半径和直径的概念，误用直径进行计算。
计算扇形面积时，记错公式，如将\(S=\frac{n\pi R^{2}}{360}\)写成\(S=\frac{n\pi R}{360}\)，或混淆两个扇形面积公式的适用条件。
在计算扇形周长时，只计算弧长，忽略了两条半径的长度。
解决实际问题时，不能正确识别弧和扇形，无法准确提取半径和圆心角等关键信息。
避坑技巧：
牢记弧长公式\(l=\frac{n\pi R}{180}\)和扇形面积公式\(S=\frac{n\pi R^{2}}{360}\)、\(S=\frac{1}{2}lR\)，明确公式中各字母的含义（\(n\)是圆心角度数，\(R\)是半径）。
计算扇形周长时，记住扇形周长 = 弧长 + 2× 半径，不要遗漏半径的长度。
解决实际问题时，先根据题意画出图形，标注出半径和圆心角，再选择合适的公式进行计算。
计算过程中注意单位的一致性，确保结果的准确性。
幻灯片 11：课堂小结
核心收获：
弧长公式：\(l=\frac{n\pi R}{180}\)（\(n\)为圆心角度数，\(R\)为半径）。
扇形定义：由圆心角的两条半径和所对弧围成的图形。
扇形面积公式：\(S=\frac{n\pi R^{2}}{360}\)或\(S=\frac{1}{2}lR\)（\(l\)为弧长）。
扇形周长：弧长与两条半径长度之和。
方法提炼：解决弧长和扇形面积问题的关键是明确圆心角、半径和弧长之间的关系，根据已知条件选择合适的公式进行计算，计算扇形周长时不要忘记加上两条半径的长度。
幻灯片 12：作业布置
必做题：教材 PXX 页习题 24.4 第 1、2、3 题，要求运用弧长和扇形面积公式进行计算。
选做题：如图，一个半圆形的花坛，直径为\(10m\)，求这个花坛的周长和面积（结果保留\(\pi\)）。
实践题：观察生活中的弧和扇形物体，测量相关数据（半径或直径、圆心角），计算其弧长和面积。
幻灯片 13：结束页
寄语：弧长和扇形面积公式是圆的重要度量工具，它们将圆的整体性质与部分特征紧密联系起来。愿你能熟练掌握这些公式，在解决实际问题中灵活运用，感受数学的实用价值！
致谢：感谢聆听，下次课再见！
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.4.1弧长和扇形面积
第24章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
(1)通过复习圆的周长和面积公式，探索n°圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式.
(2) 会利用弧长和扇形面积的计算公式解决相关问题.
1.正多边形的性质：
（1）正多边形的各边相等.
（2）正多边形的各角相等.
2.正n边形的一个内角的度数是_________；
中心角是______；正多边形的中心角与外角的大小关系是______.
相等
在田径比赛400米跑中，运动员们的起跑位置相同吗？为什么？
起跑位置不同，因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
问题：怎样求一段弧的长度呢？
弧长公式
知识点1
（1）半径为R的圆，周长是多少？
（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？
（3）1°圆心角所对的弧长是多少？
R
360°
C=2πR
360°
140°圆心角所对的弧长是多少？
n°
A
B
O
若设⊙O半径为R，n°的圆心
角所对的弧长为 .
弧长公式：
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度L(结果取整数)
L≈2×700+1570=2970 （mm）.
答：管道的展直长度为2970mm．
因此所要求的展直长度为
l （mm）.
解：由弧长公式，可得 的长
扇形的定义和面积公式
知识点2
扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
1°圆心角所对的扇形面积是多少？n°的圆心角呢？
1°
思考：由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分.想一想，圆面积可以看作是多少度的圆周角所对的扇形面积？
在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积计算公式为
S扇形＝ S圆
＝ πR2
扇形面积公式：
扇形面积与圆心角和半径有关
弧长与圆的周长有关,扇形的面积与圆的面积有关.因此,计算弧长时是 ；而计算扇形的面积时是 .
弧长公式与扇形面积公式的区别：
比较扇形面积(S)公式和弧长(l)公式，你能用弧长来表示扇形的面积吗?
探索弧长与扇形面积的关系
S
R
n°
l
O
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.
弓形的面积=S扇OAB-S△OAB
提示:
例2
O
B
A
C
解：如图，连接OA,OB,作弦AB的垂直平分线，垂足为D,交AB于点C，连接AC.
⌒
∵OC=0.6m,DC=0.3m,
∴OD=OC-DC=0.3m.
∴OD=DC.
又AD⊥DC,
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
从而∠AOD=60°，∠AOB=120°.
