24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距间关系（教学课件）--2025-2026学年沪科版九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距间关系（教学课件）--2025-2026学年沪科版九年级数学下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-11 16:16:03 | ||
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文档简介
(共32张PPT)
24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距间关系
第24章 圆
2024沪科版数学九年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
幻灯片 1：封面
课程名称：24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系
学科：数学
年级：九年级
教师姓名：[您的姓名]
幻灯片 2：教学目标
理解圆心角和弦心距的概念，能准确识别圆心角。
掌握在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的等量关系。
能运用这些关系解决与圆相关的证明和计算问题，体会数形结合思想。
幻灯片 3：教学重难点
重点：同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
难点：理解这些关系的推导过程，灵活运用关系解决复杂问题。
幻灯片 4：情境导入
复习回顾：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
圆的轴对称性：任何一条直径所在直线都是对称轴。
情境问题：
如图，在⊙O 中，转动圆心角∠AOB，观察弧 AB 的长度、弦 AB 的长度以及圆心到弦 AB 的距离（弦心距）会发生什么变化？它们之间有什么联系？
（插入动态图形，展示圆心角变化时弧、弦、弦心距的变化）
引入新课：今天我们将探究圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
幻灯片 5：圆心角和弦心距的概念
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
例如：如图，∠AOB 的顶点 O 是⊙O 的圆心，∠AOB 是⊙O 的一个圆心角，它所对的弧是 AB，所对的弦是 AB。
（插入图形，标注圆心角∠AOB、弧 AB、弦 AB）
弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。
例如：如图，OE⊥AB 于 E，OE 的长度就是弦 AB 的弦心距。
（插入图形，标注弦心距 OE 及垂直关系）
注意：一个圆心角对应一条弧、一条弦和一条弦心距。
幻灯片 6：探究同圆中圆心角与弧的关系
操作实验：
在⊙O 中，画两个相等的圆心角∠AOB 和∠COD，使∠AOB=∠COD。
将∠AOB 绕圆心 O 旋转，观察能否与∠COD 重合，以及 AB 与 CD 是否重合。
观察发现：
当∠AOB=∠COD 时， AB 与 CD 重合，即 AB= CD。
反之，若 AB= CD，则∠AOB=∠COD。
结论：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；相等的弧所对的圆心角相等。
（插入图形，标注相等的圆心角和重合的弧）
幻灯片 7：探究同圆中圆心角与弦、弦心距的关系
操作实验：
在⊙O 中，∠AOB=∠COD，作 OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F。
测量 AB 与 CD 的长度，OE 与 OF 的长度。
观察发现：
AB=CD（相等的圆心角所对的弦相等）。
OE=OF（相等的圆心角所对弦的弦心距相等）。
反之，若 AB=CD 或 OE=OF，则∠AOB=∠COD， AB= CD。
结论：在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对弦的弦心距相等；相等的弦或相等的弦心距所对的圆心角相等，所对的弧相等。
（插入图形，标注相等的弦、弦心距）
幻灯片 8：等圆中的关系拓展
操作实验：
取两个半径相等的圆（等圆）⊙O 和⊙O'，在⊙O 中画∠AOB，在⊙O' 中画∠A'O'B'，使∠AOB=∠A'O'B'。
观察 AB 与 A'B'、AB 与 A'B'、对应的弦心距是否相等。
结论：在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等；反之亦然。
