第25章 概率初步【章末复习】（教学课件）2025-2026学年九年级数学上册人教版

对于任意事件 A，0≤P (A)≤1。
等可能事件概率公式：如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件 A 包括其中的 m 种结果，那么 P (A)=m/n。
幻灯片 6：直接列举法求概率
适用场景：试验结果较少，且能直接列举所有可能结果。
步骤：
列举出所有可能的结果，确定 n 的值。
找出事件 A 包含的结果数，确定 m 的值。
代入公式 P (A)=m/n 计算。
例题：从 1,2,3 三个数字中随机抽取一个数字，求抽到奇数的概率。
解：所有可能结果为 1,2,3，共 3 种（n=3）。事件 “抽到奇数” 包含 1,3，共 2 种（m=2），所以 P (抽到奇数)=2/3。
幻灯片 7：列表法求概率
适用场景：试验涉及两步操作或两个因素，且可能结果较多。
步骤：
确定两个因素，分别作为表格的行和列。
列出所有可能的结果，形成表格，确定 n 的值。
找出事件 A 包含的结果数，确定 m 的值。
计算概率 P (A)=m/n。
例题：同时掷两枚质地均匀的骰子，求两枚骰子点数之和为 7 的概率。
解：列表如下（部分）：
第一枚 \ 第二枚
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
...
...
...
...
...
...
...
总结果数 n=36，点数之和为 7 的结果有 (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共 6 种（m=6），所以 P (和为 7)=6/36=1/6。
幻灯片 8：树状图法求概率
适用场景：试验涉及三步及以上操作或多个因素，结果复杂。
步骤：
按试验步骤绘制树状图，每一步骤的结果作为分支。
数出所有可能的结果数 n。
找出事件 A 包含的结果数 m。
计算概率 P (A)=m/n。
例题：一个不透明袋子中有 1 红 1 白两个球，依次不放回摸两次，求两次摸到不同颜色球的概率。
解：树状图如下：
第一次：红 → 第二次：白
第一次：白 → 第二次：红
总结果数 n=2，事件 “不同颜色” 包含 2 种结果（m=2），所以 P (不同颜色)=2/2=1。
幻灯片 9：用频率估计概率
原理：在大量重复试验中，随机事件 A 发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数可作为 P (A) 的估计值。
公式：P (A)≈频率 = 事件 A 发生的次数 / 试验总次数。
适用场景：
试验结果无限或无法确定所有可能结果。
各种结果发生的可能性不相等。
例题：某批产品共 1000 件，随机抽取 50 件检验，发现 2 件不合格，估计这批产品的合格率。
解：合格率频率 =（50-2）/50=48/50=0.96，所以估计合格率为 0.96（即 96%）。
幻灯片 10：概率的实际应用
游戏公平性判断：比较双方获胜的概率，概率相等则公平，否则不公平。
决策分析：根据概率大小选择更有利的方案。
例题：一个游戏规则为：掷一枚骰子，若点数大于 3 则甲胜，否则乙胜。这个游戏是否公平？
解：点数大于 3 的有 4,5,6（3 种），P (甲胜)=3/6=1/2；点数不大于 3 的有 1,2,3（3 种），P (乙胜)=3/6=1/2。因为 P (甲胜)=P (乙胜)，所以游戏公平。
幻灯片 11：典型例题 1 - 列表法与概率计算
一个不透明盒子中有 2 个红球（红 1, 红 2）和 1 个白球，从中随机摸出 1 个球后放回，再摸出 1 个球。用列表法求两次摸到红球的概率。
解：列表如下：
第一次 \ 第二次
红 1
红 2
白
红 1
(红 1, 红 1)
(红 1, 红 2)
(红 1, 白)
红 2
(红 2, 红 1)
(红 2, 红 2)
(红 2, 白)
白
(白，红 1)
(白，红 2)
(白，白)
总结果数 n=9，两次摸到红球的结果有 4 种（m=4），所以 P (两次红球)=4/9。
幻灯片 12：典型例题 2 - 树状图法与概率计算
有 A,B 两个不透明口袋，A 袋有 1 个红球和 2 个白球，B 袋有 2 个红球和 1 个白球。从 A,B 两袋中各随机摸出 1 个球，用树状图法求摸到两个红球的概率。
解：树状图如下：
A 袋：红 → B 袋：红 1 → (红，红 1)
B 袋：红 2 → (红，红 2)
B 袋：白 → (红，白)
A 袋：白 1 → B 袋：红 1 → (白 1, 红 1)
