24.1.3旋转的应用（教学课件）--2025-2026学年沪科版九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 24.1.3旋转的应用（教学课件）--2025-2026学年沪科版九年级数学下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-11 16:06:06 | ||
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文档简介
(共34张PPT)
24.1.3旋转的应用
第24章 圆
2024沪科版数学九年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
幻灯片 1：封面
课程名称：24.1.3 旋转的应用
学科：数学
年级：九年级
教师姓名：[您的姓名]
幻灯片 2：教学目标
了解旋转在生活和生产中的实际应用，体会旋转的实用价值。
能运用旋转的性质解决几何作图、证明和计算问题。
掌握利用旋转进行图形变换的思想方法，提高几何推理和问题解决能力。
幻灯片 3：教学重难点
重点：运用旋转的性质解决几何问题，包括作图、证明和计算。
难点：根据问题特点合理选择旋转中心、方向和角度，将复杂问题转化为简单问题。
幻灯片 4：情境导入 —— 生活中的旋转应用
生活中的旋转实例展示：
汽车方向盘的旋转控制转向。
钟表指针的旋转指示时间。
风力发电机叶片的旋转发电。
游乐场旋转木马的旋转运动。
机械零件的旋转传动（如齿轮啮合）。
提问：这些实例中旋转起到了什么作用？在几何问题中，旋转又能帮助我们解决哪些问题呢？今天我们学习 —— 旋转的应用。
幻灯片 5：旋转在实际生活中的应用
工业生产中的应用：
齿轮传动：通过齿轮的旋转传递动力和运动，改变转速和方向。
机床加工：零件在机床上通过旋转实现切削、打磨等加工过程。
科技领域中的应用：
卫星天线的旋转调整：通过旋转天线对准卫星，保证信号接收。
机器人关节旋转：实现机器人的灵活运动和动作完成。
艺术与设计中的应用：
图案设计：利用旋转对称设计花纹、标志等，增强视觉美感。
舞蹈编排：旋转动作丰富舞蹈表现形式，展现动态美。
幻灯片 6：旋转在几何作图中的应用
利用旋转作图的基本思路：
根据题目要求确定旋转中心、旋转方向和旋转角。
找出原图形的关键点，按旋转要素将关键点旋转得到对应点。
连接对应点得到旋转后的图形。
例 1：如图，已知△ABC 和点 O，将△ABC 绕点 O 顺时针旋转 90°，作出旋转后的图形△A'B'C'。
作法：
连接 OA、OB、OC。
分别以 OA、OB、OC 为一边，按顺时针方向作∠AOA'=∠BOB'=∠COC'=90°。
在射线 OA'、OB'、OC' 上分别截取 OA'=OA、OB'=OB、OC'=OC，得到点 A'、B'、C'。
连接 A'B'、B'C'、C'A'，则△A'B'C' 即为所求。
（插入作图过程图）
幻灯片 7：旋转在几何证明中的应用
利用旋转证明的常用场景：
证明线段相等或角相等。
证明线段平行或垂直。
证明图形全等或相似。
例 2：如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 上的点，且∠EDF=45°，求证：EF=AE+CF。
证明：将△DCF 绕点 D 顺时针旋转 90° 得到△DAF'。
∵旋转性质，∴DF'=DF，AF'=CF，∠ADF'=∠CDF，∠DAF'=∠C=90°。
∵∠DAB=90°，∴F'、A、E 三点共线。
∵∠EDF=45°，∴∠EDC+∠CDF=45°，∠EDF'=∠EDA+∠ADF'=∠EDA+∠CDF=45°。
在△EDF 和△EDF' 中，DF=DF'，∠EDF=∠EDF'，DE=DE，∴△EDF≌△EDF'（SAS）。
∴EF=EF'=AE+AF'=AE+CF。
（插入图形，标注旋转后的对应关系）
幻灯片 8：旋转在几何计算中的应用
利用旋转计算的常用类型：
计算线段长度。
计算角度大小。
计算图形面积。