综合总结：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。反过来，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等；相等的弦或相等的弦心距所对的圆心角相等，所对的弧相等。
幻灯片 9：关系的符号表述
在同圆或等圆中，若∠AOB=∠COD，则：
AB= CD（圆心角相等→弧相等）。
AB=CD（圆心角相等→弦相等）。
OE=OF（圆心角相等→弦心距相等，OE、OF 分别为 AB、CD 的弦心距）。
反之，若 AB= CD（或 AB=CD 或 OE=OF），则：
∠AOB=∠COD。
（插入图形，标注各等量关系）
幻灯片 10：例题解析 —— 证明问题
例 1：如图，在⊙O 中， AB= AC，∠B=70°，求∠C 的度数。
解：∵ AB= AC，∴AB=AC（等弧所对的弦相等），∠B=∠C（等边对等角）。
∵∠B=70°，∴∠C=70°。
（插入图形，标注等弧和角）
例 2：如图，在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，且 OE=OF，求证：AB=CD。
证明：∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴OE、OF 分别是 AB、CD 的弦心距。
∵OE=OF，∴AB=CD（在同圆中，相等的弦心距所对的弦相等）。
（插入图形，标注弦心距和垂线）
幻灯片 11：例题解析 —— 计算问题
例 3：如图，在⊙O 中，AB 是直径， AC= CD= DB，求∠COA、∠COD、∠DOB 的度数。
解：∵AB 是直径，∴ AB 是半圆，度数为 180°。
∵ AC= CD= DB，∴∠COA=∠COD=∠DOB（等弧所对的圆心角相等）。
∴∠COA=∠COD=∠DOB=180°÷3=60°。
（插入图形，标注直径和等弧）
例 4：如图，在⊙O 中，弦 AB=CD，AB 的弦心距 OE=3cm，求 CD 的弦心距 OF 的长度。
解：∵AB=CD，∴AB 和 CD 的弦心距相等（在同圆中，相等的弦所对的弦心距相等）。
∵OE 是 AB 的弦心距，OF 是 CD 的弦心距，OE=3cm，∴OF=OE=3cm。
（插入图形，标注弦和弦心距）
幻灯片 12：易错点警示
易错点 1：忽略 “同圆或等圆” 的前提条件。
例如：认为任意两个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，纠正：只有在同圆或等圆中，这些关系才成立。
易错点 2：混淆弧的度数与长度的关系。
例如：认为弧长相等则对应的圆心角相等，纠正：在不同圆中，弧长相等但半径不同时，圆心角不相等，应强调弧的度数相等。
易错点 3：对 “所对” 的概念理解不清。
例如：认为圆心角所对的弦是任意弦，纠正：圆心角所对的弦是指两个端点在圆心角两边与圆交点的弦。
幻灯片 13：课堂练习
练习 1：在⊙O 中，若圆心角∠AOB=60°，则它所对的弧 AB 的度数是______°。
答案：60
练习 2：如图，在⊙O 中， AB= CD，∠AOB=50°，则∠COD=______°，AB______CD（填 “＞”“＜” 或 “=”）。
（插入图形，答案：50，=）
练习 3：在同圆中，若弦 AB 的弦心距等于弦 CD 的弦心距，则下列说法错误的是（ ）
A. AB=CD B. AB= CD C. ∠AOB=∠COD D. AB⊥CD
答案：D
幻灯片 14：生活中的应用
实例 1：钟表的表盘是圆形，时针和分针转动形成的圆心角对应不同的时间，圆心角的度数与时针、分针所对的弧长成比例。
实例 2：圆形花坛的分区设计，将圆等分为若干扇形区域，每个区域对应的圆心角相等，所对的弧长和弦长也相等，保证设计对称美观。
实例 3：机械传动中的齿轮，齿轮上的齿对应圆上的弦，相等的弦长对应相等的圆心角，确保齿轮啮合传动平稳。
幻灯片 15：课堂小结
基本概念：圆心角（顶点在圆心的角）、弦心距（圆心到弦的距离）。
核心关系：在同圆或等圆中：
相等的圆心角 相等的弧 相等的弦 相等的弦心距。
相等的弧（或弦、弦心距） 相等的圆心角。
应用思路：利用这些等量关系进行角、弦、弧长的转化，解决证明和计算问题。
幻灯片 16：作业布置
教材第 [X] 页习题 24.2 第 8、9、10 题。
如图，在⊙O 中，AB、CD 是两条直径，弦 CE∥AB，求证： AC= AE。
设计一个圆形图案，将圆等分为 6 个扇形，说明每个扇形的圆心角、所对弧长和弦长的关系。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
考试考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境引入
飞镖靶、闹钟以及被均分的蛋糕等圆形中，都存在着角，那么这些角有什么共同的特征呢？
圆的对称性
观察与思考
把圆绕圆心旋转任意一个角度，仍与原来的圆重合吗？
α
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，旋转中心为圆心.