B 袋：红 2 → (白 1, 红 2)
B 袋：白 → (白 1, 白)
A 袋：白 2 → B 袋：红 1 → (白 2, 红 1)
B 袋：红 2 → (白 2, 红 2)
B 袋：白 → (白 2, 白)
总结果数 n=9，摸到两个红球的结果有 2 种（m=2），所以 P (两个红球)=2/9。
幻灯片 13：典型例题 3 - 频率估计概率应用
某射击运动员在训练中射击 500 次，命中靶心 400 次。
求该运动员射击一次命中靶心的频率。
解：频率 = 400/500=0.8。
估计该运动员射击一次命中靶心的概率。
解：估计概率为 0.8。
若该运动员射击 100 次，估计命中靶心的次数。
解：估计命中次数 = 100×0.8=80 次。
幻灯片 14：易混概念辨析
频率与概率的区别：
频率是试验后的数据，随试验次数变化而变化。
概率是理论值，是频率的稳定值，不随试验次数变化。
列表法与树状图法的选择：
两步试验优先用列表法，清晰直观。
三步及以上试验必用树状图法，避免结果遗漏。
“放回” 与 “不放回” 的区别：
放回试验：前后结果互不影响，总结果数不变。
不放回试验：后一次结果受前一次影响，总结果数减少。
幻灯片 15：课堂小结
知识梳理：事件分类、概率定义与性质、三种概率计算方法（直接列举法、列表法、树状图法）、频率估计概率、概率应用。
解题要点：
准确判断事件类型，明确概率取值范围。
选择合适的计算方法，确保不重复、不遗漏列出所有结果。
理解频率与概率的关系，能用频率估计实际问题中的概率。
运用概率知识分析游戏公平性和进行决策。
幻灯片 16：作业布置
教材对应复习题，涵盖事件判断、概率计算、频率估计概率及实际应用题型。
拓展题：一个不透明袋子中有若干个红球和白球，这些球除颜色外无其他差别。每次摸出 1 个球，记录颜色后放回，重复试验 100 次，其中摸到红球 30 次。
估计摸到红球的概率。
若袋子中共有 50 个球，估计红球的个数。
实践作业：设计一个简单的概率游戏，并用所学知识说明游戏是否公平。
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第25章 概率初步
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
概率
事件
确定性事件
必然事件P(A)=1
不可能事件P(A)=0
随机事件0＜P(A)＜1
概率求法
列举法
面积法
频率估计概率
直接列举法
列表法
画树状图法
1.事件的概念
（1）在一定条件下，___________________的事件，叫做随机事件.
（2）确定事件包括＿＿＿事件和＿_＿＿事件.
可能发生也可能不发生
必然
不可能
（1）一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝　 　.
2.概率的意义
（2）事件A发生的概率的取值范围是___≤P(A)≤ ___，
当A为必然事件时，P(A)=___；
当A为不可能事件时，P(A)=___.
0
1
1
0
3.（1）求随机事件概率的两种方法
_______法；_________法；
（2）列表法和画树状图法的选用：
①当一次试验要涉及两个因素(或两个步骤)，且可能出现的结果数目较多时，可用“列表法”；
②当一次试验要涉及三个或更多的因素(或步骤)时，应采用“画树状图法”.
列表
画树状图
知识梳理
4.用频率估计概率
一般地，在大量重复试验中，事件A发生的频率 稳定于____________，那么事件A发生的频率P(A)=____.
某个常数P
P
考点一：生活中的事件
1.白居易在《赋得古原草送别》中写道“离离原上草，一岁一枯荣”，从数学的观点看，诗句中描述的事件为（　A）
A. 必然事件
B. 不可能事件
C. 随机事件
D. 不属于上述任何一种
A
2.掷两枚质地均匀的骰子，下列事件中，属于随机事件的为（ ）
A. 点数的和为1 B. 点数的和为6
C. 点数的和大于12 D. 点数的和小于13
B
考点二：概率的意义
3.从-1，0， ，-0.3，π， 中任意抽取一个数，下列事件中，发生的概率最大的是（ 　）
A. 抽取正数 B. 抽取非负数
C. 抽取无理数 D. 抽取分数
B
4.（贵州黔西南州中考）在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球是白球的概率是 ，则黄球的个数为（ ）
A.18 B.20 C.24 D.28
解析：设黄球的个数为x个，据题意有 ,再求解并检验即可.
