2025新高考数学二模试题专题分类汇编导数及其应用（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025新高考数学二模试题专题分类汇编导数及其应用（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 17:35:35 | ||
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文档简介
专题03 导数及其应用
题型01 导数的几何意义
1．（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东清远·二模）设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
3．（2025·四川成都·二模）设函数，若的图象过点，且曲线在处的切线也过点，则 .
4．（2025·山东聊城·二模）过函数图像上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为 ．
5．（2025·浙江金华·二模）函数在点，处的切线分别记为，，且，过点作轴的平行线与交于点，则 .
6．（2025·山东菏泽·二模）已知函数在处的切线与直线平行．
(1)求的值：
(2)求的极值．
7．（2025·安徽合肥·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0．
题型02 利用导数研究函数的单调性
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山东菏泽·二模）已知函数在上单调递增，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
3．（2025·山西晋城·二模）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河南焦作·二模）已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数，则不等式的解集为 ．
7．（2025·山西吕梁·二模）若函数，，且，满足，则的最大值为 .
8．（2025·山西晋城·二模）已知函数，．
(1)若曲线在点处的切线与曲线只有一个交点，求实数的值；
(2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围．
9．（2025·辽宁丹东·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性：
(2)若恰有两个零点，且
（i）求的取值范围；
（ii）设在定义域内单调递增，求出与的函数关系式，并证明．
题型03 利用导数研究函数的极值、最值
1．（多选）（2025·河北邯郸·二模）已知函数．则下列结论正确的是（ ）
A． B．函数在上单调递减
C．函数有极大值 D．函数在上的最小值为
2．（2025·四川成都·二模）若函数有极值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）（2025·广东肇庆·二模）已知函数有两个极值点，则（ ）
A．或 B．
C．存在实数，使得 D．
4．（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若存在极大值，且极大值大于0，求的取值范围.
5．（2025·河南新乡·二模）已知函数.
(1)若在其定义域内单调递增，求的取值范围；
(2)若，证明：，；
(3)若在上有两个极值点，求的取值范围.
6．（2025·河南焦作·二模）已知函数．
(1)当时，证明；；
(2)当时，若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围．
7．（2025·江苏南通·二模）已知函数的最大值为，设函数的图象在点处的切线为．
(1)求的值；
(2)证明：当时，切线与函数的图象有另一交点，且.
8．（2025·山西吕梁·二模）已知函数.
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)（i）函数是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由；
（ii）证明：（，且）.
9．（2025·江西新余·二模）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)设函数，讨论在区间上的单调性；
(3)若存在两个极值点，，且，证明：.
10．（2025·重庆·二模）已知函数 .
(1)设过点 且与曲线 过此点的切线垂直的直线叫做曲线在点 处的法线. 若曲线 在点处的法线与直线 平行，求实数的值;
(2)当时，若对任意，不等式 恒成立， 求的最小值;
(3)若存在两个不同的极值点且，求实数取值范围.
题型04 导数研究函数的零点、方程的根
1．（2025·云南曲靖·二模）已知函数，若该函数有且只有一个零点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2025·广东广州·二模）已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·辽宁·二模）设函数与函数，当，曲线与交于一点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2025·山东·二模）若函数与的图象在第一象限内有公共点，则实数的取值范围为 .
6．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围是 .
7．（2025·江西九江·二模）已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是 .
8．（2025·浙江金华·二模）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围.
9．（2025·陕西渭南·二模）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积.
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
10．（2025·江西南昌·二模）已知.
(1)当时，求函数的单调区间：
(2)当时，求证：；
(3)当，试讨论函数的零点个数.
题型05 导数研究不等式证明及恒成立
1．（2025·江苏南通·二模）已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·重庆·二模）已知函数，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数在上单调，且在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·江西萍乡·二模）已知定义在上的函数满足：，且，都有恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）（2025·安徽滁州·二模）已知函数，，，则（ ）
A．和的图象有且只有一条公切线
B．若恒成立，则整数的最大值为
C．若、均大于，则
D．关于的方程在区间内有解
7．（2025·广东深圳·二模）已知函数，函数图象上的一点，按照如下的方式构造切线：在点处作的切线，记切线与x轴交点的横坐标为．
(1)写出与的递推关系式；
(2)记的零点为r，且．
（i）证明：当时，；
（ii）证明：对于任意的，都有．
8．（2025·山东滨州·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若时，恒成立，求实数的值．
9．（2025·天津南开·二模）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)解关于的不等式（其中为的导数）.
题型06 三次函数的图象及性质
1．（2025·安徽淮北·二模）函数的图像如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·河南·二模）若函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2025·辽宁·二模）已知函数，则（ ）
A．有三个零点
B．，使得点为曲线的对称中心
C．既有极大值又有极小值
D．，，
4．（多选）（2025·辽宁丹东·二模）已知函数在处有极值，则（ ）
A．在上单调递增 B．的极大值为
C．直线是曲线的切线 D．
5．（多选）（2025·山东临沂·二模）设函数，则（ ）
A．有3个零点
B．过原点作曲线的切线，有且仅有一条
C．与交点的横坐标之和为0
D．在区间上的取值范围是
6．（多选）（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数满足，，则（ ）
A．
B．对于任意，有三个零点
C．对于任意，有两个极值点
D．存在，使得点为曲线对称中心
7．（多选 ）（2025·山西吕梁·二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数有两个极值点、，则
B．函数至少有一个极值，且极小值为
C．使得方程有三个不相等的实数根
D．若函数的极大值点为，且，则
8．（多选）（2025·江西南昌·二模）已知.不等式的解集为且，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的极大值点为1
B．函数的对称中心为
C．过点可作一条直线与曲线相切
D．当时，
答案解析
题型01 导数的几何意义
1．（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】借助导数的几何意义计算即可得.
【详解】，令，则，故，当时，，即的坐标为.故选：B.
2．（2025·广东清远·二模）设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】求导，由导数的几何意义求出切线方程，故，结合对数运算法则得到答案.
【详解】由，可得，所以曲线在处的切线方程是，令得，所以
.故选：A．
3．（2025·四川成都·二模）设函数，若的图象过点，且曲线在处的切线也过点，则 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程，建立方程组求出.
【详解】函数，求导得，则，而，因此曲线在处的切线方程为，依题意，，所以.
4．（2025·山东聊城·二模）过函数图像上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为 ．
【答案】
【分析】根据“法线”的定义，结合导数的几何意义求出法线方程，由“公法线”的定义列出方程组求解即可．
【详解】由求得，，则法线斜率为，则在处的法线方程为，由求导得，则法线斜率为，则在处的法线方程为，由“公法线”得，，，解得，所以“公法线”方程为，
5．（2025·浙江金华·二模）函数在点，处的切线分别记为，，且，过点作轴的平行线与交于点，则 .
【答案】/
【分析】切线平行得到，再结合切线方程得到点坐标，进而可求解.
【详解】，，因为，
所以，又，所以，所以切线方程： ，
切线方程： ，将，代入，可得：，又，所以，所以点坐标为，所以，
又，所以，故答案为：
6．（2025·山东菏泽·二模）已知函数在处的切线与直线平行．
(1)求的值：
(2)求的极值．
【答案】(1)；(2)极大值为，无极小值.
【分析】（1） 利用导数的几何意义来求参数；
（2）利用导数来研究函数单调性，从而求解极值.
【详解】（1）由题意得：，因为在处的切线与直线平行，所以，故.
（2）由（1）得：，定义域为，
令，得，则，，的变化情况如下表：
0
单调递增 单调递减
故的极大值为，无极小值.
7．（2025·安徽合肥·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0．
【答案】(1)；；(2)证明见解析
【分析】（1）求导得到表达式，把代入，能得到含的等式，算出.再代入到算出另一个未知量b.
（2）根据第（1）问结果得到和. 令，对处理，根据结果判断在不同范围的增减情况. 依据正负，判断在不同范围的增减，得出最小是. 算出小于，再找两点使式子值大于，确定有两个特殊点. 设一个特殊点为，发现也是，所以和为.
【详解】（1）求导得到，根据函数在点处的切线方程为，得到.把代入得，因为，所以，即.
，算出.
（2）由第（1）问知，. 令，求导得.
当，，在递减；当，，在递增.
，，所以存在唯一使，即. 当，，在递减；当，，在递增，所以.
，又，，根据零点存在定理，在和各有一个零点，共两个零点. 设是零点，，经计算，所以也是零点，零点和为.
题型02 利用导数研究函数的单调性
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将函数在上单调递增转化为导函数在上恒成立，利用二次函数的性质列不等式求解的取值范围，再逐项判断即可.
【详解】由题意，函数的定义域为.由在上单调递增，得在上恒成立.则，解得.A是充分不必要条件，B是充分必要条件，C是不充分不必要条件，D是必要不充分条件，故选：D.
2．（2025·山东菏泽·二模）已知函数在上单调递增，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据函数在单调递增，即在恒成立，解得，再构造函数，通过导数求单调性即可求解.