·
O
圆心角
概念学习
O
A
B
M
1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如∠AOB .
3. 圆心角∠AOB 所对的弦为 AB.
2. 圆心角∠AOB 所对的弧为 .
判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
不是
不是
不是
是
练一练
圆心角、弧、弦、弦心距间关系
·
O
A
B
C
D
由圆的旋转对称性，我们发现：
在☉O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么 ，AB = CD，OE = OF.
（证明过程见课本）
E
F
观察与思考
在☉O 中，如果∠AOB= ∠COD，那么 与 ，弦 AB 与弦 CD，垂线段 OE 与 OF 有怎样的数量关系？
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．
①∠AOB =∠COD
③ AB = CD
A
B
O
D
C
要点归纳
弧、弦与圆心角的关系定理
E
F
④ OE = OF
②
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
·
O
A
B
C
D
E
F
在☉O 中，如果 = ，那么圆心角∠AOB 与
∠COD，AB 与 CD，OE 与 OF 有怎样的数量关系？
在☉O 中，如果 AB = CD，那么圆心角∠AOB 与 ∠COD， 与 ，OE 与 OF 有怎样的数量关系？
在☉O 中，如果 OE = OF，那么圆心角∠AOB 与 ∠COD，AB 与 CD， 与 有怎样的
数量关系？
在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论
要点归纳
圆心角
相等
弦
相等
弦心距
相等
(3) 圆心角相等，所对的弦相等. （ ）
(2) 等弧所对的弦相等. （ ）
(1) 等弦所对的弧相等. （ ）
×
×
√
练一练
判断正误：
典例精析
例1 如图，等边三角形 ABC 的三个顶点都在☉O 上.
求证：∠AOB =∠BOC =∠COA = 120°.
A
B
C
O
证明：连接 OA，OB，OC，如图.
∵ AB = BC = CA，
∴∠AOB =∠BOC =∠COA
弧、弦与圆心角关系定理及推论的运用
∴ AB = AC，△ABC 是等腰三角形.
又∵∠ACB = 60°，
∴△ABC 是等边三角形，AB = BC = CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
A
B
C
O
方法总结：弧、圆心角、弦之间等量关系的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝.
【变式题】如图，在☉O 中， = ，∠ACB = 60°，
求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC.
证明：∵ = ，
如图，AB 是☉O 的直径， ∠COD =
35°，求∠AOE 的度数．
解：
∵
练一练
·
A
O
B
C
D
E
∴
∴
例2 已知：如图，点 O 是∠FAD 平分线上的一点，☉O 分别交∠FAD 的两边于点 C，D 和点 E，F.
求证：CD = EF.
O
A
D
E
F
C
证明：过点 O 作 OK⊥CD，OH⊥EF，
垂足分别为 K，H，如图.
H
K
∵ 点 O 在∠FAD 的平分线上，
∴ CD = EF.
∴ OK = OH（角平分线的性质）.
例3 如图，AB，CD 是☉O 的两条直径，CE 为☉O 的弦，且 CE∥AB，弧 CE 为 40°，求∠BOD 的度数.
O
C
E
A
B
D
解：连接 OE，如图.
∵ 弧 CE 为 40°，
∴∠COE = 40°.
∵ CE∥AB，
∴∠BOD =∠C = 70°.
1星题 基础练
圆的旋转对称性与圆心角
1.下列图形中，不是旋转对称图形的是( )
C
A. B. C. D.
2.[2024·合肥月考] 下图中 是圆心角的是( )
B
A. B. C. D.
（第3题）
3.[2024·安庆期中] 如图，在半径为的
中,弦的长度为，则 的度数为
( )
B
A. B. C. D.
圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
4.［知识初练］如图，已知，是 的两条弦，
于点，于点 .
