24.2.2垂径分弦（教学课件）--2025-2026学年沪科版九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 24.2.2垂径分弦（教学课件）--2025-2026学年沪科版九年级数学下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-11 16:13:42 | ||
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文档简介
(共37张PPT)
24.2.2垂径分弦
第24章 圆
2024沪科版数学九年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
幻灯片 1：封面
课程名称：24.2.2 垂径分弦
学科：数学
年级：九年级
教师姓名：[您的姓名]
幻灯片 2：教学目标
理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论。
能运用垂径定理解决与弦、弧有关的计算和证明问题。
经历垂径定理的探究过程，体会数形结合和转化思想。
幻灯片 3：教学重难点
重点：垂径定理及其推论的内容和应用。
难点：理解垂径定理的推导过程，灵活运用定理解决复杂问题。
幻灯片 4：情境导入
复习回顾：
圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合。
与圆有关的概念：弦、直径、弧等。
情境问题：
如图，在圆形纸片上有一条弦 AB，如何找到这条弦的中点？如果过弦的中点作一条垂直于弦的直线，这条直线与圆有什么关系？
（插入圆形纸片和弦 AB 的图形）
引入新课：今天我们将通过探究圆的轴对称性，学习解决这类问题的重要定理 —— 垂径定理。
幻灯片 5：圆的轴对称性探究
操作实验：
取一张圆形纸片，对折圆，观察两部分是否完全重合。
改变对折方向，再次对折，观察重合情况。
结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
图形演示：
（插入圆形对折动态图，展示直径所在直线为对称轴）
思考：如果在圆中画一条弦 AB，再画一条直径 CD 垂直于 AB，垂足为 E，沿着直径 CD 对折圆，弦 AB 和弧 AB 会有什么变化？
幻灯片 6：垂径定理的探究
实验操作：
在圆中画弦 AB，画直径 CD⊥AB 于点 E。
沿着 CD 对折圆，观察点 A 与点 B、弧 AC 与弧 BC、弧 AD 与弧 BD 是否重合。
观察发现：
点 A 与点 B 重合，即 AE=BE（直径垂直于弦，平分弦）。
弧 AC 与弧 BC 重合，即 AC= BC（直径垂直于弦，平分弦所对的优弧）。
弧 AD 与弧 BD 重合，即 AD= BD（直径垂直于弦，平分弦所对的劣弧）。
（插入图形，标注对折后重合的部分）
幻灯片 7：垂径定理
定理内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
图形语言：
如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD⊥AB 于点 E，则 AE=BE， AC= BC， AD= BD。
（插入图形，标注直径 CD、弦 AB、垂足 E 及相等关系）
符号语言：
∵CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB 于 E，
∴AE=BE， AC= BC， AD= BD。
关键词解析：
“垂直于弦”：直径与弦的位置关系是垂直。
“平分弦”：直径将弦分成两条相等的线段。
“平分弦所对的两条弧”：包括优弧和劣弧。
幻灯片 8：垂径定理的推论
推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
注意：“不是直径” 是必要条件，因为两条直径互相平分，但不一定垂直。
图形语言：在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦（非直径），AE=BE，则 CD⊥AB， AC= BC， AD= BD。
推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
图形语言：在⊙O 中，AB 是弦，直线 CD 垂直平分 AB，则 CD 经过圆心 O， AC= BC， AD= BD。
符号语言：（对应图形分别标注）
幻灯片 9：垂径定理的基本图形与辅助线
基本图形：由直径、垂直于直径的弦及圆心到弦的距离构成的直角三角形（Rt△OEA），其中：
OA 是半径（r），
OE 是圆心到弦的距离（d），
AE 是弦长的一半（l/2）。
满足关系：r =d +(l/2) （勾股定理）。
（插入基本图形，标注 r、d、l/2）
常用辅助线：
过圆心作弦的垂线，构造直角三角形。
连接圆心与弦的端点，形成半径。
幻灯片 10：例题解析 —— 弦长计算
例 1：如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 8cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3cm，求⊙O 的半径。