有水部分的面积S=S扇形OAB-S△OAB=
O
B
A
C
D
随堂演练
基础巩固
1.已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是 .
2.75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在的圆半径是 cm.
3.一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2，则扇形的圆心角是 .
4π
6
150°
4.如图是一段弯形管道，其中,∠O=∠O′=90°，中心线的两条圆弧半径都为1000mm,求图中管道的展直长度. (π取3.142)
解：
答：图中管道的展直长度约为6142mm.
5.如图，草坪上的自动喷水装置能旋转220°，如果它的喷射区域是一个扇形，这个扇形的半径是20m，求它能喷灌的草坪的面积.
解：
答：它能喷灌的草坪的面积为 πm2.
6.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.9 m，求截面上有水部分的面积 (结果保留小数点后两位）.
O
A
D
C
E
B
解：如图，连接OA,OB，过O作弦AB的垂直平分线，垂足为E，交 于点C、D，连接AD.
∵OC=0.6，CE=0.9，
∴ OE=CE-OC=0.3.
O
A
D
C
E
B
∴OE=DE，又AE⊥DO，
∴AE是OD的垂直平分线，AO=AD=OD.
∴∠AOD=60°，∠BOD=60°
∠AOC=120°，∠BOC=120°.
S有水部分的面积=S扇形OAB+S△AOB
综合应用
7.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为120°，AB的长为30cm，扇形BD的长为20cm，求扇面的面积.
解：
解：
方法一：
方法二：
拓展延伸
8.正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积.
知识点1 弧长公式及其应用
1.［2024安徽中考］若扇形????????????的半径为6，∠????????????=????????????? ，则????????? 的
长为( )
?
C
A.???????? B.???????? C.???????? D.????????
?
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2.一个扇形的圆心角为????????? ，它所对的弧长为????????????????? ，则这个扇形的半
径为( )
?
A
A.????????????? B.????????????????? C.?????????????????? D.?????????????
?
返回
3.［2024绵阳中考］将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的
半径为2，弧长为???????????? ，则扇形的圆心角大小为( )
?
D
A.????????? B.????????? C.????????? D.?????????????
?
返回
（第4题）
4. 某校在社会实践活动中，明明同学用
一个直径为????????????????? 的定滑轮带动重物上升.如图，滑轮上一
点????绕点????逆时针旋转????????????? ，假设绳索（粗细不计）与滑
轮之间没有滑动，则重物上升了( )
?
B
A.????.????????????????? B.????????????????? C.????????????????????? D.?????????????????????
?
返回
5.［2024淮安中考］如图，△????????????是⊙???? 的内接三角形，
∠????????????=?????????， ⊙????半径为3，则????????? 的长为___.
?
????????????
?
（第5题）
返回
n°
l
O
弧长公式：
扇形面积公式：
R
弧长与扇形面积的关系：
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
标题：24.4.1 弧长和扇形面积 —— 探索圆中部分图形的度量
副标题：掌握弧长与扇形面积公式，学会实际应用
配套元素：
背景图：展示含有弧和扇形的实际场景，如扇形花坛、圆弧弯道等，突出弧长和扇形面积计算的必要性。
署名：学科、年级、教师姓名
幻灯片 2：学习目标
知识与技能目标：
理解弧长的概念，掌握弧长公式的推导过程，能运用弧长公式计算弧长。
理解扇形的概念，掌握扇形面积公式的推导过程，能运用扇形面积公式计算扇形面积。
能结合弧长和扇形面积公式解决实际问题，提高计算能力和应用能力。
过程与方法目标：
通过观察、分析、推导等活动，经历弧长和扇形面积公式的探究过程，培养逻辑推理能力和抽象思维能力。
在运用公式解决实际问题的过程中，体会从整体到部分、从特殊到一般的思想方法，提升分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：