（第4题）
（1），____，
____， ____；
（2）， ____，________
， ____.
5.[2024·池州模拟改编] 下列说法中正确的是( )
A
A.等弧所对的弦相等
B.相等的弦所对的弧相等
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.相等的圆心角所对的弦相等
（第6题）
6.如图，，为的弦， 于点
，于点，，若 ，
则 ___.
3
（第7题）
7. 如图，在中，是
的直径，， ，
则 的度数为______________________
_______________________________.
解题关键：在同圆或等圆中，弧相等 圆心角相等.
弧的度数
（第8题）
8.[2024·阜阳模拟] 如图，,是 的直
径，弦，若 ，则 的度
数是_____.
（第9题）
9.如图，过五边形 的四个顶点.
若劣弧所对圆心角的度数为 ，
， ，则 所对圆心角
的度数为_____.
2星题 中档练
10.如图，点是 所在圆的圆心.已知点
、将 三等分，那么下列结论不正确的
是( )
B
A. B.
C. D.
（第11题）
11.[2024·滁州模拟改编] 如图，已知和
是的两条等弦，， ，垂
足分别为点，，，的延长线交于点 ，
连接.下列四个说法： ；
D
A.1 B.2 C.3 D.4
；； . 其中正确的个
数是( )
（第12题）
12. 如图，点是 的
八等分点．若，四边形 的周
长分别为， ，则下列结论正确的是( )
A
A. B.
C. D., 大小无法比较
13.如图，的半径是8，是的直径，为 上一动
点，，则 的最小值为____.
16
点击跳转几何画板
圆心角
弦、弧、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中
概念：顶点在圆心的角
应用提醒：
①要注意前提条件；
②要灵活转化
圆心角
相等
弦
相等
弦心距
相等
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086
24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距间关系
第24章 圆
2024沪科版数学九年级下册【公开课精做课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
买合苏迪古丽·买买提
托克逊县第二中学
15909954880
幻灯片 1：封面
课程名称：24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系
学科：数学
年级：九年级
教师姓名：[您的姓名]
幻灯片 2：教学目标
理解圆心角和弦心距的概念，能准确识别圆心角。
掌握在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的等量关系。
能运用这些关系解决与圆相关的证明和计算问题，体会数形结合思想。
幻灯片 3：教学重难点
重点：同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
难点：理解这些关系的推导过程，灵活运用关系解决复杂问题。
幻灯片 4：情境导入
复习回顾：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
圆的轴对称性：任何一条直径所在直线都是对称轴。
情境问题：
如图，在⊙O 中，转动圆心角∠AOB，观察弧 AB 的长度、弦 AB 的长度以及圆心到弦 AB 的距离（弦心距）会发生什么变化？它们之间有什么联系？
（插入动态图形，展示圆心角变化时弧、弦、弦心距的变化）
引入新课：今天我们将探究圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
幻灯片 5：圆心角和弦心距的概念
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
例如：如图，∠AOB 的顶点 O 是⊙O 的圆心，∠AOB 是⊙O 的一个圆心角，它所对的弧是 AB，所对的弦是 AB。
（插入图形，标注圆心角∠AOB、弧 AB、弦 AB）
弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。
例如：如图，OE⊥AB 于 E，OE 的长度就是弦 AB 的弦心距。
（插入图形，标注弦心距 OE 及垂直关系）
注意：一个圆心角对应一条弧、一条弦和一条弦心距。