例 3：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 60° 得到△AB'C'，求线段 BC' 的长度。
解：连接 BB'，∵△ABC 绕点 A 顺时针旋转 60° 得到△AB'C'，∴AB=AB'，∠BAB'=60°，AC'=AC=2，B'C'=BC=2。
∴△ABB' 是等边三角形，BB'=AB。
在 Rt△ABC 中，AB=√(AC +BC )=√(2 +2 )=2√2，∴BB'=2√2。
∠BAC=45°，∠B'AC'=45°，∠BAC'=∠BAC+∠CAC'=45°+60°=105°？（此处可能有误，重新分析）
正确分析：∠CAC'=60°，∠BAC=45°，∴∠B'AC=∠B'AC'-∠CAC'？不，旋转后∠B'AC'=∠BAC=45°，∠C'AC=60°，∴∠B'AC=∠C'AC-∠B'AC'=60°-45°=15°？
更简便方法：在△ABC' 中，AC'=2，AB=2√2，∠BAC'=∠BAC+∠CAC'=45°+60°=105°，用余弦定理：
BC' =AB +AC' -2·AB·AC'·cos∠BAC'= (2√2) +2 -2×2√2×2×cos105°。
cos105°=cos(60°+45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45°=0.5×√2/2 - √3/2×√2/2=√2/4 - √6/4=(√2-√6)/4。
BC' =8+4-2×2√2×2×(√2-√6)/4=12 - 2×2√2×2×(√2-√6)/4=12 - (8×(√2-√6))/4=12 - 2 (√2-√6)=12-2√2+2√6？（计算复杂，可能题目需调整或用其他方法）
（插入图形，根据正确图形重新标注计算）
幻灯片 9：旋转在动态问题中的应用
动态问题特点：图形中的某些元素绕定点旋转，导致相关线段或角度发生变化，需探究变化规律或最值。
例 4：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点 P 是 AB 上的动点，将△ACP 绕点 C 逆时针旋转 90° 得到△A'CP'，连接 PP'，求 PP' 的最小值。
解：∵△ACP 绕点 C 逆时针旋转 90° 得到△A'CP'，∴CP=CP'，∠PCP'=90°，∴△PCP' 是等腰直角三角形。
∴PP'=√2 CP，要使 PP' 最小，需使 CP 最小。
当 CP⊥AB 时，CP 最小，此时 CP=AC BC/AB=6×8/10=4.8。
∴PP' 的最小值为√2×4.8= (24√2)/5。
（插入图形，标注旋转后的等腰直角三角形）
幻灯片 10：旋转应用的关键思路
转化思想：通过旋转将分散的条件集中，将不规则图形转化为规则图形，将陌生问题转化为熟悉问题。
对称思想：利用旋转的对称性寻找等量关系或全等图形。
关键点：
确定旋转中心（通常是图形的顶点、中点或对称中心）。
选择旋转角度（常见 90°、60°、180°，根据图形特点确定）。
利用旋转性质（对应边相等、对应角相等、旋转角相等）建立关系。
幻灯片 11：易错点警示
易错点 1：旋转方向错误，导致图形位置偏差。
例如：将顺时针旋转画成逆时针旋转，纠正：作图前需明确旋转方向，严格按要求操作。
易错点 2：忽略旋转角的准确性，导致角度计算错误。
例如：旋转 90° 却按 60° 计算，纠正：旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，需准确标注和计算。
易错点 3：无法确定合适的旋转中心和角度，难以转化问题。
例如：在证明题中不知道绕哪点旋转，纠正：多观察图形特点，尝试以特殊点（如顶点、中点）为中心，以特殊角旋转。
幻灯片 12：课堂练习
练习 1：如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△ADE，若∠B=70°，∠C=40°，求∠BAD 的度数。
（插入图形，答案：70°，提示：旋转角等于∠BAD，且∠BAD=180°-∠B-∠C=70°）
练习 2：如图，在等边△ABC 中，D 是 BC 边上一点，将△ABD 绕点 A 旋转得到△ACE，求证：DE=AD。
