2025-2026学年数学九年级上册期中测试试题（湘教版）提升三（含解析）

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2025-2026学年数学九年级上册期中测试试题（湘教版）
提升三（含解析）
一、单选题
1．若反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
2．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，加压后气体对气缸壁所产生的压强与气缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示．当压强（ ）时，气体体积压缩了．
A．加到 B．加到
C．加到 D．加到
3．下列为一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知两点在双曲线上，且，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
6．数，0，1，3中，是一元二次方程的解的是（ ）
A． B．0 C．1 D．3
7．若，则的值为（ ）
A．2或 B．或6 C．6 D．2
8．如图，在中，，，，将绕点B旋转到的位置，此时C，B，在同一直线上，则点A经过的最短路径长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，点为上一点，连结，作的平分线交于点，连结交BE于点．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
11．为了预防“流感”，某学校对教室采取“药熏”消毒内每立方米的含药量（毫克）与时间（分）成正比例；药物燃烧结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．说法错误的是（ ）
A．第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小
B．第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米
C．第50分钟时，教室内含药量为0毫克
D．教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为12分钟
12．如图，四边形是边长为2的正方形，点P为线段上的动点，E为的中点，射线交的延长线于点Q，过点E作的垂线交于点H、交的延长线于点F，则以下结论：①；②；③当点F与点C重合时；④当时，；⑤当点P和点B重合时，，成立的个数是（ ）；
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
13．如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点．当时，的取值范围是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，与是以点C为位似中心的位似图形，则其相似比为 ．
15．如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于A、B两点．已知点A的坐标为，点C为x轴上任意一点．如果，那么点C的坐标为 ．
16．设是方程的两个根，且，则的值为 ．
三、解答题
17．用公式法解方程：．
18．解下列方程：
(1)； (2)．
19．为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间（分钟）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息，解答下列问题：

求药物燃烧后y与x之间的函数关系式；
(2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以返回教室？
20．（1）计算：； （2）化简：．
21．解下列方程
(1)； (2)．
22．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线长为5，周长为14．已知反比例函数的图象经过矩形顶点A．
求反比例函数的表达式；
若点、在反比例函数的图象上，试比较与的大小；
(3)若一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，请直接写出成立时，对应x的取值范围．
23．某商店经销成本为每千克50元的水产品．根据市场分析，若按每千克60元销售，一个月能销售出，销售单价每涨1元，月销售量就减少．针对这种水产品的销售情况，该商店如果想在月进货成本不超过15000元的情况下，使月销售利润达到8000元，那么销售单价应定为多少元？
《2025-2026学年数学九年级上册期中测试试题（湘教版）提升三（含解析）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A D C C D D C B
题号 11 12
答案 C C
1．D
【分析】本题考查了比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
根据反比例函数图象上点的坐标的关系，应该满足函数解析式把各个点代入检验即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴点不在反比例函数图象上，
∵，
∴反比例函数的图象一定经过点，
故选：D ．
2．C
【分析】本题考查了反比例函数的应用；由函数图象可求出反比例函数的解析式，再分别计算出给定不同压强时的体积，即可确定气体体积的变化．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
有图象可知，反比例函数图象过点，
则，
，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当压强由加到，体积由减少到，
则体积压缩了；
当压强由加到，体积由减少到，
则体积压缩了；
当压强由加到，体积由减少到，
则体积压缩了；
当压强由加到，体积由减少到，
则体积压缩了；
故选C．
3．A
【分析】此题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，根据定义依次判断．
【详解】解：A. 符合定义，符合题意；
B. 含有两个未知数不符合定义，不符合题意；
C. 未知数的最高次数是3不符合定义，不符合题意；
D. 含有分式不符合定义，不符合题意；
故选：A．
4．D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，两点分别代入双曲线，求出与的表达式，再根据则列不等式即可解答．
【详解】解：将两点分别代入双曲线得，
，，
∵，
∴
解得，
故选：D．
5．C
【分析】本题主要考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键．
根据一元二次方程的定义(只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程)解决此题．
【详解】解：A．是一元一次方程，故A不符合题意．
B．是二元一次方程，故B不符合题意．
C．根据一元二次方程的定义，符合一元二次方程的定义，故C符合题意．
D．是分式方程，故D不符合题意．
故选：C．
6．C
【分析】先采用因式分解法解一元二次方程，求出一元二次方程的解从而即可得到答案．
【详解】解：，
，
或，
解得：，，
数，0，1，3中，是一元二次方程的解的是1，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，选择合适的方法是解此题的关键．
7．D
【分析】本题考查解一元二次方程，利用换元法解方程即可．
【详解】解：令，则：，
原等式可化为：，
整理，得：，
解得：，
∵，
∴，即：；
故选：D．
8．D
【分析】根据三角形的内角和定理和锐角三角函数，得出，，再根据旋转的性质，结合角之间的数量关系，得出，再根据弧长公式计算，即可得出答案．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，，
∴，
又∵将绕点B旋转到的位置，此时C，B，在同一直线上，
∴，
∴点A经过的最短路径长为：．
故选：D
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、锐角三角函数、旋转的性质、弧长公式，解本题的关键在熟练掌握弧长公式．
9．C
【分析】延长，交的延长线于，延长，交的延长线于，由四边形是矩形，得，，，则，又平分可证，设，则，由勾股定理得，则，，再证明，，最后由相似三角形的性质即可求解．
【详解】如图，如图所示，延长，交的延长线于，延长，交的延长线于，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