【详解】由题意，函数 的定义域为，
导函数为，因为函数在单调递增，
所以在恒成立，所以，即，故，
令，则，令，则，令，则，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以的最小值为.故选：B.
3．（2025·山西晋城·二模）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据指数对数的运算性质将变形为，再通过放缩得到不等式，进而利用同构函数，将不等式转化为，再利用的单调性解不等式即可.
【详解】由，得，即．因为，，所以，即，所以，且．因为函数在上单调递增，又，所以，即，故，所以A正确，B，C，D错误．故选：A．
4．（2025·河南焦作·二模）已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用换底公式得，然后利用对数函数的性质即可求解；对求导，利用导数和指数函数的性质即可判定.
【详解】由题可知，
因为在区间上单调递增，所以，即，
当时，有，即，不成立，
当时，有，则成立，所以；
又在区间上都单调递增，所以在，时恒成立，所以在时恒成立，因为，所以，
所以或，又，所以，故选：D.
5．（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】当时，，可得在上单调递增，结合函数是定义域为的奇函数，，从而得到不等式，求出答案.
【详解】令，则，由题意知当时，，故在上单调递增，因为函数是定义域为的奇函数，所以，所以，所以是定义域为的偶函数，
所以在上单调递减，又因为，所以，所以，
所以当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则.则不等式的解集为.故选：D.
6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】利用导数判断函数的单调性，再判断函数的奇偶性，即可求解不等式．
【详解】的定义域为，∵，∴函数是上的增函数，∵，∴函数是奇函数，
∴由得，∴，
∴不等式的解集为．
7．（2025·山西吕梁·二模）若函数，，且，满足，则的最大值为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，结合题设可得函数在上单调递增，再利用单调性建立恒成立的不等式求解.
【详解】由，，则，由，且，满足，则函数在上单调递增，又，则恒成立，令函数，，则，
当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因此，则，解得，所以的最大值为.
8．（2025·山西晋城·二模）已知函数，．
(1)若曲线在点处的切线与曲线只有一个交点，求实数的值；
(2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】(1)0；(2)
【分析】（1）先求出曲线在点处的切线方程，再把切线与曲线只有一个交点，转化成方程只有一个解，再分和两种情况讨论，即可求出的值；
（2）把在区间上单调递增，转化成在上恒成立，再通过分离常数，构造函数，借助导数，求出在上的最大值，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）由题意得，，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
因为曲线在点处的切线与曲线只有一个交点，
所以方程只有一个解，即只有一个解，
当时，方程只有一个解，符合题意；
当时，，即，
因为方程的，所以方程无解，综上所述，实数的值为0．
（2）由，可得．因为在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立．令，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，则，，故实数的取值范围为．
9．（2025·辽宁丹东·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性：
(2)若恰有两个零点，且
（i）求的取值范围；
（ii）设在定义域内单调递增，求出与的函数关系式，并证明．
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）（ii），证明见解析
【分析】（1）首先求函数的导数，结合函数的定义域，讨论的取值，即可求解函数的单调区间；
（2）（ⅰ）根据（1）的结果可知，函数的极大值，解得，再根据零点存在性定理，即可求解；（ⅱ）根据题意可知，恒成立，讨论函数的类型，即可求解与的关系式，根据函数的单调性得，整理后可得，再根据（1）的结果，即可证明.
【详解】（1）因为的定义域为，所以，
当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递增，，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调减．
（2）（i）由（1）知，需满足，在处取得极大值，且
，令，显然在上单调递减，
所以又因为，
所以在和上各有一个零点，且
综上所述，．
（ii）
所以恒成立，
当时，不能恒成立，所以，
由均值不等式知：，且时等号成立
所以，（*）
当因为，则，所以不等式（*）要成立，则得此时因为，所以整理得，即可得，所以，由（1）得，．
题型03 利用导数研究函数的极值、最值
1．（多选）（2025·河北邯郸·二模）已知函数．则下列结论正确的是（ ）
A． B．函数在上单调递减
C．函数有极大值 D．函数在上的最小值为
【答案】BC
【分析】因，则通过导数的定义可通过求来判断A；通过求导，研究的单调性可判断BCD.
【详解】由题意可得，因，则，故A不正确；由得或，由得，则在和上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值，故B正确，C正确，，则函数在上的最小值为，故D不正确．故选：BC.
2．（2025·四川成都·二模）若函数有极值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】对函数求导，设，，分，结合导数分析求解即可.
【详解】由，，则，
令，，则，
当时，恒成立，则，即函数在上单调递增，此时函数无极值，不符合题意；
当时，令，得，
当时，，则，得函数在上单调递减，又时，；时，，所以存在，使得，则函数存在极值；
当时，，则时，；时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，
设，，则，
当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又，且时，，则时，，此时函数无极值，不符合题意；当时，，且时，；时，，
此时函数存在极值.综上所述，的取值范围为.故选：A.
3．（多选）（2025·广东肇庆·二模）已知函数有两个极值点，则（ ）
A．或 B．
C．存在实数，使得 D．
【答案】BD
【分析】A，B选项，两个极值点问题，转化为导函数两个异号零点问题；通过复合函数换元，将导函数转化为对勾函数或二次函数，利用对勾函数和二次函数的图象与性质快速的求解；
C选项，解法1：先利用整体代入法，消，再利用单调性证明；解法2：利用为极小值点，通过证明；D选项，利用消元，转化为，利用单调性证明；
【详解】易知，令，则.令，则.设，由对勾函数的图象可知：当时，与的图象有两个交点，
因为，故不成立，故A错误；设，则①，
设为①式的两根，则，即②，③.
由③式可知，所以，则，故B正确；
解法1：由②式可知，令，
则，则在上单调递减，所以，故，所以不存在实数使得，故C错误；
解法2：，，，可得为区间的极小值点，则必有，故C错误；由③式可知，所以，
要证，
仅需证明成立.令，则.则在上单调递增，所以，故，故D正确.故选：BD.
4．（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若存在极大值，且极大值大于0，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求导后分析单调性，得到最大值即可；
（2）求导后，分和讨论单调性和极值，当时，构造函数，由导数分析单调性解抽象函数不等式可得.
【详解】（1）时，，，
时，；时，，所以在区间上单调递增，上单调递减，所以.
（2），
时，，在上单调递增，无极值；
时，时，；时，，所以在区间上单调递增，上单调递减，所以的极大值为，令，则，所以在区间上单调递增，由已知，所以，解得，综上，.
5．（2025·河南新乡·二模）已知函数.
(1)若在其定义域内单调递增，求的取值范围；
(2)若，证明：，；
(3)若在上有两个极值点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用函数在定义域内单调递增则函数的导数大于或者等于零恒成立，求解分离参数求解即可
（2）构造函数，求两次导，得到这个函数导函数的单调性，从而得到，则在上单调递增，得到，即当时，，所以，不等式得证.
（3）分情况讨论，当时，，则在上单调递减，无极值点.当时，由（1）知在上单调递增，无极值点.
当时，令，求导，对极值点的大小进行分析，再结合零点存在性定理取点证明有两个极值点即可.
【详解】（1）因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.设，则，则在上单调递增，在上单调递减，所以，则，即的取值范围为.
（2）证明：若，则.设，则，，则在上单调递减，在上单调递增，
则，则在上单调递增，所以，即当时，，所以，不等式得证.
（3）.当时，，则在上单调递减，无极值点.当时，由（1）知在上单调递增，无极值点.当时，令，令，得，则在上单调递减，在上单调递增，，，由（2）知，则，所以恰有两个零点，，令，得，令，得或，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，从而有两个极值点.综上，的取值范围是.
6．（2025·河南焦作·二模）已知函数．
(1)当时，证明；；
(2)当时，若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）先结合将放缩，再构造函数证明函数的最小值大于等于零.
（2）将在区间内有且仅有一个极值点，转化成导函数在区间内有且仅有一个变号零点，再结合不同的值去看是否满足.
【详解】（1）要证，即证．
当时，，∴我们可以考虑证明，令，则，易知在上单调递增，且，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴是的极小值点，也是最小值点，
故当时，，即，因此，当时，．
（2）由题可知，则．
若，当时，，∴，则在区间上单调递增，没有极值点，不符合题意，舍去．
若，设，则在区间上恒成立，∴在区间上单调递增，即在区间上单调递增，又，∴在区间上有唯一的零点，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴在区间内有唯一的极值点，符合题意．综上，实数的取值范围是．
7．（2025·江苏南通·二模）已知函数的最大值为，设函数的图象在点处的切线为．
(1)求的值；
(2)证明：当时，切线与函数的图象有另一交点，且.
【答案】(1)0；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数求出函数的最大值，进而求出的值.
（2）由（1）的信息求出切线的方程，再构造函数，利用导数结合零点存在性定理证得还有小于的零点即可.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，，而函数的最大值为，则，解得，所以的值为0.
（2）由（1）知，，，则，
于是切线的方程为，即，令，，求导得，令，求导得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
由，得，而，函数在上的图象不间断，
则存在，使得，且当或时，，当时，，
函数在和上单调递增，在上单调递减，又，
当时，，于是函数在上无零点，
，而，函数在上的图象不间断，
因此存在，使得，
所以当时，切线与函数的图象有另一交点，且.