（插入图形，证明：旋转后 AD=AE，∠BAD=∠CAE，∠DAE=∠BAC=60°，∴△ADE 是等边三角形，DE=AD）
练习 3：利用旋转设计一个具有旋转对称美的图案，并说明旋转中心和旋转角。
幻灯片 13：拓展应用 —— 旋转与图案设计
图案设计步骤：
确定基本图形（如线段、三角形、多边形）。
选择旋转中心和旋转角（如 120°、90°、60°）。
将基本图形按选定的旋转要素重复旋转，形成完整图案。
示例展示：
以正三角形为基本图形，绕中心旋转 120° 三次形成的图案。
以花瓣形状为基本图形，绕中心旋转 72° 五次形成的花朵图案。
（插入设计好的图案，标注旋转要素）
幻灯片 14：课堂小结
旋转的实际应用：在工业、科技、艺术等领域有广泛应用，实现动力传递、运动控制和美感设计。
旋转在几何中的应用：
作图：按旋转要素作出旋转后的图形。
证明：通过旋转构造全等图形，证明线段或角的关系。
计算：利用旋转性质转化线段长度或角度，简化计算。
关键思想方法：转化思想、对称思想，合理选择旋转中心和角度是解题关键。
幻灯片 15：作业布置
教材第 [X] 页习题 24.1 第 7、8、9 题。
观察家中的旋转应用实例，写一篇简短的说明文介绍其工作原理。
如图，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边上一点，将△ABM 绕点 A 旋转得到△ADN，求证：MN=√2 AM。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
考试考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
你能找出图案中的全等图形吗？
这幅图案可看成是怎样制作的呢？
图片引入
运动美
★
★
★
★
★
★
★
★
★
★
★
★
组合美
坐标平面内的旋转变换
A
B
1
2
2
－1
－2
－2
x
y
O
1
－1
合作探究
B
如图，△AOB 的顶点坐标分别是 A (2，1)，O (0，0)，B(2，0).
(1) 分别画出△AOB 以原点为旋转中心，逆时针旋转 90°、180°、270°、360° 而得到的△A′OB′，并填写表格.
A
1
2
2
－1
－2
－2
x
y
O
1
－1
B
原图形上点的坐标 A(2，1) O(0，0) B(2，0)
按逆时针方向旋转后对应点的坐标 旋转90°
旋转180°
旋转270°
旋转360°
(－1，2)
(－2，－1)
(1，－2)
(2，1)
(0，0)
(0，2)
(0，0)
(0，0)
(0，0)
(－2，0)
(0，－2)
(2，0)
(2) 分别比较点 A′ 与点 A、点 B′ 与点 B、点 C 与点 C′的坐标，能得到怎样的结论？
通过作图、分析能看到，把一个图形以坐标原点为旋转中心作几个特殊角度的旋转，可得如下结果：
原图形上任一点的坐标 以点 O 为旋转中心按逆时针方向旋转后对应点的坐标
(x，y) (－y，x) (－x，－y) (y，－x) (x，y)
旋转 90°
旋转 180°
旋转 270°
旋转 360°
练一练
1. 如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO
绕点 O 按顺时针方向旋转 90°，得△A′B′O，则点 A′ 的
坐标为 .
解析：根据网格结构找出点 A、B 旋转后的对应点 A′、B′ 的位置，然后与点 O 顺次连接即可. 如图，点 A′ 的坐标为 (1，3).
(1，3)
2. 填空：
(1) 在平面直角坐标系中，点 P (2，－3) 关于原点对
称的点 P′ 的坐标是________．
(2) 点 M (3，－5) 绕原点旋转 180° 后到达的位置是
________．
(3) 点 P (2，n) 与点 Q (m，－3) 关于原点对称，则
(m＋n)2023＝______．
解析：因为点 P(2，n) 与点 Q(m，－3) 关于原点对称，所以 m＝－2，n＝3．则 (m＋n)2023＝(－2＋3)2023＝1.
