2025-2026学年上海市普陀区九年级（上）期中数学试卷(含答案)

2025-2026学年上海市普陀区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，那么tanA的值是（　　）
A. B. C. D.
2.如果点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在反比例函数的图象上，那么（　　）
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3 C. y3＞y1＞y2 D. y3＞y2＞y1
3.如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使△ADE与△ABC相似，那么这个条件是（　　）
A. ∠AED=∠B
B. ∠ADE=∠C
C. =
D. =
4.如果+=，-=3，且≠，下列结论正确的是（　　）
A. ||=|| B. +2=0 C. 与方向相同 D. 与方向相反
5.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+b2与二次函数y=x2-a的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
6.如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别联结DE、EF、DF、AE，点O是AE与DF的交点，下列结论中，正确的个数是（　　）
①△DEF的周长是△ABC周长的一半；
②AE与DF互相平分；
③如果∠BAC=90°，那么点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等；
④如果AB=AC，那么点O到四边形ADEF四条边的距离相等．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.已知线段AB=4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么线段BP= 厘米.
8.两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为 .
9.如果函数y=x2-m的图象向左平移2个单位后经过原点，那么m= ______．
10.如果抛物线y=（x-m）2+m+1的对称轴是直线x=1，那么它的顶点坐标为______．
11.已知点A（-4，m）在反比例函数的图象上，点A关于y轴的对称点A1恰好在直线上，那么k的值为 .
12.如图，某水库水坝的坝高为24米，如果迎水坡AB的坡度为1：0.75，那么该水库迎水坡AB的长度为______米.
13.如图，AG∥BC，如果AF：FB=3：5，BC：CD=3：2，那么AE：EC=______．

14.如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，且AD：DB=3：4，DE∥AC交BC于点E，那么S△BDE：S△AEC的值为 .
15.如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC=6厘米，长CD=16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是______厘米．
16.如图，已知 ABCD的对角线交于点O，点E为边AD的中点，CE交BD于点G，设，，用a、b表示= .
17.对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”.
问题：如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，且△ABC的面积为m.如果△ABC存在“最优覆盖菱形”为菱形BCMN，那么m的取值范围______.
18.如图，四个白色全等直角三角形与四个黑色全等三角形按如图所示方式摆放成“风车”型，且黑色三角形的顶点E、F、G、H分别在白色直角三角形的斜边上，已知∠ABO=90°，OB=3，AB=4，若点A、E、D在同一直线上，则OE的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
19.计算：4sin45°+cos230°-．
四、解答题：本题共6小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+1与双曲线y=（k是常数，且k≠0）交于点A（6，m）.
（1）求k与m的值；
（2）直线y=-x+1与x轴交于点B，过点B作y轴的平行线，交双曲线y=于点C，求△ABC的面积.
21.(本小题10分)
如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E=∠BAC.
（1）求sin∠ABE的值；
（2）求点E到直线BC的距离.
22.(本小题10分)
如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点D处，AD与底板BR平行，测得AD=11.6米，此时在点D处又测得坡道AB上的点C的俯角为26.6°.接着让无人机飞到点E处，DE⊥AD，CE与底板BR平行，测得DE=1.8米.
（1）求坡道AB的坡度；
（2）已知地面QA、地下车库的顶板FG都与底板BR平行且它们到底板BR的距离相等，无人机从点A飞到点P处，AP⊥AD，测得AP=16.4米，此时在点P处测得点F的俯角为45°，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由.
（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.5）
23.(本小题12分)
已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，射线EF交AD的延长线于点G.
（1）求证：CE=CF；
（2）如果FG2=AG DG，求证：.
24.(本小题12分)
如图，反比例函数图象经过A（-2，5）和点B（-5，p），平行四边形ABCD的顶点C、D分别在y轴的负半轴、x轴的正半轴上，对角线AC、BD交于点F，二次函数的图象经过点A、C、D.
（1）求点B、C、D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）如果点E在第四象限的二次函数图象上，且∠DCE=∠BDO，求点E的坐标.
25.(本小题14分)
如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB=∠DAB=90°，AB2=BC BD，AB=3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，连接DF．
（1）求证：AE=AC；
（2）设BC=x，=y，求y关于x的函数关系式及其定义域；
（3）当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】（）
8.【答案】6
9.【答案】4
10.【答案】（1，2）
11.【答案】-8
12.【答案】30
13.【答案】3：2
14.【答案】16：21
15.【答案】9.6
16.【答案】-
17.【答案】4≤m≤8
18.【答案】
19.【答案】解：原式=4×+（）2-
=2+-2（+）
=．
20.【答案】k=-12，m=-2； 12．
21.【答案】解：（1）过D作DF⊥AB于F，如图：
∵∠C=90°，AB=4，BC=2，
∴AC==2，sin∠BAC=，
∴∠BAC=30°，
∵点D是AC的中点，
∴AD=CD=，
∴BD==，
Rt△ADF中，DF=AD sin∠BAC=，
Rt△BDF中，sin∠ABE==；
（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G，如图：
∵∠ADH=∠BDC，∠BCD=∠AHD=90°，
∴△BCD∽△AHD，
∴，
∵BC=2，CD=AD=，BD=，
∴，解得AH=，HD=，
∵∠AEB=∠BAC=30°，
∴HE==，
∴BE=BD+DH+HE=，
∵EG∥AC，
∴∠BDC=∠BEG，
而∠CBD=∠GBE，
∴△CBD∽△GBE，
∴，即，
∴EG=．
22.【答案】解：（1）作CH⊥AD，则CH=DE=1.8m,，
∴DH=3.6m,
∴AH=11.6-3.6=8m,
∴tan∠CAH=，
∴坡道AB的坡度为；
（2）∵AP=16.4m,∠PAF=90°，∠APF=45°，
∴AF=16.4m,
作FI⊥AB，
∵tan∠CAH=，
∴sin∠CAH=，
∴FI=AF，
∴货车可以进入该车库．
23.【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠ADF，AB=AD，BC=DC，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE=DF，
∴BC-BE=DC-DF，
∴CE=CF；
（2）∵FG2=AG DG，
∴，
∵∠DGF=∠FGA，
∴△DGF∽△FGA，
∴∠GFD=∠GAF，
由（1）知：△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠AFD=90°，
∴∠GAF+∠ADF=90°，∠AFE+∠GFD=90°，
∴∠ADF=∠AFE，
∴∠ADF=∠AEF，
∵tan∠ADF=，tan∠AEF=，
∴=，
∴，
即．
24.【答案】B（-5，2），C（0，-3）、D（3，0）；
次函数的解析式为y=x2-2x-3；