在探究弧长和扇形面积公式的过程中，感受数学与生活的密切联系，激发对数学知识的探究兴趣。
通过运用公式解决实际问题，体验成功的喜悦，增强学好数学的信心。
幻灯片 3：情境引入 —— 生活中的弧与扇形
展示实例：
动态展示建筑中的扇形窗户、游乐场的圆弧轨道、蛋糕的扇形切片等。
提出问题：如何计算圆弧轨道的长度？如何计算扇形蛋糕的面积？
提问引导：这些实例中都涉及到圆的一部分 —— 弧和扇形，它们的长度和面积该如何计算呢？本节课我们就来学习弧长和扇形面积的计算。
幻灯片 4：探究一 —— 弧长公式
概念回顾：圆的周长公式为\(C = 2\pi R\)（其中\(R\)为圆的半径）。
弧长定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧的长度叫做弧长。
公式推导：
整个圆的圆心角是\(360^{\circ}\)，对应的弧长是圆的周长\(2\pi R\)。
圆心角为\(1^{\circ}\)的弧长是圆周长的\(\frac{1}{360}\)，即\(\frac{2\pi R}{360}=\frac{\pi R}{180}\)。
圆心角为\(n^{\circ}\)的弧长\(l\)是圆心角为\(1^{\circ}\)的弧长的\(n\)倍，因此\(l=\frac{n\pi R}{180}\)。
公式表述：弧长公式：\(l=\frac{n\pi R}{180}\)（其中\(n\)为圆心角的度数，\(R\)为圆的半径）。
图形演示：在圆形图中标注出圆心角为\(n^{\circ}\)的弧，结合图形说明公式中各量的含义。
幻灯片 5：弧长公式的应用示例
例题 1：已知一个圆的半径为\(6cm\)，求圆心角为\(60^{\circ}\)所对的弧长。
解题步骤：
已知\(R = 6cm\)，\(n = 60^{\circ}\)。
根据弧长公式\(l=\frac{n\pi R}{180}\)，代入得\(l=\frac{60\times\pi\times6}{180}=\frac{360\pi}{180}=2\pi cm\)。
所以圆心角为\(60^{\circ}\)所对的弧长为\(2\pi cm\)。
变式练习：已知一段弧的长为\(4\pi cm\)，所在圆的半径为\(12cm\)，求这段弧所对的圆心角的度数。
解：由\(l=\frac{n\pi R}{180}\)得\(4\pi=\frac{n\pi\times12}{180}\)，解得\(n = 60^{\circ}\)。
幻灯片 6：探究二 —— 扇形面积公式
扇形定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
公式推导：
整个圆的面积公式为\(S=\pi R^{2}\)。
圆心角为\(1^{\circ}\)的扇形面积是圆面积的\(\frac{1}{360}\)，即\(\frac{\pi R^{2}}{360}\)。
圆心角为\(n^{\circ}\)的扇形面积\(S\)是圆心角为\(1^{\circ}\)的扇形面积的\(n\)倍，因此\(S=\frac{n\pi R^{2}}{360}\)。
另一种推导：因为\(l=\frac{n\pi R}{180}\)，所以\(S=\frac{1}{2}lR\)（可类比三角形面积公式\(S=\frac{1}{2}\times???\timesé??\)，这里弧长\(l\)相当于底，半径\(R\)相当于高）。
公式表述：扇形面积公式：
\(S=\frac{n\pi R^{2}}{360}\)（其中\(n\)为圆心角的度数，\(R\)为圆的半径）。
\(S=\frac{1}{2}lR\)（其中\(l\)为扇形的弧长，\(R\)为圆的半径）。
图形演示：在圆形图中标注出扇形，结合图形说明两个公式中各量的含义及关系。
幻灯片 7：扇形面积公式的应用示例
例题 2：已知一个扇形的半径为\(8cm\)，圆心角为\(90^{\circ}\)，求这个扇形的面积。
解题步骤：
方法一：已知\(R = 8cm\)，\(n = 90^{\circ}\)，根据\(S=\frac{n\pi R^{2}}{360}\)，代入得\(S=\frac{90\times\pi\times8^{2}}{360}=\frac{90\times\pi\times64}{360}=16\pi cm^{2}\)。
方法二：先求弧长\(l=\frac{90\times\pi\times8}{180}=4\pi cm\)，再根据\(S=\frac{1}{2}lR\)，得\(S=\frac{1}{2}\times4\pi\times8 = 16\pi cm^{2}\)。
所以这个扇形的面积为\(16\pi cm^{2}\)。
变式练习：已知一个扇形的弧长为\(6\pi cm\)，半径为\(6cm\)，求这个扇形的面积。
解：根据\(S=\frac{1}{2}lR\)，得\(S=\frac{1}{2}\times6\pi\times6 = 18\pi cm^{2}\)。
幻灯片 8：例题解析 —— 弧长和扇形面积的综合应用
例题 3：如图，一个扇形工件的半径为\(10cm\)，圆心角为\(120^{\circ}\)，求这个扇形工件的弧长和面积。