解：过 O 作 OE⊥AB 于 E，连接 OA。
∵OE⊥AB，∴AE=BE=AB/2=4cm（垂径定理）。
在 Rt△OEA 中，OE=3cm，AE=4cm，
由勾股定理得 OA =OE +AE =3 +4 =25，∴OA=5cm。
即⊙O 的半径为 5cm。
（插入图形，标注弦长、距离和辅助线）
幻灯片 11：例题解析 —— 证明问题
例 2：如图，在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，且 AB=CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，求证：OE=OF。
证明：连接 OA、OC。
∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=AB/2，CF=CD/2（垂径定理）。
∵AB=CD，∴AE=CF。
∵OA=OC（同圆半径相等），
在 Rt△OEA 和 Rt△OFC 中，AE=CF，OA=OC，
∴Rt△OEA≌Rt△OFC（HL），∴OE=OF。
（插入图形，标注弦、垂线和半径）
幻灯片 12：例题解析 —— 综合应用
例 3：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ AB），点 O 是这段弧的圆心，AB=300m，C 是 AB 上一点，OC⊥AB 于 D，CD=45m，求这段弯路的半径。
解：设这段弯路的半径为 r m，则 OA=OC=r m。
∵OC⊥AB，∴AD=AB/2=150m，OD=OC-CD=r-45。
在 Rt△OAD 中，OA =OD +AD ，
即 r =(r-45) +150 ，
展开得 r =r -90r+2025+22500，
化简得 90r=24525，解得 r=272.5。
答：这段弯路的半径为 272.5m。
（插入图形，标注公路转弯弧和数据）
幻灯片 13：易错点警示
易错点 1：忽略垂径定理推论中 “弦不是直径” 的条件。
例如：认为 “平分弦的直径垂直于弦”，纠正：当弦是直径时，平分直径的直径不一定垂直，需强调 “弦不是直径”。
易错点 2：计算弦长时忘记弦长是半径、弦心距构成的直角三角形直角边的 2 倍。
例如：直接用 r =d +l 计算，纠正：应是 r =d +(l/2) ，弦长 l=2√(r -d )。
易错点 3：辅助线添加不规范，未说明垂线或半径的作法。
例如：解题时未说明 “过圆心作弦的垂线”，纠正：辅助线需明确表述，为后续推理提供依据。
幻灯片 14：课堂练习
练习 1：在⊙O 中，直径为 10cm，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3cm，则弦 AB 的长为______cm。
答案：8
练习 2：如图，在⊙O 中，AB 是弦，OC⊥AB 于 C，若 AB=8，OC=3，则⊙O 的半径为______。
（插入图形，答案：5）
练习 3：求证：在同圆中，相等的弦所对的弦心距相等。
（提示：利用垂径定理和直角三角形全等证明）
幻灯片 15：生活中的应用
实例 1：圆柱形水管的截面是圆形，测量水管中水面的宽度和水深，可利用垂径定理计算水管的直径。
实例 2：建筑工人在建造圆形拱门时，利用垂径定理确保拱门的对称性和稳定性，计算拱高和跨度。
实例 3：天文观测中，通过测量圆弧形轨道上两点的距离和拱高，利用垂径定理计算轨道半径。
幻灯片 16：课堂小结
圆的轴对称性：任何一条直径所在直线都是对称轴。
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦且平分弧；弦的垂直平分线过圆心且平分弧。
基本关系：r =d +(l/2) （r 为半径，d 为弦心距，l 为弦长）。
辅助线：过圆心作弦的垂线，连接半径构造直角三角形。
幻灯片 17：作业布置
教材第 [X] 页习题 24.2 第 5、6、7 题。
如图，在⊙O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 E，且 AB⊥CD，若 AE=2，EB=6，DE=3，求 CE 的长（用垂径定理相关知识解答）。
测量家中一个圆形物体（如碗、盘子）的直径，写出测量方法并说明依据（运用垂径定理）。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
考试考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
视频引入
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赵州桥的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为 37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2 m，你知
道如何求出赵州桥主桥拱的半径吗？
垂径定理及其推论
合作探究
问题1 在纸上任意画一个⊙O，沿⊙O 的一条直径将 ⊙O 折叠，你发现了什么？
O
圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线.