(－2，3)
1
(－3，5)
例1 如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标是(1，0)，若点 A 的坐标为(a，b)，将线段 BA 绕点 B 顺时针旋转 90° 得到线段 BA′，则点 A′ 的坐标是 ．
典例精析
解析：过点 A 作 AC⊥x 轴，过点 A′ 作 A′D ⊥ x 轴，垂足分别为 C、D，显然
Rt△ABC≌Rt△BA′D.
∵点 A(a，b)，点 B(1，0)，∴ OD＝OB＋BD＝OB＋AC＝1＋b，A′D＝BC＝OC－OB＝a－1. ∵ 点 A′ 在第四象限，∴ 点 A′ 的坐标是 (b＋1，－a＋1)．
动态图形的操作与图案设计
试说出构成下列图形的基本图形．
观察与思考
（1）
（2）
（3）
（4）
基本图案
图案的形成过程
分析图案的形成过程
基本图案
图案的形成过程
分析图案的形成过程
归纳：图形的变换可以通过选择不同的变换方式得到，可能需要旋转、轴对称、平移等多种变换组合才能得到完美的图案.
例2 用四块如图(1)的正方形卡片拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图(2)、图(3)、图(4)中各画出一种拼法(要求三种画法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形)．
解：如图所示.（答案不唯一）
例3 如图是一个 4×4 的正方形网格，每个小正方形的边长为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、轴对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①既是轴对称图形，又是以点 O 为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为 4.
分析：所给左上角的三角形的面积为 1×1÷2＝0.5，故设计图案总共需要阴影三角形 4÷0.5＝8 (个).
解：答案不唯一，以下图案供参考.
1星题 基础练
平面直角坐标系中图形的旋转变换
（第1题）
1.［知识初练］[2024·湖北中考] 如图，平面
直角坐标系中，点的坐标为 ，将
线段绕点顺时针旋转 ，则点 的对应
点 的坐标为( )
B
A. B.
C. D.
（第2题）
2.如图，在平面直角坐标系中， 绕点
旋转 得到，已知点 的坐标
为，则点 的坐标是( )
B
A. B.
C. D.
点拨：绕点旋转 得到
，
，即点C为的中点.设 ，
则 ，故选B.
（第2题）
3.将点绕坐标原点按逆时针方向旋转 后得到
点，点 的坐标是________.
平面直角坐标系中旋转变换的作图
4.如图，在平面直角坐标系中，将绕点 顺时针旋转
，得到，画出 .
解：如图所示.
2星题 中档练
5.[2024·宣城期末] 如图，在平面直角坐
标系中，点， ，将平行四
边形绕点旋转 后，点 的对
应点 的坐标是________________.
或
6.[2024·合肥模拟] 如图，已知点,, .
（1）将绕原点逆时针旋转 得到 ，画出
；
解： 如图所示.
6.[2024·合肥模拟] 如图，已知点,, .
（2）画出关于原点成中心对称的图形 ；
解： 如图所示.
6.[2024·合肥模拟] 如图，已知点,, .
（3）在（1）中，若上有一点 ，直接写出其对
应点 的坐标.
解： .
7. 为建设绿色校园，学校决定在一块正方形
的空地上种植花草，现向学生征集设计图案.图案要求只能用
圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成图案，
种植花草部分用阴影表示.请你运用平移、旋转、轴对称等知
识，在图中画出三种不同的设计图案.
解：（答案不唯一）如图所示.
旋转的应用
特征
P(x，y) 关于原点的对称点为 P′(-x，-y).
作图
作出关于原点对称的图形，先求出对称点的坐标，再描点画图.
