第24章 圆【章末复习】（教学课件）2025-2026学年九年级数学上册人教版

(共63张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：第 24 章 圆 章末复习
授课人：[您的姓名]
授课班级：[具体班级]
日期：[具体日期]
幻灯片 2：复习目标
理解圆的定义及相关概念，掌握圆的基本性质。
熟练掌握垂径定理及其推论，能运用它们解决与弦、弧相关的问题。
理解圆心角、弧、弦之间的关系，能进行相关计算和证明。
掌握圆周角定理及其推论，会运用它们解决角度计算问题。
明确点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，能运用数量关系判断位置关系。
掌握切线的性质与判定定理，能进行相关证明和计算。
了解正多边形与圆的关系，会计算圆的弧长、扇形面积。
幻灯片 3：知识框架
圆的基本概念：定义、弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧、圆心角、圆周角。
圆的基本性质：圆的对称性（轴对称、中心对称）、垂径定理及推论。
圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的等量关系。
圆周角定理：圆周角与圆心角的关系及推论。
点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系：数量关系与位置关系的对应。
切线的性质与判定：切线的定义、性质定理、判定定理、切线长定理。
正多边形与圆：正多边形的中心、半径、边心距、中心角。
与圆有关的计算：弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积。
幻灯片 4：圆的定义及相关概念
定义：在一个平面内，线段\(OA\)绕它固定的一个端点\(O\)旋转一周，另一个端点\(A\)所经过的封闭曲线叫做圆，固定的端点\(O\)叫做圆心，线段\(OA\)叫做半径。
相关概念：
弦：连接圆上任意两点的线段，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。
弧：圆上任意两点间的部分，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
等圆：能够重合的两个圆，等圆的半径相等。
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。
圆心角：顶点在圆心的角。
圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角。
幻灯片 5：圆的基本性质
对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
垂径定理推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
示例：如图，在\(\odot O\)中，直径\(AB\perp\)弦\(CD\)于点\(E\)，若\(CD=8\)，\(OE=3\)，则\(\odot O\)的半径为 5。（解析：连接\(OC\)，设半径为\(r\)，则\(OC=r\)，\(CE=\frac{1}{2}CD=4\)，\(OE=3\)，由勾股定理得\(r^2=4^2 + 3^2=25\)，\(r=5\)）
幻灯片 6：圆心角、弧、弦的关系
在同圆或等圆中：
相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等。
相等的弦所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
示例：如图，在\(\odot O\)中，\(\angle AOB=\angle COD\)，则\(AB=CD\)，\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}\)。
幻灯片 7：圆周角定理及推论
圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。即\(\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB\)（如图，\(\overset{\frown}{AB}\)所对的圆周角为\(\angle ACB\)，圆心角为\(\angle AOB\)）。
推论：
同弧或等弧所对的圆周角相等。
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，\(90°\)的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形的对角互补。
示例：如图，\(AB\)是\(\odot O\)的直径，\(\angle CAB=30°\)，则\(\angle ABC=60°\)（因为直径所对圆周角是直角，\(\angle ACB=90°\)，所以\(\angle ABC=90° - 30°=60°\)）。
幻灯片 8：点与圆的位置关系
数量关系与位置关系：设\(\odot O\)的半径为\(r\)，点\(P\)到圆心\(O\)的距离为\(d\)。
点\(P\)在圆外\(\Leftrightarrow d > r\)。
点\(P\)在圆上\(\Leftrightarrow d = r\)。