问题2 已知：如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，
且 CD⊥AB，垂足为 E.
求证：AE = EB， ， .
证明：连接 OA，OB，则 OA = OB.
∵ CD⊥AB，∴ OE⊥AB.
∴ OE 平分 AB，即 CD 垂直平分 AB．
∴ 点 A 与点 B 关于直线 CD 对称.
·
O
A
B
D
E
C
分析：只要能说明⊙O 关于直线 CD 对称，那么所有结论都能得证.
同理，如果点 P 是⊙O 上任意一点，过点 P 作直线 CD 的垂线，与⊙O 相交于另一点 Q，则点 P 与点 Q 也关于直线 CD 对称．
∴ ⊙O 关于直线 CD 对称.
∴ AE = EB， ， .
P
·
O
A
B
D
E
C
Q
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
∵ CD 是 ⊙O 的直径，CD⊥AB，
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要会相互转化，形成整体，才能运用自如.
归纳总结
∴ AE = BE， ，
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么.
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为 AB，CD 都不是直径
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
A
B
O
C
D
E
垂径定理的几种基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
归纳总结
如果直径平分弦（不是直径），那么该直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧吗？
思考：
如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 AE = BE.
(1) CD⊥AB 吗？为什么？
(2) 与 相等吗？ 与 相等吗？为什么？
·
O
A
B
C
D
E
解：(1) CD⊥AB，理由如下：
连接 AO，BO，如图，则 AO = BO.
又∵AE = BE，OE = OE，
∴△AOE≌△BOE（SSS）.
∴∠AEO =∠BEO = 90°，即 CD⊥AB.
(2)由垂径定理可得 = ， = .
思考：“不是直径”这个说明能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
例 1 如图，⊙O 的半径为 5 cm，弦 AB 为 6 cm，求圆心到弦 AB 的距离.
·
O
A
B
E
解：连接 OA，过 O 作 OE⊥AB 于 E，
则
又∵OA = 5 cm，∴在 Rt△OEA 中，
垂径定理及其推论的计算
典例精析
答：圆心到弦 AB 的距离是 4 cm.
圆心到弦的距离叫做弦心距
【变式题】如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm， OE = 6 cm，则 AB = cm.
·
O
A
B
E
解析：连接 OA，如图.
∵ OE⊥AB，
∴ AB = 2AE = 2×8 = 16（cm）.
16
∴
例 2 如图，⊙O 的弦 AB = 8 cm ，直径 CE⊥AB 于 D，DC = 2 cm，求半径 OC 的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接 OA．∵ CE⊥AB 于 D，
∴
设 OC = x cm，则 OD = (x － 2) cm.
根据勾股定理，得
解得 x = 5.
即半径 OC 的长为 5 cm.
x2 = 42 + ( x－2)2，
例3 已知：⊙O 中弦 AB∥CD，求证： = .
.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径 MN⊥AB，如图.
∵ AB∥CD，∴ MN⊥CD.
则 = ， = .（垂直
平分弦的直径平分弦所对的弧）
∴ － = － .
∴ = .
解决有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，并构造半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
归纳总结
例4 赵州桥的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为 37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2 m，求赵州桥主桥拱的半径.
垂径定理的实际应用
由垂径定理，得 AD = AB = 18.7 m，
设⊙O 的半径为 R.
在 Rt△AOD 中，AO = R，
OD = R - 7.2，AD = 18.7.
由勾股定理，得
A
B
O
C
D
解得 R ≈ 27.9.
即赵州桥主桥拱的半径约为 27.9 m.
∴ R2 = (R - 7.2)2 + 18.72，
解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 于点 C，交 AB 于点 D，则 CD = 7.2 m.
练一练：如图 a、b，一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿___＿＿____.
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图a
图b
2 cm 或 12 cm
在圆中解决有关弦长 a，半径 r， 弦心距 d (圆心到弦的距离)，弓形高 h 的计算问题时，常常通过连半径或作弦的垂线段构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
垂径定理中常见辅助线的添法
弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间的关系：
弓形中的重要数量关系
d + h = r
O
A
B
C
·
归纳总结
A
B
C
D
O
h
r
d
1星题 基础练
圆的对称性
1.［知识初练］圆是轴对称图形，有______条对称轴，其对
称轴是__________________________________；圆也是中心
对称图形，其对称中心是______.