8．（2025·山西吕梁·二模）已知函数.
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)（i）函数是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由；
（ii）证明：（，且）.
【答案】(1)
(2)（i）函数不存在极值，理由见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）（i）先利用导数分析函数的单调性，进而判断是否存在极值；
（ii）利用函数单调性可得，进而求证即可.
【详解】（1）由，得，则，又，
所以函数的图象在处的切线方程为，即.
（2）（i）函数不存在极值，理由如下：由，解得且，
所以函数的定义域为，由，则，
令，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即，所以在和上单调递减，则函数不存在极值.
（ii）由（i）知，函数在上单调递减，则对任意，，即，所以当时，，则，即，
所以，，，…，，
以上式子相加得，，
即（，且且时，等号成立），
9．（2025·江西新余·二模）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)设函数，讨论在区间上的单调性；
(3)若存在两个极值点，，且，证明：.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求解；
（2）求导，分，两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；
（3）由（2）结合零点存在性定理可得在和上各有一个零点，，且，是的两个极值点，再将极值点代入导函数中化简结合已知可得，，通过构造函数，证明，即得，得证.
【详解】（1）当时，，则，所以，，
所以切线方程为；，即.
（2）由，，
当时，，在上单调递增；
当时，令.
当时，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）由（2）知若存在两个极值点，则，且，
由过原点的切线方程为，则，则，即，
所以，，∴在和上各有一个零点，，且时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，单调递减.∴，是的两个极值点.
，
且，
∴，而，∴，
令，则，
所以在上单调递增，故，所以，令，
可得，即，即，，.
10．（2025·重庆·二模）已知函数 .
(1)设过点 且与曲线 过此点的切线垂直的直线叫做曲线在点 处的法线. 若曲线 在点处的法线与直线 平行，求实数的值;
(2)当时，若对任意，不等式 恒成立， 求的最小值;
(3)若存在两个不同的极值点且，求实数取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用导数求切线斜率即可得到等式求值；
（2）利用同构函数思想，结合函数的单调性，再用分离参变量求解即可；
（3）先分离参变量，再利用韦达定理消元，最后化成单变量函数进行最值分析即可求解.
【详解】（1）由得：，则，又由直线的斜率为，根据题意可知：；
（2）当时，不等式可化为，
变形为
同构函数，求导得，所以在上是增函数，而原不等式可化为，根据单调性可得：，
再构造，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以，即满足不等式成立的,所以的最小值为；
（3）因为存在两个不同的极值点所以由可得：
，，因为，而的对称轴是，所以可得，根据对称性可得另一个零点，此时有，
故，又由可得，
而
令，
则，
，即，，则，
即在区间上单调递减，
所以有，即，所以实数取值范围.
题型04 导数研究函数的零点、方程的根
1．（2025·云南曲靖·二模）已知函数，若该函数有且只有一个零点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可说明0为的唯一零点,然后求函数的导数，并令导数等于0，求得，根据导数的正负判断函数的单调性，说明，进而说明的最小值为，从而可得，结合对数的运算，求得答案．
【详解】由题意知函数有且只有1个零点，而，故0即为的唯一零点，因为，且，故 ，所以 有唯一解，令，则，
对于任意 ，都有，故在R上单调递增，
则时，，时，，
故函数在时单调递减，在时单调递增，故 ；
若，当时，， ，
则 ，因此当 且 时，，
此时在内有零点，则至少有两个零点，与题意不符；
故，则的最小值为，因为由题意知0为的唯一零点，故 ，
即，则，即值为1.故选：A
2．（2025·广东广州·二模）已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当时，对函数求导，对参数的取值进行分类讨论，大致画出分段函数的图象，再由数形结合即可得出实数的取值范围.
【详解】易知当时，函数单调递增，且;当时，函数，易知,显然当时，恒成立，即在上单调递增；
当时，；当时，，此时函数的图象大致如下图所示：
若函数恰有2个零点，即函数的图象与有两个交点，由上图可知；
当时，根据对勾函数性质可知，当且仅当时，等号成立；
此时其图象大致如下图：
显然函数的图象与没有交点，不合题意；综上可知，实数的取值范围是.故选：B
3．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】探讨给定函数的对称性及单调性，脱去法则“f”，构造函数，利用导数探讨函数的性质并作出图象，数形结合求得答案.
【详解】函数的定义域为R，且在R上单调递增，
，即，
方程，即，于是，即，令，依题意，直线与函数的图象有三个不同的交点，
求导得，当时，，
当时，，函数在上递减，在上递增，
当时，取极小值；当时，取极大值为，
而当或时，恒有，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，
观察图象得，原方程有三个不同实根，所以实数的取值范围为，故选：A
4．（2025·辽宁·二模）设函数与函数，当，曲线与交于一点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】由题意得，即，构造函数，则，求出单调区间和最值，再利用其单调性可求得结果.
【详解】由题意得，即，所以，所以，
令，则，，
由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，
所以，所以当时，，当时，，
当时，，所以，所以，所以，因为在上递增，所以，所以.故选：D
5．（2025·山东·二模）若函数与的图象在第一象限内有公共点，则实数的取值范围为 .
【答案】或
【分析】将题设条件转化为函数与函数的函数图象有交点，再利用导数工具研究函数的图象性质即可得解.
【详解】若函数与的图象在第一象限内有公共点，则方程在上有解，即方程在上有解，显然不是方程的解，所以方程在上有解，则函数与函数的函数图象有交点，又，所以时，，时，，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，又时，时；时，；时；所以或.
6．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数的零点可得，再结合指、对数性质分析可知方程有根，方程无根，结合图象即可得结果.
【详解】当时，可得；当时，可得，当且仅当时，等号成立，即函数有且仅有1个零点1，若函数有零点，则，
显然，可得，假设方程有根，可知方程有两个不相等根，设为，且，则，可得，即，假设方程有根，可知方程有且仅有1个根，设为，结合题意可知：方程有根，方程无根，即与无交点，与有2个交点，
结合图象可知：或，解得或，所以实数的取值范围是.
7．（2025·江西九江·二模）已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】解法一：先通过等价变形将函数的三个零点转化为函数有三个零点；再根据奇函数的定义得出函数是上的奇函数，进一步将条件转化为在上有一个零点；最后求出，分类讨论，利用导函数和零点存在性定理判断出函数的单调性即可求解.
解法二：先根据，为上偶函数，将题目条件转化为直线与函数的图象在上有一个交点；再利用导数判断出函数在上单调性，求出函数值域，即可求解.
解法三：先根据题意构造函数，，与都是上的奇函数，将题目条件问题转化为函数与在上恰有一个交点；再根据函数在上单调递增及导数的几何意义，数形结合即可解答.
【详解】解法一：.
，
的零点等价于函数的零点.
又函数定义域为，且
是上的奇函数，
只需要考虑在上有一个零点即可.
又函数在上单调递增，函数在上单调递增，
当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，的值域是.当时，，此时在上单调递增，，无零点，不符合题意；当时，，此时在上单调递减，，无零点，不符合题意；当时，由零点存在性定理知，必存在唯一的正数，使.
当时，，此时在上单调递增，，；
当时，，此时在上单调递减；又，，，，在上存在唯一零点，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
8．（2025·浙江金华·二模）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)极小值为，无极大值.
(2)或.
【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值.
（2）求出函数，利用导数探讨其单调性及极值，再按分类处理函数的零点为1个的条件求解.
【详解】（1）当时，函数的定义域为，
求导得，当时，，当时，，
所以当时，函数取得极小值，无极大值.
（2）函数的定义域为，求导得，
令，则，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，
①若，当时，，函数在有唯一零点；
当时，，函数在无零点，
因此当时，有唯一零点；
②若，当从大于0的方向趋近于0时，函数的值趋近于负数，
即当时，，函数在上无零点；
当从大于的方向趋近于时，函数的值趋近于正无穷大，
当趋近于正无穷大时，函数的值趋近于正无穷大，
则当且仅当，有唯一零点，由，得，即，
令，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，因此，
则方程有唯一解，于是时，有唯一零点，
所以实数的取值范围为或.
9．（2025·陕西渭南·二模）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积.
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用导函数求出切线斜率，结合切点坐标得到直线的点斜式方程，再计算与坐标轴围成三角形的面积；
（2）利用分离参数法，将零点个数转化成直线与函数图象交点个数，利用导函数分析函数单调性，得出函数的大致图象，数形结合即可得出结论；
（3）根据（2）小问中的结论，分类讨论得到实数的取值范围，最后取交集即可.
【详解】（1）当时，，所以.
又，所以，则切线方程为.
令得，令得，
所以切线与坐标轴围成三角形的面积为.
（2）由得，显然不是方程的解，所以.
设函数，则，
令得或；令得或.
所以在上单调递增，在和单调递减，在上单调递增.
又当时，，当时，，
当时，，当时，.
所以的大致图象如图：
若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个交点，
由图象可知，或，即的取值范围为.
（3）由得，显然当时，不等式恒成立.