点\(P\)在圆内\(\Leftrightarrow d < r\)。
示例：已知\(\odot O\)的半径为 5，点\(P\)到圆心\(O\)的距离为 3，则点\(P\)在\(\odot O\)内。
幻灯片 9：直线与圆的位置关系
数量关系与位置关系：设\(\odot O\)的半径为\(r\)，直线\(l\)到圆心\(O\)的距离为\(d\)。
直线\(l\)与\(\odot O\)相离\(\Leftrightarrow d > r\)。
直线\(l\)与\(\odot O\)相切\(\Leftrightarrow d = r\)。
直线\(l\)与\(\odot O\)相交\(\Leftrightarrow d < r\)。
示例：已知\(\odot O\)的半径为 4，直线\(l\)到圆心\(O\)的距离为 5，则直线\(l\)与\(\odot O\)相离。
幻灯片 10：切线的性质与判定
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。即若直线\(l\)是\(\odot O\)的切线，切点为\(A\)，则\(OA\perp l\)。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即点\(P\)是\(\odot O\)外一点，\(PA\)、\(PB\)是\(\odot O\)的切线，切点为\(A\)、\(B\)，则\(PA=PB\)，\(PO\)平分\(\angle APB\)。
示例：如图，\(AB\)是\(\odot O\)的直径，\(BC\)是\(\odot O\)的切线，切点为\(B\)，\(\angle A=30°\)，则\(\angle ABC=90°\)，\(\angle ACB=60°\)。
幻灯片 11：圆与圆的位置关系
数量关系与位置关系：设两圆的半径分别为\(R\)和\(r\)（\(R > r\)），圆心距为\(d\)。
外离\(\Leftrightarrow d > R + r\)。
外切\(\Leftrightarrow d = R + r\)。
相交\(\Leftrightarrow R - r < d < R + r\)。
内切\(\Leftrightarrow d = R - r\)。
内含\(\Leftrightarrow d < R - r\)。
示例：已知两圆的半径分别为 3 和 5，圆心距为 7，则两圆的位置关系是相交（因为\(5 - 3=2\)，\(5 + 3=8\)，\(2 < 7 < 8\)）。
幻灯片 12：正多边形与圆
相关概念：
正多边形的中心：正多边形外接圆的圆心。
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。
正多边形的边心距：正多边形中心到一边的距离。
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。
中心角公式：正\(n\)边形的中心角为\(\frac{360°}{n}\)。
示例：正六边形的中心角为\(60°\)（\(\frac{360°}{6}=60°\)）。
幻灯片 13：与圆有关的计算
弧长公式：\(l=\frac{n\pi R}{180}\)（\(n\)为圆心角度数，\(R\)为圆的半径）。
扇形面积公式：\(S=\frac{n\pi R^2}{360}\)或\(S=\frac{1}{2}lR\)（\(l\)为扇形的弧长）。
圆锥的侧面积和全面积：
圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长\(l\)，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长\(2\pi r\)。
圆锥的侧面积\(S_{侧}=\pi rl\)。
圆锥的全面积\(S_{全}=\pi rl+\pi r^2\)。
示例：已知扇形的圆心角为\(60°\)，半径为 6，则弧长\(l=\frac{60\pi×6}{180}=2\pi\)，扇形面积\(S=\frac{60\pi×6^2}{360}=6\pi\)。
幻灯片 14：典型例题 1 - 垂径定理应用
如图，在\(\odot O\)中，弦\(AB\)的长为\(8cm\)，圆心\(O\)到\(AB\)的距离为\(3cm\)，求\(\odot O\)的半径。
解：过点\(O\)作\(OC\perp AB\)于点\(C\)，则\(AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8 = 4cm\)，\(OC=3cm\)。在\(Rt\triangle AOC\)中，由勾股定理得\(OA^2=AC^2 + OC^2=4^2 + 3^2=16 + 9=25\)，所以\(OA=5cm\)，即\(\odot O\)的半径为 5cm。
幻灯片 15：典型例题 2 - 圆周角定理应用
如图，\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)是\(\odot O\)上的四点，且\(\angle BOD=100°\)，求\(\angle BCD\)的度数。