无数
圆所在平面内任意一条过圆心的直线
圆心
2.下列说法中，不正确的是( )
D
A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合
C.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
D.圆的每一条直径都是它的对称轴
垂径定理
（第3题）
3.［知识初练］如图，是 的直径，弦
于点 ，则下列结论不一定成立的是
( )
B
A. B.
C. D.
（第4题）
4.如图，在中，于点 ，若
，，则 的半径长为___.
5
5.[2024·合肥模拟] 已知点在的弦上， ，
，，则圆心到弦 的距离为___.
3
垂径定理的推论
（第6题）
6.如图，的直径过弦的中点 ，且
，，则 的长为___.
8
（第7题）
7.如图，是的直径，是 的一条
弦，与交于点， ，下列结
论：； ；
； 中，一定正
确的有( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
垂径定理的实际应用
8. [2024·滁州期末] “圆”是
中国文化中的一个重要精神元素，
在中式建筑中有着广泛的应用，例
1.3
如古典园林中的门洞.如图，某园林中的一个圆弧形门洞的高
为，地面入口宽为，则该门洞的半径为____ ．
9. 如图是一个残破的圆形
玻璃，弦，半径于点 ，
，求原圆形玻璃的直径.
解：连接.设原圆形玻璃的半径为 ，
则 .
, .
在中, ,
即，解得 .
,
原圆形玻璃的直径为 .
2星题 中档练
10.是内一点，过点的最长弦长为 ,最短弦长为
,则 的长为( )
B
A. B. C. D.
（第11题）
11.[2024·芜湖模拟改编] 如图，是 的弦，
半径于点，为直径， ，
，则线段 的长为_ ___.
解析： 点拨：连接 ，如图.
是的弦，半径于点 ，
.
在 中，
，
.
，分别是， 的中点，
是 的中位线，
，
在 中，
.
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（知二推三）
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
两种辅助线：
连半径；作弦心距
构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程
基本图形及变式图形
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086
24.2.2垂径分弦
第24章 圆
2024沪科版数学九年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
幻灯片 1：封面
课程名称：24.2.2 垂径分弦
学科：数学
年级：九年级
教师姓名：[您的姓名]
幻灯片 2：教学目标
理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论。
能运用垂径定理解决与弦、弧有关的计算和证明问题。
经历垂径定理的探究过程，体会数形结合和转化思想。
幻灯片 3：教学重难点
重点：垂径定理及其推论的内容和应用。
难点：理解垂径定理的推导过程，灵活运用定理解决复杂问题。
幻灯片 4：情境导入
复习回顾：
圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合。
与圆有关的概念：弦、直径、弧等。
情境问题：
如图，在圆形纸片上有一条弦 AB，如何找到这条弦的中点？如果过弦的中点作一条垂直于弦的直线，这条直线与圆有什么关系？
（插入圆形纸片和弦 AB 的图形）
引入新课：今天我们将通过探究圆的轴对称性，学习解决这类问题的重要定理 —— 垂径定理。
幻灯片 5：圆的轴对称性探究
操作实验：
取一张圆形纸片，对折圆，观察两部分是否完全重合。
改变对折方向，再次对折，观察重合情况。
结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
图形演示：
（插入圆形对折动态图，展示直径所在直线为对称轴）
思考：如果在圆中画一条弦 AB，再画一条直径 CD 垂直于 AB，垂足为 E，沿着直径 CD 对折圆，弦 AB 和弧 AB 会有什么变化？
幻灯片 6：垂径定理的探究
实验操作：
在圆中画弦 AB，画直径 CD⊥AB 于点 E。
沿着 CD 对折圆，观察点 A 与点 B、弧 AC 与弧 BC、弧 AD 与弧 BD 是否重合。
观察发现：
点 A 与点 B 重合，即 AE=BE（直径垂直于弦，平分弦）。
弧 AC 与弧 BC 重合，即 AC= BC（直径垂直于弦，平分弦所对的优弧）。
弧 AD 与弧 BD 重合，即 AD= BD（直径垂直于弦，平分弦所对的劣弧）。
（插入图形，标注对折后重合的部分）
幻灯片 7：垂径定理
定理内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
图形语言：
如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD⊥AB 于点 E，则 AE=BE， AC= BC， AD= BD。