当时，有恒成立，由（2）可得；
当时，有恒成立，由（2）可得.
综上，，即的取值范围为.
10．（2025·江西南昌·二模）已知.
(1)当时，求函数的单调区间：
(2)当时，求证：；
(3)当，试讨论函数的零点个数.
【答案】(1)减区间为，增区间内为
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）当时，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间；
（2）当时，分析得出，令，可得，结合（1）中的结论可证得；
（3）解法一：对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出函数在不同情况下的零点个数；
解法二：求得，令，令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出函数在不同情况下的零点个数；
解法三：将函数解析式变形为，设，则，则有，设，则，对实数的取值进行分类讨论，分析的符号变化，可得出的单调性，再结合零点存在定理可得出函数的零点个数.
【详解】（1）当时，，，
当时，，则在为增函数；
当时，，则在为减函数；
故当时，函数的减区间为，增区间内为.
（2）因为，当时，，所以，
当时，，所以，所以，
设，由（1）可知，所以不等式成立.
（3）解法一：，
设，此时，
则，
因为，所以，
则在为减函数，，
①当时，，结合在为减函数，
当时，在为增函数；
当时，在为减函数；
所以，所以，即在上为减函数，
又因为，所以只有一个零点；
②当时，，
所以存在，使得，
当时，，所以在上增函数；
当时，，所以在上减函数.
因为，则，当，
使得，
所以时，，即，即在为减函数；
当时，，即，即在为增函数；
当时，，即，即在为减函数；
当，又因为，所以.
所以使得，
在为减函数，所以，所以存在两个零点.
综上所述：当时，函数有1个零点；当函数有2个零点.
解法二：，
设，此时，
则，
设，所以，
①当时，此时，则，此时，
当时，在为增函数；
当时，在为减函数；
所以，所以，即在上为减函数.
又因为，所以只有一个零点；
②当，所以，设.因为，
因为时，所以存在，使得
当时，，即，所以在上增函数；
当时，，即，所以在上减函数.
因为，则，当，使得，
所以时，，即，即在为减函数；
当时，，即，即在为增函数；
当时，，即，即在为减函数；
当，又因为，所以.所以使得，
在为减函数，所以，所以存在两个零点.
综上所述：当时，函数有1个零点；当函数有2个零点.
解法三：，设，则，
则有，，设.
因为，所以，则在为减函数，，
①当，即，结合在为减函数
当时，在为增函数；当时，在为减函数；所以，所以，即在上为减函数.又因为，所以只有一个零点；
②当时，，所以存在，使得，
当时，，所以在上增函数；当时，，所以在上减函数.因为，则，当，
使得，所以时，，即，即在为减函数；当时，，即，即在为增函数；
当时，，即，即在为减函数；
当，又因为，所以.所以使得，
在为减函数，所以，所以存在两个零点.
综上所述：当时，函数有1个零点；当函数有2个零点.
题型05 导数研究不等式证明及恒成立
1．（2025·江苏南通·二模）已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先对求导，得出，再利用奇偶性构造关于和的方程组，进而求出的解析式，化简题中式子并参变分离得出，再构造函数，通过求导求其最小值即可.
【详解】因为偶函数，则①，对两边求导得，②，
在③中，用代替得④，由①②④可得，⑤，联立③⑤得，，则化简为，，令，则，则得；得，则在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为，故，则实数的取值范围是.故选：A
2．（2025·重庆·二模）已知函数，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分、和三种情况讨论，当时，利用导数法求得，从而将题意转化为恒成立的问题，构造函数，利用导数法研究单调性，即可求解的取值范围.
【详解】当时，，符合题意；当时，存在，使得，即，显然不满足题意；当时，由得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，由得，
设，则，所以在上单调递减，又，所以，综上，，即的取值范围是.故选：B
3．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，解得：，不满足条件；故，关于的不等式可得，所以，即，方程的两根为，当时，不等式可化为，，
解集为：，不满足条件；当时，不等式可化为，当时，则，即，不等式的解集为：，要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件；当时，则，即，不等式的解集为空集，
当时，则，即，不等式的解集为，要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：，故实数的取值范围是：.故选：B.
4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数在上单调，且在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可得函数在上单调递减，由在恒成立可得恒成立，据此可得答案.
【详解】因函数在上单调，又在上单调递减，
则函数在上单调递减，则.则时，，又，则恒成立，
则.故选：B
5．（2025·江西萍乡·二模）已知定义在上的函数满足：，且，都有恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，得到，通过换元，，求的最大值即可.
【详解】令，原不等式可化为：，代入，化简可得：，令，得到，
再令，可得：，由对勾函数的单调性，可知在上单调递减，所以当时，取得最小值，所以的最大值为，也即的最大值为，所以的最大值为，故选：A
6．（多选）（2025·安徽滁州·二模）已知函数，，，则（ ）
A．和的图象有且只有一条公切线
B．若恒成立，则整数的最大值为
C．若、均大于，则
D．关于的方程在区间内有解
【答案】BC
【分析】设直线为函数和的图象的公切线，设直线切函数于点，切函数于点，利用导数的几何意义可得出关于、的方程，解方程组可判断A选项；利用导数求出函数最小值的取值范围，可判断B选项；利用作差法可判断C选项；利用导数分析函数、在上的函数值符号，可判断D选项.
【详解】对于A选项，设直线为函数和的图象的公切线，设直线切函数于点，切函数于点，因为，则，所以，，切线方程为，即，因为，则，所以，，
切线方程为，即，所以，，消去可得，解得或，所以，和的图象有且只有两条公切线，A错；对于B选项，若，则，因为函数，其中，则，因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数，因为，，所以，存在，使得，即，可得，且当时，，当时，，
所以，函数的减区间为，增区间为，所以，，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，
所以，，由题意可得，故整数的最大值为，B对；
对于C选项，
，
因为、，则，，所以，，
所以，，
所以，，C对；对于D选项，当时，，则，
所以，函数在上单调递增，则，，则对任意的恒成立，所以，在单调递减，则，
当时，对任意的，，所以，关于的方程在区间内无解，D错.故选：BC.
7．（2025·广东深圳·二模）已知函数，函数图象上的一点，按照如下的方式构造切线：在点处作的切线，记切线与x轴交点的横坐标为．
(1)写出与的递推关系式；
(2)记的零点为r，且．
（i）证明：当时，；
（ii）证明：对于任意的，都有．
【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点处的切线方程，令即可求解；
（2）（i）易知当时，当时，利用导数和零点的存在性定理证明在上单调递增，进而，即可证明；（ii）由（i）知当时，令，只需证.令（），利用3阶导数研究的单调性可得，结合累乘法计算即可证明.
【详解】（1），，则函数在点处的切线方程为，令，得．
（2）（i）当时，，当时，，单调递增，
又因为，所以有唯一的零点，其中．
令，则，当时，，故在上单调递增．因为，所以．
因为在上单调递增，所以当时，，又因为，所以，即证得：当时，．
（ii）由（i）知：因为，从而，进而，
由此递推可知：当时，，令，
下面证明：对于任意的，都有成立，
即．
因为，所以只需证明，
即，令，其中，则，因为，
所以，故，从而在上单调递增，可知，故在上单调递增，因此，因为，故，即对于任意的，都有成立，由此可得：，所以对于任意的，都有．
8．（2025·山东滨州·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若时，恒成立，求实数的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)1
【分析】（1）求出导数，分类讨论，利用导数判断单调性；
（2）根据的单调性求得的最小值，则将恒成立问题转化为，构造函数，利用导数研究其值域得，进而得，即可得解.
【详解】（1）由题意的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递减，
当时，由解得，由解得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知当时，在上单调递增，在上单调递减.
所以函数的最小值为，所以恒成立，
整理得，令，则，
由解得，由解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又，所以，所以.
9．（2025·天津南开·二模）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)解关于的不等式（其中为的导数）.
【答案】(1)
(2)或.
(3)
【分析】（1）由导数的几何意义求出切点处的导数，再由点斜式方程写出切线方程即可；
（2）利用导数研究的单调性，求出，转化为解不等式即可；
（3）转化为，通过分类讨论构造函数，研究函数的性质解不等式.
【详解】（1），可得，又，所以曲线在点处的切线方程为.
（2）当时，，，所以，在上单调递减，
当时，令，因为，所以在上单调递增，
所以，即，所以在上单调递增，所以，
若恒成立，则，整理得，解得或.
（3）由得，即，
当时，，不等式成立；
当时，，不等式化为，
当时，不等式的左边右边，所以，
①当时，令，所以函数在上单调递减，所以，即，令，则单调递减；单调递增，所以，所以，故，
②当时，不等式化为，令，
，函数在上单调递增，所以，由，得，所以不等式成立，综上，不等式的解集为.
题型06 三次函数的图象及性质
1．（2025·安徽淮北·二模）函数的图像如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定的函数图象，确定零点及极值点情况，再结合函数式、导函数式分析判断作答.
【详解】观察图象知，，函数有3个零点，设3个零点为，
于是，当时，，而此时，因此，又，函数有两个极值点，且，即有两个不等实根，，因此，所以.故选：B.
