哥尼斯堡七桥问题
18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。
于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。
欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。
四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”,用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”
四色猜想的等价命题
平面内至多可以有四个点构成每两个点两两连通且连线不相交。
可用符号表示：K（n)，n=<4。
课件16张PPT。2.1合情推理与演绎推理从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理（inference)
任何推理都包含前提和结论两个部分1前提 当n＝0时,n2-n+11=11
当n＝1时,n2-n+11=11
当n＝2时,n2-n+11=13
当n＝3时,n2-n+11=17
当n＝4时,n2-n+11=23
当n＝5时,n2-n+11=31
结论 对于所有的自然数n，n2-n+11的值都是质数2前提 矩形的对角线的平方和等于长和宽的平方和
结论 长方体的对角线的平方和等于长、宽、高的平方和3前提 所有的树都是植物
结论 梧桐是植物上述几个案例中的推理各有什么特点 歌德巴赫猜想:
“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇奇数之和”偶数＝奇质数＋奇质数4＝2＋2
6＝3+3，
8＝3+5，
10＝5+5，
12＝5+7，
14＝7+7，
16＝5+11,
18 =7+11,
…， 1966年，我国数学家陈景润证明了“每一个充分大的偶数都能够表示为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”（简称“1＋2”）这一结论十分接近歌德巴赫的解，被国际上称为“陈氏定理”费马猜想四色猜想哥德斯堡七桥猜想(1) 蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物，所以___(2)三角形的内角和是180°,凸四边形的内角和是360°,凸五边形的内角是540°, …
由此我们猜想_______这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称;归纳)归纳推理的思维过程：例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.46455659846455659866861281261046455659866861281261077916910151015F+V-E=2猜想欧拉公式例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测;把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?解;设an表示移动n块金属片时的移动次数.当n=1时,a1=1当n=2时,a2=3123当n=1时,a1=1当n=2时,a2=3解;设an表示移动n块金属片时的移动次数.当n=3时,a3=7当n=4时,a4=15猜想 an=2n -1123小结：
1、归纳推理定义
2、利用归纳推理发现新事实，获得新结论
预习下一节：类比推理費馬猜想
1979年美國大數學家大衛?曼福特宣布：在很大很大的整數範圍內“費馬大定理”都是正確的假如存在著使這個定理不能成立的整數那麼這個整數一定非常大而且非常少。
什麼是“費馬大定理”呢？“費馬大定理”其實還不是一個定理，只能稱為猜想，稱為費馬猜想﹝Fermat's conjecture﹞或費馬問題，是數論中最著名的世界難題之一。他是法國著名數學家費馬所提出來的。
費馬是個律師，擔任過議會顧問，是一個著名的業餘數學家。他憑藉深刻的洞察能力和豐富的想像能力，提出了一系列重要的數學猜想和數學方法，為數學發展做出了傑出的貢獻。
費馬自己不喜歡寫書，但喜歡在別人的著作上提問題、談心得。1637年，法國數學家費馬在巴歇校訂的希臘數學家丟番圖的《算術》第II卷第8命題旁邊寫道：「將一個立方數分為兩個立方數，一個四次冪分為兩個四次冪，或者一般地將一個高於二次的冪分為兩個同次的冪，這是不可能的。關於此，我確信已發現一種美妙的証法，可惜這裏空白的地方太小，寫不下。」費馬去世後，人們找不到這個猜想的証明，由此激發起許多數學家的興趣。歐拉、勒讓德、高斯、阿貝爾、狄利克雷、柯西等大數學家都試証過，但誰也沒有得到普遍的証法。300多年以來，無數優秀學者為証明這個猜想，付出了巨大精力，同時亦產生出不少重要的數學概念及分支。 ?
???????對於xn + y n = z n 這樣的方程，當n=2時，它是有非零的整數解。例如x=3,y=4,z=5?或x=5,y=12,z=13（所有的勾股數都滿足）…….皆為x2+y2=z2的解。但是，如果n=3 ，方程x3+y3=z3就沒有非零的整數解；如果n=4 ，方程x4+y4=z4也沒有非零的整數解……… 若用不定方程來表示，?
??????? n = 4的情形已由萊布尼茨和歐拉解決。費馬本人証明了n = 3的情形，但証明不完全。勒讓德﹝1823﹞和狄利克雷﹝1825﹞証明了n = 5的情形。1839年，拉梅証明了n = 7的情形。1847年，德國數學家庫默爾對費馬猜想作出了突破性的工作。他創立了理想數論，這使得他証明了當n < 100時，除了n = 37，59，67這三個數以外，費馬猜想都成立。後來他又進行深入研究，証明了對於上述三個數費馬猜想也成立。在近代數學家中，范迪維爾對費馬猜想作出重要貢獻。他從本世紀20年代開始研究費馬猜想，首先發現並改正了庫默爾証明中的缺陷。在以後的30餘年內，他進行了大量的工作，得到了使費馬猜想成立一些充分條件。他和另外兩位數學家共同証明了當n < 4002時費馬猜想成立。 ?
??????? 現代數學家還利用大型電子計算機來探索費馬猜想，使n 的數目有很大的推進。到1977年為止，瓦格斯塔夫証明了n < 125000時，費馬猜想成立。《中國數學會通訊》1987年第2期據國外消息報導，費馬猜想近年來取得了驚人的研究成果：格朗維爾和希思─布龍証明了「對幾乎所有的指數，費馬大定理成立」。?
??????? 經過三百多年來歷代數學家的不斷努力，劍橋大學懷爾斯終於1995年正式徹底解決這一大難題。有興趣的讀者可參考本網頁資源中心﹝講義﹞一欄內「費馬最後定理」之資料。