坐标平面内的旋转
变换
动态图形的操作与图案设计
分析图案设计
分清基本图形
知道形成过程
设计方法
利用图形变换
轴对称
平 移
旋 转
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086
24.1.3旋转的应用
第24章 圆
2024沪科版数学九年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
幻灯片 1：封面
课程名称：24.1.3 旋转的应用
学科：数学
年级：九年级
教师姓名：[您的姓名]
幻灯片 2：教学目标
了解旋转在生活和生产中的实际应用，体会旋转的实用价值。
能运用旋转的性质解决几何作图、证明和计算问题。
掌握利用旋转进行图形变换的思想方法，提高几何推理和问题解决能力。
幻灯片 3：教学重难点
重点：运用旋转的性质解决几何问题，包括作图、证明和计算。
难点：根据问题特点合理选择旋转中心、方向和角度，将复杂问题转化为简单问题。
幻灯片 4：情境导入 —— 生活中的旋转应用
生活中的旋转实例展示：
汽车方向盘的旋转控制转向。
钟表指针的旋转指示时间。
风力发电机叶片的旋转发电。
游乐场旋转木马的旋转运动。
机械零件的旋转传动（如齿轮啮合）。
提问：这些实例中旋转起到了什么作用？在几何问题中，旋转又能帮助我们解决哪些问题呢？今天我们学习 —— 旋转的应用。
幻灯片 5：旋转在实际生活中的应用
工业生产中的应用：
齿轮传动：通过齿轮的旋转传递动力和运动，改变转速和方向。
机床加工：零件在机床上通过旋转实现切削、打磨等加工过程。
科技领域中的应用：
卫星天线的旋转调整：通过旋转天线对准卫星，保证信号接收。
机器人关节旋转：实现机器人的灵活运动和动作完成。
艺术与设计中的应用：
图案设计：利用旋转对称设计花纹、标志等，增强视觉美感。
舞蹈编排：旋转动作丰富舞蹈表现形式，展现动态美。
幻灯片 6：旋转在几何作图中的应用
利用旋转作图的基本思路：
根据题目要求确定旋转中心、旋转方向和旋转角。
找出原图形的关键点，按旋转要素将关键点旋转得到对应点。
连接对应点得到旋转后的图形。
例 1：如图，已知△ABC 和点 O，将△ABC 绕点 O 顺时针旋转 90°，作出旋转后的图形△A'B'C'。
作法：
连接 OA、OB、OC。
分别以 OA、OB、OC 为一边，按顺时针方向作∠AOA'=∠BOB'=∠COC'=90°。
在射线 OA'、OB'、OC' 上分别截取 OA'=OA、OB'=OB、OC'=OC，得到点 A'、B'、C'。
连接 A'B'、B'C'、C'A'，则△A'B'C' 即为所求。
（插入作图过程图）
幻灯片 7：旋转在几何证明中的应用
利用旋转证明的常用场景：
证明线段相等或角相等。
证明线段平行或垂直。
证明图形全等或相似。
例 2：如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 上的点，且∠EDF=45°，求证：EF=AE+CF。
证明：将△DCF 绕点 D 顺时针旋转 90° 得到△DAF'。
∵旋转性质，∴DF'=DF，AF'=CF，∠ADF'=∠CDF，∠DAF'=∠C=90°。
∵∠DAB=90°，∴F'、A、E 三点共线。
∵∠EDF=45°，∴∠EDC+∠CDF=45°，∠EDF'=∠EDA+∠ADF'=∠EDA+∠CDF=45°。
在△EDF 和△EDF' 中，DF=DF'，∠EDF=∠EDF'，DE=DE，∴△EDF≌△EDF'（SAS）。
∴EF=EF'=AE+AF'=AE+CF。
（插入图形，标注旋转后的对应关系）
幻灯片 8：旋转在几何计算中的应用
利用旋转计算的常用类型：
计算线段长度。
计算角度大小。
计算图形面积。
例 3：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 60° 得到△AB'C'，求线段 BC' 的长度。
解：连接 BB'，∵△ABC 绕点 A 顺时针旋转 60° 得到△AB'C'，∴AB=AB'，∠BAB'=60°，AC'=AC=2，B'C'=BC=2。