2．（2025·河南·二模）若函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】法1：确定函数单调性，进而可求解，法2：分参，得到，确定的单调性，进而可求解.
【详解】法1：因为，令，解得或；令，解得，所以在上单调递增，要满足函数在区间内仅有一个零点，则，，解得.故选：C.
法2：由题意，关于的方程在内仅有一个解，而，，
令，解得或；即在上单调递增，原问题等价于.故选：C
3．（多选）（2025·辽宁·二模）已知函数，则（ ）
A．有三个零点
B．，使得点为曲线的对称中心
C．既有极大值又有极小值
D．，，
【答案】BCD
【分析】结合零点的定义分析可得当时，函数只有2个零点，即可判断A；利用检验判断B；求导，分析函数的单调性即可判断C；举特例判断D.
【详解】对于B，对于A，令，解得或，当时，函数只有2个零点，故A错误；对于B，，
则，
又，要使点为曲线的对称中心，
则对，，此时，所以当时，点为曲线的对称中心，故B正确；对于C，由，则，由于，则方程有两个不相等的实数根，设，则或时，；时，，则函数在和上单调递增，在上单调递减，则函数在取得极大值，在取得极小值，故C正确；对于D，当时，，此时，，故D正确.故选：BCD.
4．（多选）（2025·辽宁丹东·二模）已知函数在处有极值，则（ ）
A．在上单调递增 B．的极大值为
C．直线是曲线的切线 D．
【答案】ACD
【分析】利用极值点可求得，由此可求导得到单调性和极大值，知AB正误；利用导数几何意义可确定C正确；根据解析式可求得D正确.
【详解】，在处有极值，，解得：；
当时，，，当时，；当时，；在，上单调递减，在上单调递增；对于A，当时，，则在上单调递增，A正确；
对于B，的极大值为，B错误；对于C，令，解得：或，又，在处的切线为，C正确；
对于D，，D正确.故选：ACD.
5．（多选）（2025·山东临沂·二模）设函数，则（ ）
A．有3个零点
B．过原点作曲线的切线，有且仅有一条
C．与交点的横坐标之和为0
D．在区间上的取值范围是
【答案】BC
【分析】利用导数研究函数的性质，如切线，单调性，从而确定零点和值域，通过直接解方程求根判断图象交点横坐标之和即可.
【详解】，
0 0
单调增 单调减 单调增
，所以有2个零点，A不正确；
对于选项B：设切点为，则切线方程为，
代入原点，得，
故切线有且仅有一条，正确；对于选项C：或，
若，根据对称性知，根之和为0，若，方程只有一个根为0，故正确；
对于选项D：，又，故在区间上的取值范围是，错误.故选：BC.
6．（多选）（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数满足，，则（ ）
A．
B．对于任意，有三个零点
C．对于任意，有两个极值点
D．存在，使得点为曲线对称中心
【答案】AB
【分析】根据，即可判断A；由A选项知，，利用导数求出函数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可判断B；举出反例，结合极值点的定义即可判断C；要使点为曲线对称中心，则为定值，由此即可判断D.
【详解】对于A，由，，可得，即，故A正确；对于B，由A选项可得，则，则，
当时，令，则，令，则或，
令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，由，可得，而，所以，又当时，，当时，，
所以函数在和都存在一个零点，所以对于任意，有三个零点，故B正确；对于C，当时，，则，
由，得恒成立，所以函数在上单调递增，所以函数无极值点，故C错误；对于D，要使点为曲线对称中心，则为定值，而，
因为为定值，所以，解得，所以不存在，使得点为曲线对称中心，故D错误.
7．（多选 ）（2025·山西吕梁·二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数有两个极值点、，则
B．函数至少有一个极值，且极小值为
C．使得方程有三个不相等的实数根
D．若函数的极大值点为，且，则
【答案】ABD
【分析】对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性与极值，逐项判断即可.
【详解】因为，则该函数的定义域为，且，
对于A选项，若函数函数有两个极值点、，则方程有两个不等的实根、，所以，，由韦达定理可得，A对；对于B选项，当时，，则，
由可得，由可得，此时，函数的减区间为，增区间为，此时，函数的极小值为；当时，由可得或，由可得，此时，函数的增区间为、，减区间为，
此时，函数的极小值为；当时，由可得，由可得或，此时，函数的减区间为、，增区间为，此时，函数的极小值为.综上所述，函数至少有一个极值，且极小值为，B对；
对于C选项，由B选项可知，当时，，此时函数没有零点；当时，因为函数的增区间为、，减区间为，则当时，，此时，函数在无零点，故函数至多一个零点；当时，函数的减区间为、，增区间为，则当时，，此时，函数在上无零点，故函数至多一个零点.综上所述，不存在实数，使得函数有三个零点，C错；对于D选项，由B选项可知，若函数的极大值点为，则，且，因为，即，整理可得，
所以，，整理可得，即，所以，，即，D对.故选：ABD.
8．（2025·江西南昌·二模）已知.不等式的解集为且，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的极大值点为1
B．函数的对称中心为
C．过点可作一条直线与曲线相切
D．当时，
【答案】BCD
【分析】根据不等式的解集与方程的解之间的联系求得，结合导数和极值点的概念即可判断A；根据函数的对称性验证即可判断B；根据导数的几何意义即可判断C；利用作差法计算即可判断D.
【详解】A：因为不等式的解集为且，即不等式的解集为且，所以方程的根为和（二重根），得，即，所以，则，得，令，或，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以是的极大值点，故A错误；
B：由选项A知，则，所以，即的一个对称中心为，故B正确；
C：由选项A知，设过点的切线方程为，设切点为，则，，得，整理得，即，解得，此时切点为，不符题意，所以过点只能作一条直线与曲线相切，故C正确；
D：令，当时，则，只需.而，由，得，即，所以，故D正确.故选：BCD
题型01 导数的几何意义
1．（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东清远·二模）设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
3．（2025·四川成都·二模）设函数，若的图象过点，且曲线在处的切线也过点，则 .
4．（2025·山东聊城·二模）过函数图像上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为 ．
5．（2025·浙江金华·二模）函数在点，处的切线分别记为，，且，过点作轴的平行线与交于点，则 .
6．（2025·山东菏泽·二模）已知函数在处的切线与直线平行．
(1)求的值：
(2)求的极值．
7．（2025·安徽合肥·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0．
题型02 利用导数研究函数的单调性
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山东菏泽·二模）已知函数在上单调递增，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
3．（2025·山西晋城·二模）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河南焦作·二模）已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数，则不等式的解集为 ．
7．（2025·山西吕梁·二模）若函数，，且，满足，则的最大值为 .
8．（2025·山西晋城·二模）已知函数，．
(1)若曲线在点处的切线与曲线只有一个交点，求实数的值；
(2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围．
9．（2025·辽宁丹东·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性：
(2)若恰有两个零点，且
（i）求的取值范围；
（ii）设在定义域内单调递增，求出与的函数关系式，并证明．
题型03 利用导数研究函数的极值、最值
1．（多选）（2025·河北邯郸·二模）已知函数．则下列结论正确的是（ ）
A． B．函数在上单调递减
C．函数有极大值 D．函数在上的最小值为
2．（2025·四川成都·二模）若函数有极值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）（2025·广东肇庆·二模）已知函数有两个极值点，则（ ）
A．或 B．
C．存在实数，使得 D．
4．（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若存在极大值，且极大值大于0，求的取值范围.
5．（2025·河南新乡·二模）已知函数.
(1)若在其定义域内单调递增，求的取值范围；
(2)若，证明：，；
(3)若在上有两个极值点，求的取值范围.
6．（2025·河南焦作·二模）已知函数．
(1)当时，证明；；
(2)当时，若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围．
7．（2025·江苏南通·二模）已知函数的最大值为，设函数的图象在点处的切线为．
(1)求的值；
(2)证明：当时，切线与函数的图象有另一交点，且.
8．（2025·山西吕梁·二模）已知函数.
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)（i）函数是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由；
（ii）证明：（，且）.
9．（2025·江西新余·二模）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)设函数，讨论在区间上的单调性；
(3)若存在两个极值点，，且，证明：.
10．（2025·重庆·二模）已知函数 .
(1)设过点 且与曲线 过此点的切线垂直的直线叫做曲线在点 处的法线. 若曲线 在点处的法线与直线 平行，求实数的值;
(2)当时，若对任意，不等式 恒成立， 求的最小值;
(3)若存在两个不同的极值点且，求实数取值范围.
题型04 导数研究函数的零点、方程的根
1．（2025·云南曲靖·二模）已知函数，若该函数有且只有一个零点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2025·广东广州·二模）已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·辽宁·二模）设函数与函数，当，曲线与交于一点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2025·山东·二模）若函数与的图象在第一象限内有公共点，则实数的取值范围为 .
6．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围是 .
7．（2025·江西九江·二模）已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是 .
8．（2025·浙江金华·二模）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围.
9．（2025·陕西渭南·二模）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积.
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
10．（2025·江西南昌·二模）已知.