解题步骤：
求弧长：已知\(R = 10cm\)，\(n = 120^{\circ}\)，根据弧长公式\(l=\frac{n\pi R}{180}=\frac{120\times\pi\times10}{180}=\frac{1200\pi}{180}=\frac{20\pi}{3}cm\)。
求面积：方法一，根据\(S=\frac{n\pi R^{2}}{360}=\frac{120\times\pi\times10^{2}}{360}=\frac{120\times\pi\times100}{360}=\frac{100\pi}{3}cm^{2}\)；方法二，根据\(S=\frac{1}{2}lR=\frac{1}{2}\times\frac{20\pi}{3}\times10=\frac{100\pi}{3}cm^{2}\)。
所以这个扇形工件的弧长为\(\frac{20\pi}{3}cm\)，面积为\(\frac{100\pi}{3}cm^{2}\)。
关键思路：根据题目给出的半径和圆心角，直接代入弧长和扇形面积公式进行计算，注意选择合适的公式简化计算。
幻灯片 9：课堂练习（分层完成）
基础题：
半径为\(R\)的圆中，圆心角为\(n^{\circ}\)的弧长公式是\(l=\)______。
半径为\(R\)的圆中，圆心角为\(n^{\circ}\)的扇形面积公式是\(S=\)或\(S=\)（用弧长\(l\)表示）。
已知圆的半径为\(5cm\)，圆心角为\(36^{\circ}\)所对的弧长是______cm。
一个扇形的半径为\(6cm\)，弧长为\(2\pi cm\)，则这个扇形的面积是______\(cm^{2}\)。
提升题：
如图，在\(\odot O\)中，半径\(OA = 6cm\)，\(\angle AOB = 120^{\circ}\)，求阴影部分（扇形\(OAB\)）的周长和面积。
一个扇形的面积是\(15\pi cm^{2}\)，圆心角是\(60^{\circ}\)，求这个扇形的半径和弧长。
要求：学生独立完成后，小组内交流答案和解题思路，选取代表展示解题过程，教师进行点评和讲解。
幻灯片 10：易错点提醒
常见错误：
应用弧长公式时，忘记将圆心角的度数代入公式，或混淆半径和直径的概念，误用直径进行计算。
计算扇形面积时，记错公式，如将\(S=\frac{n\pi R^{2}}{360}\)写成\(S=\frac{n\pi R}{360}\)，或混淆两个扇形面积公式的适用条件。
在计算扇形周长时，只计算弧长，忽略了两条半径的长度。
解决实际问题时，不能正确识别弧和扇形，无法准确提取半径和圆心角等关键信息。
避坑技巧：
牢记弧长公式\(l=\frac{n\pi R}{180}\)和扇形面积公式\(S=\frac{n\pi R^{2}}{360}\)、\(S=\frac{1}{2}lR\)，明确公式中各字母的含义（\(n\)是圆心角度数，\(R\)是半径）。
计算扇形周长时，记住扇形周长 = 弧长 + 2× 半径，不要遗漏半径的长度。
解决实际问题时，先根据题意画出图形，标注出半径和圆心角，再选择合适的公式进行计算。
计算过程中注意单位的一致性，确保结果的准确性。
幻灯片 11：课堂小结
核心收获：
弧长公式：\(l=\frac{n\pi R}{180}\)（\(n\)为圆心角度数，\(R\)为半径）。
扇形定义：由圆心角的两条半径和所对弧围成的图形。
扇形面积公式：\(S=\frac{n\pi R^{2}}{360}\)或\(S=\frac{1}{2}lR\)（\(l\)为弧长）。
扇形周长：弧长与两条半径长度之和。
方法提炼：解决弧长和扇形面积问题的关键是明确圆心角、半径和弧长之间的关系，根据已知条件选择合适的公式进行计算，计算扇形周长时不要忘记加上两条半径的长度。
幻灯片 12：作业布置
必做题：教材 PXX 页习题 24.4 第 1、2、3 题，要求运用弧长和扇形面积公式进行计算。
选做题：如图，一个半圆形的花坛，直径为\(10m\)，求这个花坛的周长和面积（结果保留\(\pi\)）。
实践题：观察生活中的弧和扇形物体，测量相关数据（半径或直径、圆心角），计算其弧长和面积。
幻灯片 13：结束页
寄语：弧长和扇形面积公式是圆的重要度量工具，它们将圆的整体性质与部分特征紧密联系起来。愿你能熟练掌握这些公式，在解决实际问题中灵活运用，感受数学的实用价值！
致谢：感谢聆听，下次课再见！
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.4.1弧长和扇形面积
第24章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
(1)通过复习圆的周长和面积公式，探索n°圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式.
(2) 会利用弧长和扇形面积的计算公式解决相关问题.
1.正多边形的性质：
（1）正多边形的各边相等.
（2）正多边形的各角相等.
2.正n边形的一个内角的度数是_________；
中心角是______；正多边形的中心角与外角的大小关系是______.