∴△ABB' 是等边三角形，BB'=AB。
在 Rt△ABC 中，AB=√(AC +BC )=√(2 +2 )=2√2，∴BB'=2√2。
∠BAC=45°，∠B'AC'=45°，∠BAC'=∠BAC+∠CAC'=45°+60°=105°？（此处可能有误，重新分析）
正确分析：∠CAC'=60°，∠BAC=45°，∴∠B'AC=∠B'AC'-∠CAC'？不，旋转后∠B'AC'=∠BAC=45°，∠C'AC=60°，∴∠B'AC=∠C'AC-∠B'AC'=60°-45°=15°？
更简便方法：在△ABC' 中，AC'=2，AB=2√2，∠BAC'=∠BAC+∠CAC'=45°+60°=105°，用余弦定理：
BC' =AB +AC' -2·AB·AC'·cos∠BAC'= (2√2) +2 -2×2√2×2×cos105°。
cos105°=cos(60°+45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45°=0.5×√2/2 - √3/2×√2/2=√2/4 - √6/4=(√2-√6)/4。
BC' =8+4-2×2√2×2×(√2-√6)/4=12 - 2×2√2×2×(√2-√6)/4=12 - (8×(√2-√6))/4=12 - 2 (√2-√6)=12-2√2+2√6？（计算复杂，可能题目需调整或用其他方法）
（插入图形，根据正确图形重新标注计算）
幻灯片 9：旋转在动态问题中的应用
动态问题特点：图形中的某些元素绕定点旋转，导致相关线段或角度发生变化，需探究变化规律或最值。
例 4：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点 P 是 AB 上的动点，将△ACP 绕点 C 逆时针旋转 90° 得到△A'CP'，连接 PP'，求 PP' 的最小值。
解：∵△ACP 绕点 C 逆时针旋转 90° 得到△A'CP'，∴CP=CP'，∠PCP'=90°，∴△PCP' 是等腰直角三角形。
∴PP'=√2 CP，要使 PP' 最小，需使 CP 最小。
当 CP⊥AB 时，CP 最小，此时 CP=AC BC/AB=6×8/10=4.8。
∴PP' 的最小值为√2×4.8= (24√2)/5。
（插入图形，标注旋转后的等腰直角三角形）
幻灯片 10：旋转应用的关键思路
转化思想：通过旋转将分散的条件集中，将不规则图形转化为规则图形，将陌生问题转化为熟悉问题。
对称思想：利用旋转的对称性寻找等量关系或全等图形。
关键点：
确定旋转中心（通常是图形的顶点、中点或对称中心）。
选择旋转角度（常见 90°、60°、180°，根据图形特点确定）。
利用旋转性质（对应边相等、对应角相等、旋转角相等）建立关系。
幻灯片 11：易错点警示
易错点 1：旋转方向错误，导致图形位置偏差。
例如：将顺时针旋转画成逆时针旋转，纠正：作图前需明确旋转方向，严格按要求操作。
易错点 2：忽略旋转角的准确性，导致角度计算错误。
例如：旋转 90° 却按 60° 计算，纠正：旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，需准确标注和计算。
易错点 3：无法确定合适的旋转中心和角度，难以转化问题。
例如：在证明题中不知道绕哪点旋转，纠正：多观察图形特点，尝试以特殊点（如顶点、中点）为中心，以特殊角旋转。
幻灯片 12：课堂练习
练习 1：如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△ADE，若∠B=70°，∠C=40°，求∠BAD 的度数。
（插入图形，答案：70°，提示：旋转角等于∠BAD，且∠BAD=180°-∠B-∠C=70°）
练习 2：如图，在等边△ABC 中，D 是 BC 边上一点，将△ABD 绕点 A 旋转得到△ACE，求证：DE=AD。
（插入图形，证明：旋转后 AD=AE，∠BAD=∠CAE，∠DAE=∠BAC=60°，∴△ADE 是等边三角形，DE=AD）