（插入图形，标注直径 CD、弦 AB、垂足 E 及相等关系）
符号语言：
∵CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB 于 E，
∴AE=BE， AC= BC， AD= BD。
关键词解析：
“垂直于弦”：直径与弦的位置关系是垂直。
“平分弦”：直径将弦分成两条相等的线段。
“平分弦所对的两条弧”：包括优弧和劣弧。
幻灯片 8：垂径定理的推论
推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
注意：“不是直径” 是必要条件，因为两条直径互相平分，但不一定垂直。
图形语言：在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦（非直径），AE=BE，则 CD⊥AB， AC= BC， AD= BD。
推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
图形语言：在⊙O 中，AB 是弦，直线 CD 垂直平分 AB，则 CD 经过圆心 O， AC= BC， AD= BD。
符号语言：（对应图形分别标注）
幻灯片 9：垂径定理的基本图形与辅助线
基本图形：由直径、垂直于直径的弦及圆心到弦的距离构成的直角三角形（Rt△OEA），其中：
OA 是半径（r），
OE 是圆心到弦的距离（d），
AE 是弦长的一半（l/2）。
满足关系：r =d +(l/2) （勾股定理）。
（插入基本图形，标注 r、d、l/2）
常用辅助线：
过圆心作弦的垂线，构造直角三角形。
连接圆心与弦的端点，形成半径。
幻灯片 10：例题解析 —— 弦长计算
例 1：如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 8cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3cm，求⊙O 的半径。
解：过 O 作 OE⊥AB 于 E，连接 OA。
∵OE⊥AB，∴AE=BE=AB/2=4cm（垂径定理）。
在 Rt△OEA 中，OE=3cm，AE=4cm，
由勾股定理得 OA =OE +AE =3 +4 =25，∴OA=5cm。
即⊙O 的半径为 5cm。
（插入图形，标注弦长、距离和辅助线）
幻灯片 11：例题解析 —— 证明问题
例 2：如图，在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，且 AB=CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，求证：OE=OF。
证明：连接 OA、OC。
∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=AB/2，CF=CD/2（垂径定理）。
∵AB=CD，∴AE=CF。
∵OA=OC（同圆半径相等），
在 Rt△OEA 和 Rt△OFC 中，AE=CF，OA=OC，
∴Rt△OEA≌Rt△OFC（HL），∴OE=OF。
（插入图形，标注弦、垂线和半径）
幻灯片 12：例题解析 —— 综合应用
例 3：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ AB），点 O 是这段弧的圆心，AB=300m，C 是 AB 上一点，OC⊥AB 于 D，CD=45m，求这段弯路的半径。
解：设这段弯路的半径为 r m，则 OA=OC=r m。
∵OC⊥AB，∴AD=AB/2=150m，OD=OC-CD=r-45。
在 Rt△OAD 中，OA =OD +AD ，
即 r =(r-45) +150 ，
展开得 r =r -90r+2025+22500，
化简得 90r=24525，解得 r=272.5。
答：这段弯路的半径为 272.5m。
（插入图形，标注公路转弯弧和数据）
幻灯片 13：易错点警示
易错点 1：忽略垂径定理推论中 “弦不是直径” 的条件。
例如：认为 “平分弦的直径垂直于弦”，纠正：当弦是直径时，平分直径的直径不一定垂直，需强调 “弦不是直径”。
易错点 2：计算弦长时忘记弦长是半径、弦心距构成的直角三角形直角边的 2 倍。
例如：直接用 r =d +l 计算，纠正：应是 r =d +(l/2) ，弦长 l=2√(r -d )。
易错点 3：辅助线添加不规范，未说明垂线或半径的作法。
例如：解题时未说明 “过圆心作弦的垂线”，纠正：辅助线需明确表述，为后续推理提供依据。
幻灯片 14：课堂练习
练习 1：在⊙O 中，直径为 10cm，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3cm，则弦 AB 的长为______cm。
答案：8
练习 2：如图，在⊙O 中，AB 是弦，OC⊥AB 于 C，若 AB=8，OC=3，则⊙O 的半径为______。
（插入图形，答案：5）
练习 3：求证：在同圆中，相等的弦所对的弦心距相等。
（提示：利用垂径定理和直角三角形全等证明）
幻灯片 15：生活中的应用
实例 1：圆柱形水管的截面是圆形，测量水管中水面的宽度和水深，可利用垂径定理计算水管的直径。