(1)当时，求函数的单调区间：
(2)当时，求证：；
(3)当，试讨论函数的零点个数.
题型05 导数研究不等式证明及恒成立
1．（2025·江苏南通·二模）已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·重庆·二模）已知函数，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数在上单调，且在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·江西萍乡·二模）已知定义在上的函数满足：，且，都有恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）（2025·安徽滁州·二模）已知函数，，，则（ ）
A．和的图象有且只有一条公切线
B．若恒成立，则整数的最大值为
C．若、均大于，则
D．关于的方程在区间内有解
7．（2025·广东深圳·二模）已知函数，函数图象上的一点，按照如下的方式构造切线：在点处作的切线，记切线与x轴交点的横坐标为．
(1)写出与的递推关系式；
(2)记的零点为r，且．
（i）证明：当时，；
（ii）证明：对于任意的，都有．
8．（2025·山东滨州·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若时，恒成立，求实数的值．
9．（2025·天津南开·二模）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)解关于的不等式（其中为的导数）.
题型06 三次函数的图象及性质
1．（2025·安徽淮北·二模）函数的图像如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·河南·二模）若函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2025·辽宁·二模）已知函数，则（ ）
A．有三个零点
B．，使得点为曲线的对称中心
C．既有极大值又有极小值
D．，，
4．（多选）（2025·辽宁丹东·二模）已知函数在处有极值，则（ ）
A．在上单调递增 B．的极大值为
C．直线是曲线的切线 D．
5．（多选）（2025·山东临沂·二模）设函数，则（ ）
A．有3个零点
B．过原点作曲线的切线，有且仅有一条
C．与交点的横坐标之和为0
D．在区间上的取值范围是
6．（多选）（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数满足，，则（ ）
A．
B．对于任意，有三个零点
C．对于任意，有两个极值点
D．存在，使得点为曲线对称中心
7．（多选 ）（2025·山西吕梁·二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数有两个极值点、，则
B．函数至少有一个极值，且极小值为
C．使得方程有三个不相等的实数根
D．若函数的极大值点为，且，则
8．（多选）（2025·江西南昌·二模）已知.不等式的解集为且，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的极大值点为1
B．函数的对称中心为
C．过点可作一条直线与曲线相切
D．当时，
答案解析
题型01 导数的几何意义
1．（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】借助导数的几何意义计算即可得.
【详解】，令，则，故，当时，，即的坐标为.故选：B.
2．（2025·广东清远·二模）设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】求导，由导数的几何意义求出切线方程，故，结合对数运算法则得到答案.
【详解】由，可得，所以曲线在处的切线方程是，令得，所以
.故选：A．
3．（2025·四川成都·二模）设函数，若的图象过点，且曲线在处的切线也过点，则 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程，建立方程组求出.
【详解】函数，求导得，则，而，因此曲线在处的切线方程为，依题意，，所以.
4．（2025·山东聊城·二模）过函数图像上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为 ．
【答案】
【分析】根据“法线”的定义，结合导数的几何意义求出法线方程，由“公法线”的定义列出方程组求解即可．
【详解】由求得，，则法线斜率为，则在处的法线方程为，由求导得，则法线斜率为，则在处的法线方程为，由“公法线”得，，，解得，所以“公法线”方程为，
5．（2025·浙江金华·二模）函数在点，处的切线分别记为，，且，过点作轴的平行线与交于点，则 .
【答案】/
【分析】切线平行得到，再结合切线方程得到点坐标，进而可求解.
【详解】，，因为，
所以，又，所以，所以切线方程： ，
切线方程： ，将，代入，可得：，又，所以，所以点坐标为，所以，
又，所以，故答案为：
6．（2025·山东菏泽·二模）已知函数在处的切线与直线平行．
(1)求的值：
(2)求的极值．
【答案】(1)；(2)极大值为，无极小值.
【分析】（1） 利用导数的几何意义来求参数；
（2）利用导数来研究函数单调性，从而求解极值.
【详解】（1）由题意得：，因为在处的切线与直线平行，所以，故.
（2）由（1）得：，定义域为，
令，得，则，，的变化情况如下表：
0
单调递增 单调递减
故的极大值为，无极小值.
7．（2025·安徽合肥·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0．
【答案】(1)；；(2)证明见解析
【分析】（1）求导得到表达式，把代入，能得到含的等式，算出.再代入到算出另一个未知量b.
（2）根据第（1）问结果得到和. 令，对处理，根据结果判断在不同范围的增减情况. 依据正负，判断在不同范围的增减，得出最小是. 算出小于，再找两点使式子值大于，确定有两个特殊点. 设一个特殊点为，发现也是，所以和为.
【详解】（1）求导得到，根据函数在点处的切线方程为，得到.把代入得，因为，所以，即.
，算出.
（2）由第（1）问知，. 令，求导得.
当，，在递减；当，，在递增.
，，所以存在唯一使，即. 当，，在递减；当，，在递增，所以.
，又，，根据零点存在定理，在和各有一个零点，共两个零点. 设是零点，，经计算，所以也是零点，零点和为.
题型02 利用导数研究函数的单调性
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将函数在上单调递增转化为导函数在上恒成立，利用二次函数的性质列不等式求解的取值范围，再逐项判断即可.
【详解】由题意，函数的定义域为.由在上单调递增，得在上恒成立.则，解得.A是充分不必要条件，B是充分必要条件，C是不充分不必要条件，D是必要不充分条件，故选：D.
2．（2025·山东菏泽·二模）已知函数在上单调递增，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据函数在单调递增，即在恒成立，解得，再构造函数，通过导数求单调性即可求解.
【详解】由题意，函数 的定义域为，
导函数为，因为函数在单调递增，
所以在恒成立，所以，即，故，
令，则，令，则，令，则，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以的最小值为.故选：B.
3．（2025·山西晋城·二模）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据指数对数的运算性质将变形为，再通过放缩得到不等式，进而利用同构函数，将不等式转化为，再利用的单调性解不等式即可.
【详解】由，得，即．因为，，所以，即，所以，且．因为函数在上单调递增，又，所以，即，故，所以A正确，B，C，D错误．故选：A．
4．（2025·河南焦作·二模）已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用换底公式得，然后利用对数函数的性质即可求解；对求导，利用导数和指数函数的性质即可判定.
【详解】由题可知，
因为在区间上单调递增，所以，即，
当时，有，即，不成立，
当时，有，则成立，所以；
又在区间上都单调递增，所以在，时恒成立，所以在时恒成立，因为，所以，
所以或，又，所以，故选：D.
5．（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】当时，，可得在上单调递增，结合函数是定义域为的奇函数，，从而得到不等式，求出答案.
【详解】令，则，由题意知当时，，故在上单调递增，因为函数是定义域为的奇函数，所以，所以，所以是定义域为的偶函数，
所以在上单调递减，又因为，所以，所以，
所以当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则.则不等式的解集为.故选：D.
6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】利用导数判断函数的单调性，再判断函数的奇偶性，即可求解不等式．
【详解】的定义域为，∵，∴函数是上的增函数，∵，∴函数是奇函数，
∴由得，∴，
∴不等式的解集为．
7．（2025·山西吕梁·二模）若函数，，且，满足，则的最大值为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，结合题设可得函数在上单调递增，再利用单调性建立恒成立的不等式求解.
【详解】由，，则，由，且，满足，则函数在上单调递增，又，则恒成立，令函数，，则，
当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因此，则，解得，所以的最大值为.
8．（2025·山西晋城·二模）已知函数，．
(1)若曲线在点处的切线与曲线只有一个交点，求实数的值；
(2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】(1)0；(2)
【分析】（1）先求出曲线在点处的切线方程，再把切线与曲线只有一个交点，转化成方程只有一个解，再分和两种情况讨论，即可求出的值；
（2）把在区间上单调递增，转化成在上恒成立，再通过分离常数，构造函数，借助导数，求出在上的最大值，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）由题意得，，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
因为曲线在点处的切线与曲线只有一个交点，
所以方程只有一个解，即只有一个解，
当时，方程只有一个解，符合题意；
当时，，即，
因为方程的，所以方程无解，综上所述，实数的值为0．
（2）由，可得．因为在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立．令，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，则，，故实数的取值范围为．
9．（2025·辽宁丹东·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性：
(2)若恰有两个零点，且
（i）求的取值范围；
（ii）设在定义域内单调递增，求出与的函数关系式，并证明．
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）（ii），证明见解析
【分析】（1）首先求函数的导数，结合函数的定义域，讨论的取值，即可求解函数的单调区间；
（2）（ⅰ）根据（1）的结果可知，函数的极大值，解得，再根据零点存在性定理，即可求解；（ⅱ）根据题意可知，恒成立，讨论函数的类型，即可求解与的关系式，根据函数的单调性得，整理后可得，再根据（1）的结果，即可证明.