练习 3：利用旋转设计一个具有旋转对称美的图案，并说明旋转中心和旋转角。
幻灯片 13：拓展应用 —— 旋转与图案设计
图案设计步骤：
确定基本图形（如线段、三角形、多边形）。
选择旋转中心和旋转角（如 120°、90°、60°）。
将基本图形按选定的旋转要素重复旋转，形成完整图案。
示例展示：
以正三角形为基本图形，绕中心旋转 120° 三次形成的图案。
以花瓣形状为基本图形，绕中心旋转 72° 五次形成的花朵图案。
（插入设计好的图案，标注旋转要素）
幻灯片 14：课堂小结
旋转的实际应用：在工业、科技、艺术等领域有广泛应用，实现动力传递、运动控制和美感设计。
旋转在几何中的应用：
作图：按旋转要素作出旋转后的图形。
证明：通过旋转构造全等图形，证明线段或角的关系。
计算：利用旋转性质转化线段长度或角度，简化计算。
关键思想方法：转化思想、对称思想，合理选择旋转中心和角度是解题关键。
幻灯片 15：作业布置
教材第 [X] 页习题 24.1 第 7、8、9 题。
观察家中的旋转应用实例，写一篇简短的说明文介绍其工作原理。
如图，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边上一点，将△ABM 绕点 A 旋转得到△ADN，求证：MN=√2 AM。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
考试考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
你能找出图案中的全等图形吗？
这幅图案可看成是怎样制作的呢？
图片引入
运动美
★
★
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★
★
★
组合美
坐标平面内的旋转变换
A
B
1
2
2
－1
－2
－2
x
y
O
1
－1
合作探究
B
如图，△AOB 的顶点坐标分别是 A (2，1)，O (0，0)，B(2，0).
(1) 分别画出△AOB 以原点为旋转中心，逆时针旋转 90°、180°、270°、360° 而得到的△A′OB′，并填写表格.
A
1
2
2
－1
－2
－2
x
y
O
1
－1
B
原图形上点的坐标 A(2，1) O(0，0) B(2，0)
按逆时针方向旋转后对应点的坐标 旋转90°
旋转180°
旋转270°
旋转360°
(－1，2)
(－2，－1)
(1，－2)
(2，1)
(0，0)
(0，2)
(0，0)
(0，0)
(0，0)
(－2，0)
(0，－2)
(2，0)
(2) 分别比较点 A′ 与点 A、点 B′ 与点 B、点 C 与点 C′的坐标，能得到怎样的结论？
通过作图、分析能看到，把一个图形以坐标原点为旋转中心作几个特殊角度的旋转，可得如下结果：
原图形上任一点的坐标 以点 O 为旋转中心按逆时针方向旋转后对应点的坐标
(x，y) (－y，x) (－x，－y) (y，－x) (x，y)
旋转 90°
旋转 180°
旋转 270°
旋转 360°
练一练
1. 如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO
绕点 O 按顺时针方向旋转 90°，得△A′B′O，则点 A′ 的
坐标为 .
解析：根据网格结构找出点 A、B 旋转后的对应点 A′、B′ 的位置，然后与点 O 顺次连接即可. 如图，点 A′ 的坐标为 (1，3).
(1，3)
2. 填空：
(1) 在平面直角坐标系中，点 P (2，－3) 关于原点对
称的点 P′ 的坐标是________．
(2) 点 M (3，－5) 绕原点旋转 180° 后到达的位置是
________．
(3) 点 P (2，n) 与点 Q (m，－3) 关于原点对称，则
(m＋n)2023＝______．
解析：因为点 P(2，n) 与点 Q(m，－3) 关于原点对称，所以 m＝－2，n＝3．则 (m＋n)2023＝(－2＋3)2023＝1.