解：因为\(\angle BOD=100°\)，所以它所对的弧\(\overset{\frown}{BD}\)的度数为\(100°\)，则\(\overset{\frown}{BD}\)所对的圆周角\(\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BOD=50°\)。因为圆内接四边形的对角互补，所以\(\angle BCD + \angle BAD=180°\)，则\(\angle BCD=180° - 50°=130°\)。
幻灯片 16：典型例题 3 - 切线的判定与性质
如图，\(AB\)为\(\odot O\)的直径，\(C\)为\(\odot O\)上一点，\(AD\)和过点\(C\)的切线互相垂直，垂足为\(D\)。求证：\(AC\)平分\(\angle DAB\)。
证明：连接\(OC\)，因为\(CD\)是\(\odot O\)的切线，所以\(OC\perp CD\)。又因为\(AD\perp CD\)，所以\(OC\parallel AD\)，则\(\angle OCA=\angle DAC\)。因为\(OA=OC\)，所以\(\angle OAC=\angle OCA\)，所以\(\angle OAC=\angle DAC\)，即\(AC\)平分\(\angle DAB\)。
幻灯片 17：课堂小结
知识梳理：圆的定义、相关概念、基本性质（垂径定理、圆心角弧弦关系、圆周角定理）；点、直线、圆与圆的位置关系；切线的性质与判定；正多边形与圆；与圆有关的计算。
解题要点：
运用垂径定理时，常作辅助线构造直角三角形。
解决圆周角问题，要注意同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的关系。
判定切线时，“连半径，证垂直” 或 “作垂直，证半径”；运用切线性质时，常连接切点和圆心。
计算弧长、扇形面积时，要准确确定圆心角和半径。
幻灯片 18：作业布置
教材对应复习题，涵盖圆的性质应用、位置关系判断、切线证明及计算题型。
拓展题：如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle ACB=90°\)，\(AC=6\)，\(BC=8\)，以点\(C\)为圆心，\(CA\)为半径作\(\odot C\)，交\(AB\)于点\(D\)，求\(AD\)的长。
计算：一个圆锥的底面半径为 3cm，母线长为 5cm，求它的侧面积和全面积。
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第24章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
知识框架
圆
圆的有关性质
圆的对称性
弧、弦、圆心角之间的关系
同弧上的圆周角和圆心角的关系
点、直线和圆
的位置关系
正多边形和圆
弧长和扇形面积
扇形面积
弧长
等分圆周
圆锥的侧面积和全面积
点和圆的位置关系
直线和圆的位置关系
切线
三角形的内切圆
三角形的外接圆
本节课对全章的知识作一回顾，梳理其知识脉络，熟悉其知识构架，进一步澄清易混点，易错点，同时对本章中的一些常用辅助线和常见分类作一整理.
在本章，我们利用圆的对称性，探索了圆的一些重要性质；通过图形的运动，研究了点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系；同时研究了圆中的有关计算问题.
重点知识内容
知识回顾
知识梳理
·
O
A
B
C
D
E
确定圆的两个要素：
圆心、半径
AB是⊙O的______，CD是⊙O的______，
弦
直径
直径是最长的弦
圆上任意两点之间的部分叫做______，
弧
小于半圆的叫______，如：
大于半圆的叫______，如：
劣弧
优弧
AD
⌒
CBA
⌒
在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
在同圆或等圆中的弧、弦、圆心角有什么关系？
·
O
A
B
A′
B′
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦（不是直径）所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.
垂直于弦的直径有什么性质？
·
O
A
B
C
D
E
垂径定理及其推论
举一反三
1.如图，AB为⊙O的弦，半径OC交AB于点D，AD=DB，OC=5，CD=2，则AB的长为_______.
8
2.在一个残缺的圆形工件上量得弦BC= 8 cm，BC的中点D到弦BC的距离DE= 2 cm，则这个圆形工件的半径是______cm.
5
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？
·
A
C1
O
C2
C3
B
·
A
C
B
O
圆心角与圆周角
举一反三
1.如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD.若∠ADB = 70°，则∠ABC的度数是（ ）
A.20° B.70° C.30° D.90°
A
2.如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，∠AOB=96°，则∠ACB的度数为（ ）
A.192 B.120° C.132° D.150°
C
点P在圆内 d ＜ r .
点P在圆外 d ＞ r ;
点P在圆上 d = r;
直线和⊙O相交
直线和⊙O相切
直线和⊙O相离
d＜r;
d = r;
d＞r.