由勾股定理得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等角对等边，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意；
、方程是一元二次方程，该选项符合题意；
、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意；
、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意；
故选：．
11．C
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图像获得所需信息是解题关键．根据图像可知，第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小，即可判断选项A；利用待定系数法解得当时和时，关于的函数解析式，再将代入并求值，即可确定第12分钟时，教室内的含药量，即可判断选项B；将代入并求值，可知第50分钟时，教室内含药量为毫克/立方米，即可判断选项C；若，分别求得和阶段的值，可求得教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间，即可判断选项D．
【详解】解：根据图像可知，第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小，
故选项A正确，不符合题意；
当时，设直线解析式为，
将点代入，可得，解得，
所以此阶段关于的函数解析式为，
当时，设此阶段关于的函数解析式为，
将点代入，可得，解得，
所以此阶段关于的函数解析式为，
故当时，可有（毫克/立方米），
即第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米，故选项B正确，不符合题意；
当时，可有（毫克/立方米），
即第50分钟时，教室内含药量为毫克/立方米，故选项C错误，符合题意；
当时，若，可得，解得（分钟），
当时，若，可得，解得（分钟），
则教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为分钟，故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
12．C
【分析】根据正方形的性质得到，则，再由垂线的定义和平角的定义得到，则，再由，即可证明，则，故①正确；根据，，可判断②；证明，得到，再证明，设，则，则，，由勾股定理得，解得：，则，故③正确；求出，得到，证明是等腰直角三角形，得到，，则，，同理可得，利用勾股定理，则，故④正确；同理可证明，得到，则；证明，求出，，再证明，求出，则，故⑤错误；
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴；
故①正确；
∵，，
∴，故②正确；
当点F与点C重合时，如图2，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴，
∴，故③正确；
如图3所示，
∵，即P是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
同理可得，
∴，
∴，故④正确；
当点P与点B重合时，
同理可证明，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故⑤错误；
∴正确的有4个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，根据题意画出对应的示意图是解题的关键．
13．
【分析】先把点坐标代入中求出得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定点坐标，然后结合函数图像，写出反比例函数图像在一次函数图像下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵，在反比例函数的图像上，
∴，
解得：，
∴反比例函数解析式为，
当时，，即，
∴，
∴当时，的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．掌握利用图像法解不等式是解题的关键．
14．
【分析】由已知可得，利用勾股定理解得的长即可解题．
【详解】解：∵与是以点C为位似中心的位似图形，
∴，
相似比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质、勾股定理的应用，掌握相关知识是解题关键．
15．或
【分析】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点的坐标是解题的关键．
反比例函数的图象过点，可得，进而求得直线的解析式为，得出点的坐标，设，根据，解方程即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
设，
∵，
解得：或，
∴的坐标为或，
故答案为：或．
16．
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
则，，
∴
故答案为：．
17．，
【分析】先求出的值，再代入公式求出方程的解即可．
【详解】解：这里，，，
∵
，
∴，
解得：，．
【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是能熟记公式．
18．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算．
（1）用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
因式分解得：，
∴，，
解得：，．
（2）解：，
移项得：，
因式分解得：，
∴，，
解得：，．
19．(1)
(2)
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）把代入反比例函数解析式，求出x的值即可．
【详解】（1）解：设，
∵函数图象经过点，
∴，
∴，
∴．
（2）解：令，则，
∴，
∴后学生才能回教室．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求出反比例函数解析式．
20．（）；（）．
【分析】（）首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂和化简绝对值，然后计算加减；
（）首先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，然后计算加减即可．
【详解】解：（）原式
；
（）原式
．
【点睛】此题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则．
21．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）用配方法解一元二次方程；
（2）用因式分解法解一元二次方程．
【详解】（1）解：，
，
或，
，；
（2）解：
或
，．
22．(1)
(2)当时，；当时，；当时，；当时，；当时，
(3)或
【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象与性质，反比例函数图象与性质，利用函数图象求不等式的解集．
（1）根据已知条件求出矩形的边长，得A点坐标，再用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）根据反比例函数的性质比较与的大小；
（3）利用反比例函数的解析式求得交点坐标，便可根据函数图象的位置关系求得不等式的解集．
【详解】（1）解：根据题意得：，，
，
，
把代入反比例函数中，得，
反比例函数为：；
（2）点和在反比例函数的图象上，
，
，且
当时，，，
则点和分别在第一象限和第三象限的反比例函数的图象上，于是有；
当时，，，若，即时，，
若，即时，，若，即时，；
当时，，，
则点和分别在第三象限和第一象限的反比例函数的图象上，于是有；
综上，当时，；
当时，；当时，；当时，；
当时，．
（3）把、代入求得，，，
一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点和，
当一次函数的图象不在反比例函数的图象上方时，或，
成立时，对应的取值范围：或．
23．销售单价应为90元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先理解题意，得出水产品不超过，设定价为元，再结合题意进行列式，故得，，再进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，水产品不超过，
设定价为元，
则，
解得，．
当时，进货，不符合题意，舍去，
当时，进货，符合题意．
答：在月进货成本不超过15000元的情况下，月销售利润达到8000元，销售单价应为90元．
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