幻灯片 6：探究同圆中圆心角与弧的关系
操作实验：
在⊙O 中，画两个相等的圆心角∠AOB 和∠COD，使∠AOB=∠COD。
将∠AOB 绕圆心 O 旋转，观察能否与∠COD 重合，以及 AB 与 CD 是否重合。
观察发现：
当∠AOB=∠COD 时， AB 与 CD 重合，即 AB= CD。
反之，若 AB= CD，则∠AOB=∠COD。
结论：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；相等的弧所对的圆心角相等。
（插入图形，标注相等的圆心角和重合的弧）
幻灯片 7：探究同圆中圆心角与弦、弦心距的关系
操作实验：
在⊙O 中，∠AOB=∠COD，作 OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F。
测量 AB 与 CD 的长度，OE 与 OF 的长度。
观察发现：
AB=CD（相等的圆心角所对的弦相等）。
OE=OF（相等的圆心角所对弦的弦心距相等）。
反之，若 AB=CD 或 OE=OF，则∠AOB=∠COD， AB= CD。
结论：在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对弦的弦心距相等；相等的弦或相等的弦心距所对的圆心角相等，所对的弧相等。
（插入图形，标注相等的弦、弦心距）
幻灯片 8：等圆中的关系拓展
操作实验：
取两个半径相等的圆（等圆）⊙O 和⊙O'，在⊙O 中画∠AOB，在⊙O' 中画∠A'O'B'，使∠AOB=∠A'O'B'。
观察 AB 与 A'B'、AB 与 A'B'、对应的弦心距是否相等。
结论：在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等；反之亦然。
综合总结：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。反过来，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等；相等的弦或相等的弦心距所对的圆心角相等，所对的弧相等。
幻灯片 9：关系的符号表述
在同圆或等圆中，若∠AOB=∠COD，则：
AB= CD（圆心角相等→弧相等）。
AB=CD（圆心角相等→弦相等）。
OE=OF（圆心角相等→弦心距相等，OE、OF 分别为 AB、CD 的弦心距）。
反之，若 AB= CD（或 AB=CD 或 OE=OF），则：
∠AOB=∠COD。
（插入图形，标注各等量关系）
幻灯片 10：例题解析 —— 证明问题
例 1：如图，在⊙O 中， AB= AC，∠B=70°，求∠C 的度数。
解：∵ AB= AC，∴AB=AC（等弧所对的弦相等），∠B=∠C（等边对等角）。
∵∠B=70°，∴∠C=70°。
（插入图形，标注等弧和角）
例 2：如图，在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，且 OE=OF，求证：AB=CD。
证明：∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴OE、OF 分别是 AB、CD 的弦心距。
∵OE=OF，∴AB=CD（在同圆中，相等的弦心距所对的弦相等）。
（插入图形，标注弦心距和垂线）
幻灯片 11：例题解析 —— 计算问题
例 3：如图，在⊙O 中，AB 是直径， AC= CD= DB，求∠COA、∠COD、∠DOB 的度数。
解：∵AB 是直径，∴ AB 是半圆，度数为 180°。
∵ AC= CD= DB，∴∠COA=∠COD=∠DOB（等弧所对的圆心角相等）。
∴∠COA=∠COD=∠DOB=180°÷3=60°。
（插入图形，标注直径和等弧）
例 4：如图，在⊙O 中，弦 AB=CD，AB 的弦心距 OE=3cm，求 CD 的弦心距 OF 的长度。
解：∵AB=CD，∴AB 和 CD 的弦心距相等（在同圆中，相等的弦所对的弦心距相等）。
∵OE 是 AB 的弦心距，OF 是 CD 的弦心距，OE=3cm，∴OF=OE=3cm。
（插入图形，标注弦和弦心距）
幻灯片 12：易错点警示
易错点 1：忽略 “同圆或等圆” 的前提条件。
例如：认为任意两个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，纠正：只有在同圆或等圆中，这些关系才成立。
易错点 2：混淆弧的度数与长度的关系。
例如：认为弧长相等则对应的圆心角相等，纠正：在不同圆中，弧长相等但半径不同时，圆心角不相等，应强调弧的度数相等。