C
5. “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形两直角边分别是2和4，小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是（ ）
C
考点三：与面积相关的概率的计算
6.如图，在网格飞镖游戏板中，每个小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形AOB的圆心及弧的两端均为格点.假设飞镖击中每个小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形AOB（涂色部分）的概率是（ ）
A. B.
C. D.
A
方法归纳：
几何概率的一般求法：
一般用涂色区域表示所求事件A，然后计算涂色区域的面积与总面积的比值，这个比值即为事件A发生的概率.
考点四：用列表法或画树状图法求概率
7.有四张仅正面分别标有1，2，3，4的不透明纸片，除所标数字不同外，其余都完全相同，将四张纸片洗匀后背面向上放在桌上，现一次性从中随机抽取两张，用画树状图法或列表法，求所抽取数字之和为5的概率.
1 2 3 4
1 （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4）
解：列表法
∴共有4中可能，抽取数字之和为5的概率是 .
解：画树状图法
∴共有4中可能，抽取数字之和为5的概率是 .
1
2
3
4
2
1
3
4
3
1
2
4
4
1
2
3
考点四：用列表法或画树状图法求概率
7.有四张仅正面分别标有1，2，3，4的不透明纸片，除所标数字不同外，其余都完全相同，将四张纸片洗匀后背面向上放在桌上，现一次性从中随机抽取两张，用画树状图法或列表法，求所抽取数字之和为5的概率.
8.（陕西中考）小英与她的父亲、母亲计划外出旅游，初步选择了延安、西安、汉中、安康四个城市，由于时间仓促，他们只能去其中一个城市，到底去哪一个城市三个人意见不统一，在这种情况下，小英父亲建议用小英学过的摸球游戏来决定.
规则如下：
①在一个不透明的袋子中装一个红球（延安）、一个白球（西安）、一个黄球（汉中）和一个黑球（安康），这四个球除颜色不同外，其余完全相同；
②小英父亲先将袋中球摇匀，让小英从袋中随机摸出一球，父亲记录下其颜色，并将这个球放回袋中摇匀，然后让小英母亲从袋中随机摸出一球，父亲记录下它的颜色；
③若两人所摸出球的颜色相同，则去该球所表示的城市旅游，否则，前面的记录作废，按规则②重新摸球，直到两人所摸出球的颜色相同为止.
按照上面的规则，请你解答下列问题：
（1）已知小英的理想旅游城市是西安，小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是多少？
延安
西安
汉中
安康
解:(1)画树状图得
共有16种等可能的结果,均摸出白球的只有一种可能，其概率为 .
延安
西安
汉中
安康
（2）已知小英母亲的理想旅游城市是汉中，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是多少？
解: (2)由树状图得
共有16种等可能的结果,至少有一人摸出
黄球的有7种可能，其概率为 .
考点五：用频率估计概率
9.九年级同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　）
A. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
B. 掷一颗正方体骰子，出现点数是3的倍数的概率
C. 将一副新的扑克牌（54张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“9”的概率
D. 从装有3个红球和1个白球（4个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取1个球恰好是白球的概率
B
10.（重庆中考）从3，0，-1，-2，-3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y=(5-m2)x和关于x的方程(m+1)x2+mx+1=0中m的值，恰好使得函数的图象经过第一、三象限，且方程有实数根的概率为 .
考点六：函数和一元二次方程中概率的计算
解析：函数y=(5-m2)x的图象经过第一、三象限需要5-m2>0，即m2<5.而关于x的方程(m+1)x2+mx+1=0有实数根的条件要分两种情况：
①当m+1=0即m=-1时，方程为-x+1=0，x=1，有实数根；
②当m+1≠0即m≠-1时，Δ=m2-4(m+1)≥0，
解得 .
综合这两个范围，可知符合题意的m值为-1，-2，而从3，0，-1，-2，-3这五个数中，随机抽取一个数，有5种等可能的结果，其中只有-1和-2两种结果满足要求，故所求概率为 .
随堂演练
基础巩固
1.下列事件中，不是随机事件的是( )
A.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
B.经过某一有交通信号灯路口，遇到了红灯
C.小伟掷两次硬币，每次向上的都是正面
D.测量一下三角形的三个内角，其和为360°
D
2.从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是( )
D
3.如图，点A，B在由边长为1的小正方形组成的网格的格点（小正方形的顶点）上，在网格格点上除点A，B外任取一点C，则使△ABC的面积为1的概率是 _____ .
解析：网格格点除A，B外共有18个，
使△ABC的面积为1的格点有4个.