【详解】（1）因为的定义域为，所以，
当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递增，，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调减．
（2）（i）由（1）知，需满足，在处取得极大值，且
，令，显然在上单调递减，
所以又因为，
所以在和上各有一个零点，且
综上所述，．
（ii）
所以恒成立，
当时，不能恒成立，所以，
由均值不等式知：，且时等号成立
所以，（*）
当因为，则，所以不等式（*）要成立，则得此时因为，所以整理得，即可得，所以，由（1）得，．
题型03 利用导数研究函数的极值、最值
1．（多选）（2025·河北邯郸·二模）已知函数．则下列结论正确的是（ ）
A． B．函数在上单调递减
C．函数有极大值 D．函数在上的最小值为
【答案】BC
【分析】因，则通过导数的定义可通过求来判断A；通过求导，研究的单调性可判断BCD.
【详解】由题意可得，因，则，故A不正确；由得或，由得，则在和上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值，故B正确，C正确，，则函数在上的最小值为，故D不正确．故选：BC.
2．（2025·四川成都·二模）若函数有极值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】对函数求导，设，，分，结合导数分析求解即可.
【详解】由，，则，
令，，则，
当时，恒成立，则，即函数在上单调递增，此时函数无极值，不符合题意；
当时，令，得，
当时，，则，得函数在上单调递减，又时，；时，，所以存在，使得，则函数存在极值；
当时，，则时，；时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，
设，，则，
当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又，且时，，则时，，此时函数无极值，不符合题意；当时，，且时，；时，，
此时函数存在极值.综上所述，的取值范围为.故选：A.
3．（多选）（2025·广东肇庆·二模）已知函数有两个极值点，则（ ）
A．或 B．
C．存在实数，使得 D．
【答案】BD
【分析】A，B选项，两个极值点问题，转化为导函数两个异号零点问题；通过复合函数换元，将导函数转化为对勾函数或二次函数，利用对勾函数和二次函数的图象与性质快速的求解；
C选项，解法1：先利用整体代入法，消，再利用单调性证明；解法2：利用为极小值点，通过证明；D选项，利用消元，转化为，利用单调性证明；
【详解】易知，令，则.令，则.设，由对勾函数的图象可知：当时，与的图象有两个交点，
因为，故不成立，故A错误；设，则①，
设为①式的两根，则，即②，③.
由③式可知，所以，则，故B正确；
解法1：由②式可知，令，
则，则在上单调递减，所以，故，所以不存在实数使得，故C错误；
解法2：，，，可得为区间的极小值点，则必有，故C错误；由③式可知，所以，
要证，
仅需证明成立.令，则.则在上单调递增，所以，故，故D正确.故选：BD.
4．（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若存在极大值，且极大值大于0，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求导后分析单调性，得到最大值即可；
（2）求导后，分和讨论单调性和极值，当时，构造函数，由导数分析单调性解抽象函数不等式可得.
【详解】（1）时，，，
时，；时，，所以在区间上单调递增，上单调递减，所以.
（2），
时，，在上单调递增，无极值；
时，时，；时，，所以在区间上单调递增，上单调递减，所以的极大值为，令，则，所以在区间上单调递增，由已知，所以，解得，综上，.
5．（2025·河南新乡·二模）已知函数.
(1)若在其定义域内单调递增，求的取值范围；
(2)若，证明：，；
(3)若在上有两个极值点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用函数在定义域内单调递增则函数的导数大于或者等于零恒成立，求解分离参数求解即可
（2）构造函数，求两次导，得到这个函数导函数的单调性，从而得到，则在上单调递增，得到，即当时，，所以，不等式得证.
（3）分情况讨论，当时，，则在上单调递减，无极值点.当时，由（1）知在上单调递增，无极值点.
当时，令，求导，对极值点的大小进行分析，再结合零点存在性定理取点证明有两个极值点即可.
【详解】（1）因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.设，则，则在上单调递增，在上单调递减，所以，则，即的取值范围为.
（2）证明：若，则.设，则，，则在上单调递减，在上单调递增，
则，则在上单调递增，所以，即当时，，所以，不等式得证.
（3）.当时，，则在上单调递减，无极值点.当时，由（1）知在上单调递增，无极值点.当时，令，令，得，则在上单调递减，在上单调递增，，，由（2）知，则，所以恰有两个零点，，令，得，令，得或，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，从而有两个极值点.综上，的取值范围是.
6．（2025·河南焦作·二模）已知函数．
(1)当时，证明；；
(2)当时，若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）先结合将放缩，再构造函数证明函数的最小值大于等于零.
（2）将在区间内有且仅有一个极值点，转化成导函数在区间内有且仅有一个变号零点，再结合不同的值去看是否满足.
【详解】（1）要证，即证．
当时，，∴我们可以考虑证明，令，则，易知在上单调递增，且，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴是的极小值点，也是最小值点，
故当时，，即，因此，当时，．
（2）由题可知，则．
若，当时，，∴，则在区间上单调递增，没有极值点，不符合题意，舍去．
若，设，则在区间上恒成立，∴在区间上单调递增，即在区间上单调递增，又，∴在区间上有唯一的零点，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴在区间内有唯一的极值点，符合题意．综上，实数的取值范围是．
7．（2025·江苏南通·二模）已知函数的最大值为，设函数的图象在点处的切线为．
(1)求的值；
(2)证明：当时，切线与函数的图象有另一交点，且.
【答案】(1)0；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数求出函数的最大值，进而求出的值.
（2）由（1）的信息求出切线的方程，再构造函数，利用导数结合零点存在性定理证得还有小于的零点即可.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，，而函数的最大值为，则，解得，所以的值为0.
（2）由（1）知，，，则，
于是切线的方程为，即，令，，求导得，令，求导得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
由，得，而，函数在上的图象不间断，
则存在，使得，且当或时，，当时，，
函数在和上单调递增，在上单调递减，又，
当时，，于是函数在上无零点，
，而，函数在上的图象不间断，
因此存在，使得，
所以当时，切线与函数的图象有另一交点，且.
8．（2025·山西吕梁·二模）已知函数.
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)（i）函数是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由；
（ii）证明：（，且）.
【答案】(1)
(2)（i）函数不存在极值，理由见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）（i）先利用导数分析函数的单调性，进而判断是否存在极值；
（ii）利用函数单调性可得，进而求证即可.
【详解】（1）由，得，则，又，
所以函数的图象在处的切线方程为，即.
（2）（i）函数不存在极值，理由如下：由，解得且，
所以函数的定义域为，由，则，
令，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即，所以在和上单调递减，则函数不存在极值.
（ii）由（i）知，函数在上单调递减，则对任意，，即，所以当时，，则，即，
所以，，，…，，
以上式子相加得，，
即（，且且时，等号成立），
9．（2025·江西新余·二模）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)设函数，讨论在区间上的单调性；
(3)若存在两个极值点，，且，证明：.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求解；
（2）求导，分，两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；
（3）由（2）结合零点存在性定理可得在和上各有一个零点，，且，是的两个极值点，再将极值点代入导函数中化简结合已知可得，，通过构造函数，证明，即得，得证.
【详解】（1）当时，，则，所以，，
所以切线方程为；，即.
（2）由，，
当时，，在上单调递增；
当时，令.
当时，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）由（2）知若存在两个极值点，则，且，
由过原点的切线方程为，则，则，即，
所以，，∴在和上各有一个零点，，且时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，单调递减.∴，是的两个极值点.
，
且，
∴，而，∴，
令，则，
所以在上单调递增，故，所以，令，
可得，即，即，，.
10．（2025·重庆·二模）已知函数 .
(1)设过点 且与曲线 过此点的切线垂直的直线叫做曲线在点 处的法线. 若曲线 在点处的法线与直线 平行，求实数的值;
(2)当时，若对任意，不等式 恒成立， 求的最小值;
(3)若存在两个不同的极值点且，求实数取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用导数求切线斜率即可得到等式求值；
（2）利用同构函数思想，结合函数的单调性，再用分离参变量求解即可；
（3）先分离参变量，再利用韦达定理消元，最后化成单变量函数进行最值分析即可求解.
【详解】（1）由得：，则，又由直线的斜率为，根据题意可知：；
（2）当时，不等式可化为，
变形为
同构函数，求导得，所以在上是增函数，而原不等式可化为，根据单调性可得：，
再构造，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以，即满足不等式成立的,所以的最小值为；
（3）因为存在两个不同的极值点所以由可得：
，，因为，而的对称轴是，所以可得，根据对称性可得另一个零点，此时有，
故，又由可得，
而
令，
则，
，即，，则，
即在区间上单调递减，
所以有，即，所以实数取值范围.
题型04 导数研究函数的零点、方程的根
1．（2025·云南曲靖·二模）已知函数，若该函数有且只有一个零点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可说明0为的唯一零点,然后求函数的导数，并令导数等于0，求得，根据导数的正负判断函数的单调性，说明，进而说明的最小值为，从而可得，结合对数的运算，求得答案．
【详解】由题意知函数有且只有1个零点，而，故0即为的唯一零点，因为，且，故 ，所以 有唯一解，令，则，
对于任意 ，都有，故在R上单调递增，
则时，，时，，
故函数在时单调递减，在时单调递增，故 ；
若，当时，， ，
则 ，因此当 且 时，，
此时在内有零点，则至少有两个零点，与题意不符；
故，则的最小值为，因为由题意知0为的唯一零点，故 ，
即，则，即值为1.故选：A
2．（2025·广东广州·二模）已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当时，对函数求导，对参数的取值进行分类讨论，大致画出分段函数的图象，再由数形结合即可得出实数的取值范围.