易错点 3：对 “所对” 的概念理解不清。
例如：认为圆心角所对的弦是任意弦，纠正：圆心角所对的弦是指两个端点在圆心角两边与圆交点的弦。
幻灯片 13：课堂练习
练习 1：在⊙O 中，若圆心角∠AOB=60°，则它所对的弧 AB 的度数是______°。
答案：60
练习 2：如图，在⊙O 中， AB= CD，∠AOB=50°，则∠COD=______°，AB______CD（填 “＞”“＜” 或 “=”）。
（插入图形，答案：50，=）
练习 3：在同圆中，若弦 AB 的弦心距等于弦 CD 的弦心距，则下列说法错误的是（ ）
A. AB=CD B. AB= CD C. ∠AOB=∠COD D. AB⊥CD
答案：D
幻灯片 14：生活中的应用
实例 1：钟表的表盘是圆形，时针和分针转动形成的圆心角对应不同的时间，圆心角的度数与时针、分针所对的弧长成比例。
实例 2：圆形花坛的分区设计，将圆等分为若干扇形区域，每个区域对应的圆心角相等，所对的弧长和弦长也相等，保证设计对称美观。
实例 3：机械传动中的齿轮，齿轮上的齿对应圆上的弦，相等的弦长对应相等的圆心角，确保齿轮啮合传动平稳。
幻灯片 15：课堂小结
基本概念：圆心角（顶点在圆心的角）、弦心距（圆心到弦的距离）。
核心关系：在同圆或等圆中：
相等的圆心角 相等的弧 相等的弦 相等的弦心距。
相等的弧（或弦、弦心距） 相等的圆心角。
应用思路：利用这些等量关系进行角、弦、弧长的转化，解决证明和计算问题。
幻灯片 16：作业布置
教材第 [X] 页习题 24.2 第 8、9、10 题。
如图，在⊙O 中，AB、CD 是两条直径，弦 CE∥AB，求证： AC= AE。
设计一个圆形图案，将圆等分为 6 个扇形，说明每个扇形的圆心角、所对弧长和弦长的关系。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
考试考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境引入
飞镖靶、闹钟以及被均分的蛋糕等圆形中，都存在着角，那么这些角有什么共同的特征呢？
圆的对称性
观察与思考
把圆绕圆心旋转任意一个角度，仍与原来的圆重合吗？
α
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，旋转中心为圆心.
·
O
圆心角
概念学习
O
A
B
M
1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如∠AOB .
3. 圆心角∠AOB 所对的弦为 AB.
2. 圆心角∠AOB 所对的弧为 .
判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
不是
不是
不是
是
练一练
圆心角、弧、弦、弦心距间关系
·
O
A
B
C
D
由圆的旋转对称性，我们发现：
在☉O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么 ，AB = CD，OE = OF.
（证明过程见课本）
E
F
观察与思考
在☉O 中，如果∠AOB= ∠COD，那么 与 ，弦 AB 与弦 CD，垂线段 OE 与 OF 有怎样的数量关系？
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．
①∠AOB =∠COD
③ AB = CD
A
B
O
D
C
要点归纳
弧、弦与圆心角的关系定理
E
F
④ OE = OF
②
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
·
O
A
B
C
D
E
F
在☉O 中，如果 = ，那么圆心角∠AOB 与
∠COD，AB 与 CD，OE 与 OF 有怎样的数量关系？
在☉O 中，如果 AB = CD，那么圆心角∠AOB 与 ∠COD， 与 ，OE 与 OF 有怎样的数量关系？
在☉O 中，如果 OE = OF，那么圆心角∠AOB 与 ∠COD，AB 与 CD， 与 有怎样的
数量关系？
在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论
要点归纳
圆心角
相等
弦
相等
弦心距
相等
(3) 圆心角相等，所对的弦相等. （ ）
(2) 等弧所对的弦相等. （ ）
(1) 等弦所对的弧相等. （ ）
×
×
√
练一练
判断正误：
典例精析
例1 如图，等边三角形 ABC 的三个顶点都在☉O 上.