（1）点和圆有怎样的位置关系？如何判定？
（2）直线和圆的位置有几种，如何进行判定？
r
·
O
A
P
P
P
·
l
O
r
l
l
点、线、圆和圆的位置关系
d > r1＋r2;
两圆外离
d = r1－ r2;
两圆内切
d = r1+r2;
两圆外切
d＜ r1－ r2.
两圆内含
r1-r2＜d＜r1+r2;
两圆相交
（3）圆和圆的位置关系有几种 如何判定
·
·
O2
O1
·
·
O1
O2
·
·
O1
O2
·
·
O1
O2
·
·
O2
O1
举一反三
已知OP= 4，OQ=2，若点P在⊙O上，则点Q与⊙O的位置关系是（ ）
A.点Q在⊙O内
B.点Q在⊙O上
C.点Q在⊙O外
D.无法判断
A
·
O
A
·
O
l
A
（1）圆的切线有什么性质？
圆的切线垂直于过切点的半径.
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
（2）如何判断一条直线是圆的切线？
l
切线的性质与判定
1.将一把直尺、含有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，AB= 3，则光盘的直径是（ ）
A.3 B.3 C.6 D.6
D
举一反三
2.如图，在平面直角坐标系中，以点M(2,3)为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴相交于A，C两点，则点B的坐标是__________.
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
切线长定理及三角形的内心、外心（外接圆）
举一反三
如图，AB，AC，BD分别切⊙O于点P，C，D.若AB=5，AC=3，则BD的长是______.
2
正多边形必有外接圆和内切圆.
(1)正多边形和圆有什么关系？
(2) 你能用正多边形和等分圆周设计一些图案吗？
正多边形和圆
正n边形的一个内角的度数是____________；
中心角是___________；
正多边形的中心角与外角的大小关系是________；
正多边形的中心角与内角的大小关系是________.
相等
互补
(3)
1.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE上一点(点Р不与点D重合)，则∠CPD的度数为（ ）
A.30°
B.36°
C.60°
D.72°
举一反三
⌒
B
2.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为（ ）
A.2
B.2
C.
D.4
B
（1）举例说明如何计算弧长？
1°的圆心角所对的弧长：
n°的圆心角所对的弧长：
O
1°
n°
弧长、扇形面积、圆锥侧面积与全面积
O
1°
n°
（2）举例说明如何计算扇形面积？
1°的圆心角的扇形面积：
n°的圆心角所对的面积：
则圆锥的侧面积为
圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r.
l
o
r
圆锥的全面积为
(3) 举例说明如何计算圆锥的侧面积和全面积.
举一反三
1.如图，从一个半径为6的圆形铁片（⊙O）中剪下一个圆心角为60°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_______.
2.如图，在△ABC中，AB=AC，点О在边AC上，以点О为圆心，4为半径的圆恰好经过点C，且与边AB相切于点D，与BC交于点E，则劣弧DE的长是______.（结果保留π）
2π
随堂练习
1.选择题.
(1)如图，⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC=3∶5，则AB的长为（ ）.
(A) cm (B) 8 cm (C) 6 cm (D) 4 cm
【教材P122-123 第1题】
B
(2)如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=40°，∠APD=75°，则∠B=（ ）.
(A) 15° (B) 40°
(C) 75° (D) 35°
D
(3) 如图，PA，PB分别与⊙O 相切于A，B两点，∠P=70°，则∠C = （ ）.
(A) 70° (B) 55° (C) 110° (D) 140°
B
(4) 以半径为 1 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（ ）.
(A)不能构成三角形
(B)这个三角形是等腰三角形
(C)这个三角形是直角三角形
(D)这个三角形是钝角三角形
C
(5) 一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）.
(A) 120° (B) 180° (C) 240° (D) 300°
B
2.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90，∠B=30°，BC=4cm，以点C为圆心，2 cm长为半径作圆，则⊙C 与AB的位置关系是（ ）
A.相交
B.相切
C.相离
D.相切或相离
B
3.如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=2，以点A为圆心，AB为半径作 ⊙A，延长BC交 ⊙A于点D，则CD的长为______.