(－2，3)
1
(－3，5)
例1 如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标是(1，0)，若点 A 的坐标为(a，b)，将线段 BA 绕点 B 顺时针旋转 90° 得到线段 BA′，则点 A′ 的坐标是 ．
典例精析
解析：过点 A 作 AC⊥x 轴，过点 A′ 作 A′D ⊥ x 轴，垂足分别为 C、D，显然
Rt△ABC≌Rt△BA′D.
∵点 A(a，b)，点 B(1，0)，∴ OD＝OB＋BD＝OB＋AC＝1＋b，A′D＝BC＝OC－OB＝a－1. ∵ 点 A′ 在第四象限，∴ 点 A′ 的坐标是 (b＋1，－a＋1)．
动态图形的操作与图案设计
试说出构成下列图形的基本图形．
观察与思考
（1）
（2）
（3）
（4）
基本图案
图案的形成过程
分析图案的形成过程
基本图案
图案的形成过程
分析图案的形成过程
归纳：图形的变换可以通过选择不同的变换方式得到，可能需要旋转、轴对称、平移等多种变换组合才能得到完美的图案.
例2 用四块如图(1)的正方形卡片拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图(2)、图(3)、图(4)中各画出一种拼法(要求三种画法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形)．
解：如图所示.（答案不唯一）
例3 如图是一个 4×4 的正方形网格，每个小正方形的边长为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、轴对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①既是轴对称图形，又是以点 O 为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为 4.
分析：所给左上角的三角形的面积为 1×1÷2＝0.5，故设计图案总共需要阴影三角形 4÷0.5＝8 (个).
解：答案不唯一，以下图案供参考.
1星题 基础练
平面直角坐标系中图形的旋转变换
（第1题）
1.［知识初练］[2024·湖北中考] 如图，平面
直角坐标系中，点的坐标为 ，将
线段绕点顺时针旋转 ，则点 的对应
点 的坐标为( )
B
A. B.
C. D.
（第2题）
2.如图，在平面直角坐标系中， 绕点
旋转 得到，已知点 的坐标
为，则点 的坐标是( )
B
A. B.
C. D.
点拨：绕点旋转 得到
，
，即点C为的中点.设 ，
则 ，故选B.
（第2题）
3.将点绕坐标原点按逆时针方向旋转 后得到
点，点 的坐标是________.
平面直角坐标系中旋转变换的作图
4.如图，在平面直角坐标系中，将绕点 顺时针旋转
，得到，画出 .
解：如图所示.
2星题 中档练
5.[2024·宣城期末] 如图，在平面直角坐
标系中，点， ，将平行四
边形绕点旋转 后，点 的对
应点 的坐标是________________.
或
6.[2024·合肥模拟] 如图，已知点,, .
（1）将绕原点逆时针旋转 得到 ，画出
；
解： 如图所示.
6.[2024·合肥模拟] 如图，已知点,, .
（2）画出关于原点成中心对称的图形 ；
解： 如图所示.
6.[2024·合肥模拟] 如图，已知点,, .
（3）在（1）中，若上有一点 ，直接写出其对
应点 的坐标.
解： .
7. 为建设绿色校园，学校决定在一块正方形
的空地上种植花草，现向学生征集设计图案.图案要求只能用
圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成图案，
种植花草部分用阴影表示.请你运用平移、旋转、轴对称等知
识，在图中画出三种不同的设计图案.
解：（答案不唯一）如图所示.
旋转的应用
特征
P(x，y) 关于原点的对称点为 P′(-x，-y).
作图
作出关于原点对称的图形，先求出对称点的坐标，再描点画图.
坐标平面内的旋转
变换
动态图形的操作与图案设计
分析图案设计
分清基本图形
知道形成过程
设计方法
利用图形变换
轴对称
平 移
旋 转
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086