实例 2：建筑工人在建造圆形拱门时，利用垂径定理确保拱门的对称性和稳定性，计算拱高和跨度。
实例 3：天文观测中，通过测量圆弧形轨道上两点的距离和拱高，利用垂径定理计算轨道半径。
幻灯片 16：课堂小结
圆的轴对称性：任何一条直径所在直线都是对称轴。
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦且平分弧；弦的垂直平分线过圆心且平分弧。
基本关系：r =d +(l/2) （r 为半径，d 为弦心距，l 为弦长）。
辅助线：过圆心作弦的垂线，连接半径构造直角三角形。
幻灯片 17：作业布置
教材第 [X] 页习题 24.2 第 5、6、7 题。
如图，在⊙O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 E，且 AB⊥CD，若 AE=2，EB=6，DE=3，求 CE 的长（用垂径定理相关知识解答）。
测量家中一个圆形物体（如碗、盘子）的直径，写出测量方法并说明依据（运用垂径定理）。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
考试考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
视频引入
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赵州桥的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为 37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2 m，你知
道如何求出赵州桥主桥拱的半径吗？
垂径定理及其推论
合作探究
问题1 在纸上任意画一个⊙O，沿⊙O 的一条直径将 ⊙O 折叠，你发现了什么？
O
圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线.
问题2 已知：如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，
且 CD⊥AB，垂足为 E.
求证：AE = EB， ， .
证明：连接 OA，OB，则 OA = OB.
∵ CD⊥AB，∴ OE⊥AB.
∴ OE 平分 AB，即 CD 垂直平分 AB．
∴ 点 A 与点 B 关于直线 CD 对称.
·
O
A
B
D
E
C
分析：只要能说明⊙O 关于直线 CD 对称，那么所有结论都能得证.
同理，如果点 P 是⊙O 上任意一点，过点 P 作直线 CD 的垂线，与⊙O 相交于另一点 Q，则点 P 与点 Q 也关于直线 CD 对称．
∴ ⊙O 关于直线 CD 对称.
∴ AE = EB， ， .
P
·
O
A
B
D
E
C
Q
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
∵ CD 是 ⊙O 的直径，CD⊥AB，
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要会相互转化，形成整体，才能运用自如.
归纳总结
∴ AE = BE， ，
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么.
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为 AB，CD 都不是直径
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
A
B
O
C
D
E
垂径定理的几种基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
归纳总结
如果直径平分弦（不是直径），那么该直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧吗？
思考：
如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 AE = BE.
(1) CD⊥AB 吗？为什么？
(2) 与 相等吗？ 与 相等吗？为什么？
·
O
A
B
C
D
E
解：(1) CD⊥AB，理由如下：
连接 AO，BO，如图，则 AO = BO.
又∵AE = BE，OE = OE，
∴△AOE≌△BOE（SSS）.
∴∠AEO =∠BEO = 90°，即 CD⊥AB.
(2)由垂径定理可得 = ， = .
思考：“不是直径”这个说明能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
例 1 如图，⊙O 的半径为 5 cm，弦 AB 为 6 cm，求圆心到弦 AB 的距离.
·
O
A
B
E
解：连接 OA，过 O 作 OE⊥AB 于 E，
则
又∵OA = 5 cm，∴在 Rt△OEA 中，
垂径定理及其推论的计算
典例精析
答：圆心到弦 AB 的距离是 4 cm.
圆心到弦的距离叫做弦心距
【变式题】如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm， OE = 6 cm，则 AB = cm.