相等
在田径比赛400米跑中，运动员们的起跑位置相同吗？为什么？
起跑位置不同，因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
问题：怎样求一段弧的长度呢？
弧长公式
知识点1
（1）半径为R的圆，周长是多少？
（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？
（3）1°圆心角所对的弧长是多少？
R
360°
C=2πR
360°
140°圆心角所对的弧长是多少？
n°
A
B
O
若设⊙O半径为R，n°的圆心
角所对的弧长为 .
弧长公式：
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度L(结果取整数)
L≈2×700+1570=2970 （mm）.
答：管道的展直长度为2970mm．
因此所要求的展直长度为
l （mm）.
解：由弧长公式，可得 的长
扇形的定义和面积公式
知识点2
扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
1°圆心角所对的扇形面积是多少？n°的圆心角呢？
1°
思考：由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分.想一想，圆面积可以看作是多少度的圆周角所对的扇形面积？
在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积计算公式为
S扇形＝ S圆
＝ πR2
扇形面积公式：
扇形面积与圆心角和半径有关
弧长与圆的周长有关,扇形的面积与圆的面积有关.因此,计算弧长时是 ；而计算扇形的面积时是 .
弧长公式与扇形面积公式的区别：
比较扇形面积(S)公式和弧长(l)公式，你能用弧长来表示扇形的面积吗?
探索弧长与扇形面积的关系
S
R
n°
l
O
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.
弓形的面积=S扇OAB-S△OAB
提示:
例2
O
B
A
C
解：如图，连接OA,OB,作弦AB的垂直平分线，垂足为D,交AB于点C，连接AC.
⌒
∵OC=0.6m,DC=0.3m,
∴OD=OC-DC=0.3m.
∴OD=DC.
又AD⊥DC,
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
从而∠AOD=60°，∠AOB=120°.
有水部分的面积S=S扇形OAB-S△OAB=
O
B
A
C
D
随堂演练
基础巩固
1.已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是 .
2.75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在的圆半径是 cm.
3.一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2，则扇形的圆心角是 .
4π
6
150°
4.如图是一段弯形管道，其中,∠O=∠O′=90°，中心线的两条圆弧半径都为1000mm,求图中管道的展直长度. (π取3.142)
解：
答：图中管道的展直长度约为6142mm.
5.如图，草坪上的自动喷水装置能旋转220°，如果它的喷射区域是一个扇形，这个扇形的半径是20m，求它能喷灌的草坪的面积.
解：
答：它能喷灌的草坪的面积为 πm2.
6.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.9 m，求截面上有水部分的面积 (结果保留小数点后两位）.
O
A
D
C
E
B
解：如图，连接OA,OB，过O作弦AB的垂直平分线，垂足为E，交 于点C、D，连接AD.
∵OC=0.6，CE=0.9，
∴ OE=CE-OC=0.3.
O
A
D
C
E
B
∴OE=DE，又AE⊥DO，
∴AE是OD的垂直平分线，AO=AD=OD.
∴∠AOD=60°，∠BOD=60°
∠AOC=120°，∠BOC=120°.
S有水部分的面积=S扇形OAB+S△AOB
综合应用
7.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为120°，AB的长为30cm，扇形BD的长为20cm，求扇面的面积.
解：
解：
方法一：
方法二：
拓展延伸
8.正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积.
知识点1 弧长公式及其应用
1.［2024安徽中考］若扇形????????????的半径为6，∠????????????=????????????? ，则????????? 的
长为( )
?
C
A.???????? B.???????? C.???????? D.????????
?
返回
2.一个扇形的圆心角为????????? ，它所对的弧长为????????????????? ，则这个扇形的半
径为( )
?
A
A.????????????? B.????????????????? C.?????????????????? D.?????????????
?
返回
3.［2024绵阳中考］将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的
半径为2，弧长为???????????? ，则扇形的圆心角大小为( )
?
D
A.????????? B.????????? C.????????? D.?????????????
?
返回
（第4题）
4. 某校在社会实践活动中，明明同学用
一个直径为????????????????? 的定滑轮带动重物上升.如图，滑轮上一
点????绕点????逆时针旋转????????????? ，假设绳索（粗细不计）与滑
轮之间没有滑动，则重物上升了( )
?
B
A.????.????????????????? B.????????????????? C.????????????????????? D.?????????????????????
?
返回
5.［2024淮安中考］如图，△????????????是⊙???? 的内接三角形，
∠????????????=?????????， ⊙????半径为3，则????????? 的长为___.
?
????????????
?
（第5题）
返回
n°
l
O
弧长公式：
扇形面积公式：
R
弧长与扇形面积的关系：
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
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