求证：∠AOB =∠BOC =∠COA = 120°.
A
B
C
O
证明：连接 OA，OB，OC，如图.
∵ AB = BC = CA，
∴∠AOB =∠BOC =∠COA
弧、弦与圆心角关系定理及推论的运用
∴ AB = AC，△ABC 是等腰三角形.
又∵∠ACB = 60°，
∴△ABC 是等边三角形，AB = BC = CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
A
B
C
O
方法总结：弧、圆心角、弦之间等量关系的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝.
【变式题】如图，在☉O 中， = ，∠ACB = 60°，
求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC.
证明：∵ = ，
如图，AB 是☉O 的直径， ∠COD =
35°，求∠AOE 的度数．
解：
∵
练一练
·
A
O
B
C
D
E
∴
∴
例2 已知：如图，点 O 是∠FAD 平分线上的一点，☉O 分别交∠FAD 的两边于点 C，D 和点 E，F.
求证：CD = EF.
O
A
D
E
F
C
证明：过点 O 作 OK⊥CD，OH⊥EF，
垂足分别为 K，H，如图.
H
K
∵ 点 O 在∠FAD 的平分线上，
∴ CD = EF.
∴ OK = OH（角平分线的性质）.
例3 如图，AB，CD 是☉O 的两条直径，CE 为☉O 的弦，且 CE∥AB，弧 CE 为 40°，求∠BOD 的度数.
O
C
E
A
B
D
解：连接 OE，如图.
∵ 弧 CE 为 40°，
∴∠COE = 40°.
∵ CE∥AB，
∴∠BOD =∠C = 70°.
1星题 基础练
圆的旋转对称性与圆心角
1.下列图形中，不是旋转对称图形的是( )
C
A. B. C. D.
2.[2024·合肥月考] 下图中 是圆心角的是( )
B
A. B. C. D.
（第3题）
3.[2024·安庆期中] 如图，在半径为的
中,弦的长度为，则 的度数为
( )
B
A. B. C. D.
圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
4.［知识初练］如图，已知，是 的两条弦，
于点，于点 .
（第4题）
（1），____，
____， ____；
（2）， ____，________
， ____.
5.[2024·池州模拟改编] 下列说法中正确的是( )
A
A.等弧所对的弦相等
B.相等的弦所对的弧相等
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.相等的圆心角所对的弦相等
（第6题）
6.如图，，为的弦， 于点
，于点，，若 ，
则 ___.
3
（第7题）
7. 如图，在中，是
的直径，， ，
则 的度数为______________________
_______________________________.
解题关键：在同圆或等圆中，弧相等 圆心角相等.
弧的度数
（第8题）
8.[2024·阜阳模拟] 如图，,是 的直
径，弦，若 ，则 的度
数是_____.
（第9题）
9.如图，过五边形 的四个顶点.
若劣弧所对圆心角的度数为 ，
， ，则 所对圆心角
的度数为_____.
2星题 中档练
10.如图，点是 所在圆的圆心.已知点
、将 三等分，那么下列结论不正确的
是( )
B
A. B.
C. D.
（第11题）
11.[2024·滁州模拟改编] 如图，已知和
是的两条等弦，， ，垂
足分别为点，，，的延长线交于点 ，
连接.下列四个说法： ；
D
A.1 B.2 C.3 D.4
；； . 其中正确的个
数是( )
（第12题）
12. 如图，点是 的
八等分点．若，四边形 的周
长分别为， ，则下列结论正确的是( )
A
A. B.
C. D., 大小无法比较
13.如图，的半径是8，是的直径，为 上一动
点，，则 的最小值为____.
16
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圆心角
弦、弧、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中
概念：顶点在圆心的角
应用提醒：
①要注意前提条件；
②要灵活转化
圆心角
相等
弦
相等
弦心距
相等
谢谢观看！
阿木提江·塔西吐木尔
托克逊县第一中学
13899326086