·
O
A
B
E
解析：连接 OA，如图.
∵ OE⊥AB，
∴ AB = 2AE = 2×8 = 16（cm）.
16
∴
例 2 如图，⊙O 的弦 AB = 8 cm ，直径 CE⊥AB 于 D，DC = 2 cm，求半径 OC 的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接 OA．∵ CE⊥AB 于 D，
∴
设 OC = x cm，则 OD = (x － 2) cm.
根据勾股定理，得
解得 x = 5.
即半径 OC 的长为 5 cm.
x2 = 42 + ( x－2)2，
例3 已知：⊙O 中弦 AB∥CD，求证： = .
.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径 MN⊥AB，如图.
∵ AB∥CD，∴ MN⊥CD.
则 = ， = .（垂直
平分弦的直径平分弦所对的弧）
∴ － = － .
∴ = .
解决有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，并构造半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
归纳总结
例4 赵州桥的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为 37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2 m，求赵州桥主桥拱的半径.
垂径定理的实际应用
由垂径定理，得 AD = AB = 18.7 m，
设⊙O 的半径为 R.
在 Rt△AOD 中，AO = R，
OD = R - 7.2，AD = 18.7.
由勾股定理，得
A
B
O
C
D
解得 R ≈ 27.9.
即赵州桥主桥拱的半径约为 27.9 m.
∴ R2 = (R - 7.2)2 + 18.72，
解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 于点 C，交 AB 于点 D，则 CD = 7.2 m.
练一练：如图 a、b，一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿___＿＿____.
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图a
图b
2 cm 或 12 cm
在圆中解决有关弦长 a，半径 r， 弦心距 d (圆心到弦的距离)，弓形高 h 的计算问题时，常常通过连半径或作弦的垂线段构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
垂径定理中常见辅助线的添法
弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间的关系：
弓形中的重要数量关系
d + h = r
O
A
B
C
·
归纳总结
A
B
C
D
O
h
r
d
1星题 基础练
圆的对称性
1.［知识初练］圆是轴对称图形，有______条对称轴，其对
称轴是__________________________________；圆也是中心
对称图形，其对称中心是______.
无数
圆所在平面内任意一条过圆心的直线
圆心
2.下列说法中，不正确的是( )
D
A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合
C.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
D.圆的每一条直径都是它的对称轴
垂径定理
（第3题）
3.［知识初练］如图，是 的直径，弦
于点 ，则下列结论不一定成立的是
( )
B
A. B.
C. D.
（第4题）
4.如图，在中，于点 ，若
，，则 的半径长为___.
5
5.[2024·合肥模拟] 已知点在的弦上， ，
，，则圆心到弦 的距离为___.
3
垂径定理的推论
（第6题）
6.如图，的直径过弦的中点 ，且
，，则 的长为___.
8
（第7题）
7.如图，是的直径，是 的一条
弦，与交于点， ，下列结
论：； ；
； 中，一定正
确的有( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
垂径定理的实际应用
8. [2024·滁州期末] “圆”是
中国文化中的一个重要精神元素，
在中式建筑中有着广泛的应用，例
1.3
如古典园林中的门洞.如图，某园林中的一个圆弧形门洞的高
为，地面入口宽为，则该门洞的半径为____ ．
9. 如图是一个残破的圆形
玻璃，弦，半径于点 ，
，求原圆形玻璃的直径.
解：连接.设原圆形玻璃的半径为 ，
则 .
, .
在中, ,
即，解得 .
,
原圆形玻璃的直径为 .
2星题 中档练
10.是内一点，过点的最长弦长为 ,最短弦长为
,则 的长为( )
B
A. B. C. D.
（第11题）
11.[2024·芜湖模拟改编] 如图，是 的弦，
半径于点，为直径， ，
，则线段 的长为_ ___.
解析： 点拨：连接 ，如图.
是的弦，半径于点 ，
.
在 中，
，
.
，分别是， 的中点，
是 的中位线，
，
在 中，
.
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（知二推三）
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
两种辅助线：
连半径；作弦心距
构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程
基本图形及变式图形
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086