25.【答案】解：（1）证明：∵AB2=BC BD，
∴，
∴=，
∴=，
∵∠ACB=∠DAB=90°，
∴ =，
∴，
∵∠C=∠BAD=90°，
∴△ABC∽△DBA，
∴∠ADB=∠BAC，
∵∠BAD=90°，
∴∠ADB+∠ABD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠ABD=90°，
∴∠BAE=∠ADB，
∴∠BAE=∠BAC，
∵∠AEB=∠C=90°，AB=AB
∴△BAE△BAC（AAS），
∴AE=AC；
（2）如图1，
作AG∥BE交BC的延长线于点G，作GH⊥AB交AB于点H，
∴△FBE∽△FGA，∠ABE=∠BAG，
∴，
由（1）△BAE△BAC（AAS）得，∠EAB=∠BAC，BC=BE，∠ABE=∠ABC，
∴∠ABC=∠BAG，
∴AG=BG，
∴△BAG是等腰三角形，
∴BH=AH=AB=，
∵cos∠ABC=，
∴，
∴BG=，
∴AG=，
∴，
∴，
∴，
∴=，
∴y=（0＜x＜）；
（3）如图2，
当△ACB∽△DEF时，∠EDF=∠BAC，
由（1）知∠ADB=∠BAC，
∴∠EDF=∠ADE，
∵∠DEF=∠DEA，DE=DE，
在△DEF和△DEA中，
,
∴△DEF△DEA（ASA），
∴EF=AE，
∴y=1，
∴=1，
∴x1=，x2=-（舍去），
∴BC=；
如图3，
当△ACB∽△FED时，∠BAC=∠DFE，
∵∠BAE=∠BAC，
∴∠DFE=∠BAE，
∴DF∥AB，
∴=，
∵∠AEB=∠DAB=90°，∠ABE=∠DBA，
∴ △ABE∽△DBA，
∴，
∴，
∴BD=，
∴DE=BD-BE=-x，
∴==，
∴x1=，x2=-（舍去），
∴BC=.
综上所述：BC=或．
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