4.在一个不透明的袋中装有5个白色小球，n个红色小球，小球除颜色外其他完全相同.若从中随机摸出一个小球，恰为红色小球的概率是 ，则
n＝ ______.
20
5.同时掷两枚质地均匀的骰子，求点数和小于5的概率.
解:同时投掷两枚骰子,点数和的所有可能的结果列表如右：
共有36种可能性相等的结果,其中点数和小于5的结果有6种.
所以P(点数和小于5)
综合应用
6.随机抛掷图中均匀的正四面体(正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字)，并且自由转动图中的转盘(转盘被分成面积相等的五个扇形区域，如果指针恰好指在分格线上，取分格线右边的数字).
(1)求正四面体着地的数字与转盘指针
所指区域的数字之积为4的概率；
(2)设正四面体着地的数字为a，转盘
指针所指区域内的数字为b，求关于
x的方程ax2+3x+ =0有实数根的概率.
解：(1)用树状图表示二者的数字之积为4的结果如下：
由上图可知，共有20种可能性相等的结果，其中数字之积为4(记为事件A)的结果有3种，所以P(A)= .
(2)若方程ax2+3x+ =0有实数根(记为事件B)，
则9-ab≥0，即ab≤9，
由(1)可知满足ab≤9的结果有14种，
核心考点巩固
考点1 事件类型的判定
1.［2024保定竞秀区期末］事件①：射击运动员射击一次，命中靶心；
事件②：随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数.则下列表述正确
的是( )
C
A.事件①是必然事件，事件②是随机事件
B.事件①是随机事件，事件②是必然事件
C.事件①和②都是随机事件
D.事件①和②都是必然事件
返回
考点2 用公式直接求概率
2.［2024湖北中考］小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这
5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界
数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成
就进行分享，选到数学家赵爽的概率是__.
返回
3.［2024苏州中考］如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，
任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率
是__.
返回
考点3 用列表法或画树状图法求概率
4. “敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小
强计划利用暑期从，， 三处养老服务中心中，随机选择一处参加志
愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是( )
B
A. B. C. D.
返回
5. 第十五届中国航展于2024年11月12日至17日在珠海举
行.这场备受瞩目的航空盛会展示了中国航空航天事业的最新成就.某校
开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小雅同学从中随机选
取两门课程，恰好选中航模和机器人的概率为( )
A
A. B. C. D.
返回
6.有4条线段，长度分别为，，， ，从中任取3条，
能构成直角三角形的概率是( )
C
A. B. C. D.
返回
7. ［2024盐城中考］在“重走建军路，致敬新四军”红
色研学活动中，学校建议同学们利用周末时间自主到以下三个基地开展
研学活动：
A.新四军纪念馆（主馆区）；
B.新四军重建军部旧址（泰山庙）；
C.新四军重建军部纪念塔（大铜马）.
小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站.
（1）小明选择基地A的概率为_ _；
（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率.
解：列表如下：
小丽 小明 A B C
A
B
C
由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小丽选择相同基地的结
果有3种，
小明和小丽选择相同基地的概率为 .（用画树状图法也可）
返回
8. “这么近，那么美，周末到河北.”为了更好地吸引游客和
提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况
（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示.
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽取的游客总人数为_____，扇形统计图中 的值为____；
240
35
（2）请补全条形图；
解：“缸炉烧饼”对应的人数为 ，
补全条形图如所示.
（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述四种
美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“驴肉火烧”和
“金毛狮子鱼”的概率.
解：将“驴肉火烧”“唐山麻糖”“金毛
狮子鱼”“缸炉烧饼”分别记为 ，
，， ，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中选到“驴肉火烧”和“金毛
狮子鱼”的结果有2种，
选到“驴肉火烧”和“金毛狮子鱼”的概率是 .（用列表法也可）
返回
考点4 用频率估计概率
9.某运动员进行打靶训练，对该名运动员打靶正中
靶心的情况进行统计，并绘制成了如图所示的统
计图，请根据图中信息回答问题：
（1）该名运动员正中靶心的频率在____附近摆动，
他正中靶心的概率估计值为____（精确到 ）.
0.9
0.9
（2）如果一次练习时他一共打了150枪.
①试估计他正中靶心的枪数；
解： （枪）.
答：估计他正中靶心的枪数为135枪.
②如果他想要在这次练习中正中靶心180枪，请计算出他还需要大约打
多少枪？
解： （枪），
（枪）.
答：他还需要大约打50枪.
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！