4.如图，点 E 是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D. 求证：DE = DB.
证明：连接 BE.
∵∠DAC=∠DBC，∠DAC=∠DAB，∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE+∠DAB=∠CBE+∠DBC，
∴∠BED=∠EBD，∴DE=DB.
【教材P124 第13题】
核心考点巩固
考点1 圆的有关计算
（第1题）
1.如图，是的直径，是的弦， ，
垂足为.若，，则 的长为( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
返回
（第2题）
2.［2025石家庄期中］如图， 的顶点在量角
器的半圆上，角的两边分别经过量角器的
， 刻度，则 ( )
D
A. B. C. D.
返回
3.［2024常州中考］如图，是的直径，是 的弦，连接
，，.若 ，则____ .
70
（第3题）
返回
4.如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接 ，
若 ，则____ .
15
（第4题）
返回
5. 把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示
折痕，则 所对圆心角的度数是______.
返回
6.如图，四边形内接于，是 的直
径，为的中点，弦于点，与 交于点
.
（1）求证： ；
证明：为 的中点，
.
弦，是 的直径，
. .
.
（2）若，求 的长.
解：过点作，垂足为 ，
，
即， .
， ，
， .
，是的中位线， ，
．
返回
考点2 点和圆、直线和圆的位置关系
7.已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它
的外接圆的面积为( )
D
A. B. C. D.
返回
8.［2025邢台期中］如图，在平面直角坐标系 中，
已知点，，都在 上，
则原点到 上一点的最短距离为( )
A
A. B. C.2 D.
返回
9.如图，，，是的切线，点，，
是切点，分别交，于， 两点，若
，则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
返回
10.［2025唐山月考］如图，，分别切于点，，切
于点，分别交，于点，，若，则
的周长是_______.
（第10题）
返回
11.如图，在中，直径与弦交于点，连接 ，过
点的切线与的延长线交于点.若 ，则____ .
66
（第11题）
返回
12.如图，在中，，以为直径作，交于点 ，
交于点，过点作于点 .
（1）求证：是 的切线；
证明：连接，则 ，
.
， ，
， .
于点， .
又是 的半径，
是 的切线.
（2）若，的半径为5，求 的长.
解：连接 .
是的直径， 的半径为5，
， ， ，
， ，
.
，
.
返回
考点3 正多边形和圆
（第13题）
13.如图，正五边形的外接圆为， 是劣弧
上一点，连接，，，则 的
度数是( )
B
A. B. C. D.
返回
（第14题）
14.如图，正六边形和正六边形 均以
点为中心，连接，，，，，
（，，三点共线），若， ，则正六
边形 的边长为( )
C
A. B.5 C. D.19
返回
15.如图，如果，分别是 的内接正三角形和内接正方形的一条
边，是的内接正边形的一条边，那么 ____.
12
（第15题）
返回
16.［2025沧州期中］如图，六边形是 的内接正六边形.
（第16题）
（1）若的半径为1，则六边形 的周长为___；
（2）设正六边形的面积为，的面积为，则 ___.
6
2
返回
考点4 弧长和扇形面积
17.［2024贵州中考］如图，在扇形纸扇中，若
，，则 的长为( )
C
A. B. C. D.
返回
18.如图，将边长为4的正方形铁丝框（面积记为 ）变形为以点
为圆心，为半径的扇形（面积记为），则与 的关系为( )
B
A. B. C. D.无法确定
返回
19.某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥
的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为
( )
C
A. 平方厘米 B. 平方厘米
C. 平方厘米 D. 平方厘米
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20.如图，的圆心与正三角形 的中心重合，已
知的半径和扇形的半径都是 .
（1）若将扇形 围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高
为 .
①求扇形 的弧长；
解： 是正三角形，
.
.
② 的值为______；
（2）上任意一点到正三角形 上任意一点的距离的最小值为
__________.
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必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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