【详解】易知当时，函数单调递增，且;当时，函数，易知,显然当时，恒成立，即在上单调递增；
当时，；当时，，此时函数的图象大致如下图所示：
若函数恰有2个零点，即函数的图象与有两个交点，由上图可知；
当时，根据对勾函数性质可知，当且仅当时，等号成立；
此时其图象大致如下图：
显然函数的图象与没有交点，不合题意；综上可知，实数的取值范围是.故选：B
3．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】探讨给定函数的对称性及单调性，脱去法则“f”，构造函数，利用导数探讨函数的性质并作出图象，数形结合求得答案.
【详解】函数的定义域为R，且在R上单调递增，
，即，
方程，即，于是，即，令，依题意，直线与函数的图象有三个不同的交点，
求导得，当时，，
当时，，函数在上递减，在上递增，
当时，取极小值；当时，取极大值为，
而当或时，恒有，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，
观察图象得，原方程有三个不同实根，所以实数的取值范围为，故选：A
4．（2025·辽宁·二模）设函数与函数，当，曲线与交于一点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】由题意得，即，构造函数，则，求出单调区间和最值，再利用其单调性可求得结果.
【详解】由题意得，即，所以，所以，
令，则，，
由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，
所以，所以当时，，当时，，
当时，，所以，所以，所以，因为在上递增，所以，所以.故选：D
5．（2025·山东·二模）若函数与的图象在第一象限内有公共点，则实数的取值范围为 .
【答案】或
【分析】将题设条件转化为函数与函数的函数图象有交点，再利用导数工具研究函数的图象性质即可得解.
【详解】若函数与的图象在第一象限内有公共点，则方程在上有解，即方程在上有解，显然不是方程的解，所以方程在上有解，则函数与函数的函数图象有交点，又，所以时，，时，，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，又时，时；时，；时；所以或.
6．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数的零点可得，再结合指、对数性质分析可知方程有根，方程无根，结合图象即可得结果.
【详解】当时，可得；当时，可得，当且仅当时，等号成立，即函数有且仅有1个零点1，若函数有零点，则，
显然，可得，假设方程有根，可知方程有两个不相等根，设为，且，则，可得，即，假设方程有根，可知方程有且仅有1个根，设为，结合题意可知：方程有根，方程无根，即与无交点，与有2个交点，
结合图象可知：或，解得或，所以实数的取值范围是.
7．（2025·江西九江·二模）已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】解法一：先通过等价变形将函数的三个零点转化为函数有三个零点；再根据奇函数的定义得出函数是上的奇函数，进一步将条件转化为在上有一个零点；最后求出，分类讨论，利用导函数和零点存在性定理判断出函数的单调性即可求解.
解法二：先根据，为上偶函数，将题目条件转化为直线与函数的图象在上有一个交点；再利用导数判断出函数在上单调性，求出函数值域，即可求解.
解法三：先根据题意构造函数，，与都是上的奇函数，将题目条件问题转化为函数与在上恰有一个交点；再根据函数在上单调递增及导数的几何意义，数形结合即可解答.
【详解】解法一：.
，
的零点等价于函数的零点.
又函数定义域为，且
是上的奇函数，
只需要考虑在上有一个零点即可.
又函数在上单调递增，函数在上单调递增，
当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，的值域是.当时，，此时在上单调递增，，无零点，不符合题意；当时，，此时在上单调递减，，无零点，不符合题意；当时，由零点存在性定理知，必存在唯一的正数，使.
当时，，此时在上单调递增，，；
当时，，此时在上单调递减；又，，，，在上存在唯一零点，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
8．（2025·浙江金华·二模）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)极小值为，无极大值.
(2)或.
【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值.
（2）求出函数，利用导数探讨其单调性及极值，再按分类处理函数的零点为1个的条件求解.
【详解】（1）当时，函数的定义域为，
求导得，当时，，当时，，
所以当时，函数取得极小值，无极大值.
（2）函数的定义域为，求导得，
令，则，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，
①若，当时，，函数在有唯一零点；
当时，，函数在无零点，
因此当时，有唯一零点；
②若，当从大于0的方向趋近于0时，函数的值趋近于负数，
即当时，，函数在上无零点；
当从大于的方向趋近于时，函数的值趋近于正无穷大，
当趋近于正无穷大时，函数的值趋近于正无穷大，
则当且仅当，有唯一零点，由，得，即，
令，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，因此，
则方程有唯一解，于是时，有唯一零点，
所以实数的取值范围为或.
9．（2025·陕西渭南·二模）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积.
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用导函数求出切线斜率，结合切点坐标得到直线的点斜式方程，再计算与坐标轴围成三角形的面积；
（2）利用分离参数法，将零点个数转化成直线与函数图象交点个数，利用导函数分析函数单调性，得出函数的大致图象，数形结合即可得出结论；
（3）根据（2）小问中的结论，分类讨论得到实数的取值范围，最后取交集即可.
【详解】（1）当时，，所以.
又，所以，则切线方程为.
令得，令得，
所以切线与坐标轴围成三角形的面积为.
（2）由得，显然不是方程的解，所以.
设函数，则，
令得或；令得或.
所以在上单调递增，在和单调递减，在上单调递增.
又当时，，当时，，
当时，，当时，.
所以的大致图象如图：
若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个交点，
由图象可知，或，即的取值范围为.
（3）由得，显然当时，不等式恒成立.
当时，有恒成立，由（2）可得；
当时，有恒成立，由（2）可得.
综上，，即的取值范围为.
10．（2025·江西南昌·二模）已知.
(1)当时，求函数的单调区间：
(2)当时，求证：；
(3)当，试讨论函数的零点个数.
【答案】(1)减区间为，增区间内为
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）当时，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间；
（2）当时，分析得出，令，可得，结合（1）中的结论可证得；
（3）解法一：对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出函数在不同情况下的零点个数；
解法二：求得，令，令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出函数在不同情况下的零点个数；
解法三：将函数解析式变形为，设，则，则有，设，则，对实数的取值进行分类讨论，分析的符号变化，可得出的单调性，再结合零点存在定理可得出函数的零点个数.
【详解】（1）当时，，，
当时，，则在为增函数；
当时，，则在为减函数；
故当时，函数的减区间为，增区间内为.
（2）因为，当时，，所以，
当时，，所以，所以，
设，由（1）可知，所以不等式成立.
（3）解法一：，
设，此时，
则，
因为，所以，
则在为减函数，，
①当时，，结合在为减函数，
当时，在为增函数；
当时，在为减函数；
所以，所以，即在上为减函数，
又因为，所以只有一个零点；
②当时，，
所以存在，使得，
当时，，所以在上增函数；
当时，，所以在上减函数.
因为，则，当，
使得，
所以时，，即，即在为减函数；
当时，，即，即在为增函数；
当时，，即，即在为减函数；
当，又因为，所以.
所以使得，
在为减函数，所以，所以存在两个零点.
综上所述：当时，函数有1个零点；当函数有2个零点.
解法二：，
设，此时，
则，
设，所以，
①当时，此时，则，此时，
当时，在为增函数；
当时，在为减函数；
所以，所以，即在上为减函数.
又因为，所以只有一个零点；
②当，所以，设.因为，
因为时，所以存在，使得
当时，，即，所以在上增函数；
当时，，即，所以在上减函数.
因为，则，当，使得，
所以时，，即，即在为减函数；
当时，，即，即在为增函数；
当时，，即，即在为减函数；
当，又因为，所以.所以使得，
在为减函数，所以，所以存在两个零点.
综上所述：当时，函数有1个零点；当函数有2个零点.
解法三：，设，则，
则有，，设.
因为，所以，则在为减函数，，
①当，即，结合在为减函数
当时，在为增函数；当时，在为减函数；所以，所以，即在上为减函数.又因为，所以只有一个零点；
②当时，，所以存在，使得，
当时，，所以在上增函数；当时，，所以在上减函数.因为，则，当，
使得，所以时，，即，即在为减函数；当时，，即，即在为增函数；
当时，，即，即在为减函数；
当，又因为，所以.所以使得，
在为减函数，所以，所以存在两个零点.
综上所述：当时，函数有1个零点；当函数有2个零点.
题型05 导数研究不等式证明及恒成立
1．（2025·江苏南通·二模）已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先对求导，得出，再利用奇偶性构造关于和的方程组，进而求出的解析式，化简题中式子并参变分离得出，再构造函数，通过求导求其最小值即可.
【详解】因为偶函数，则①，对两边求导得，②，
在③中，用代替得④，由①②④可得，⑤，联立③⑤得，，则化简为，，令，则，则得；得，则在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为，故，则实数的取值范围是.故选：A
2．（2025·重庆·二模）已知函数，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分、和三种情况讨论，当时，利用导数法求得，从而将题意转化为恒成立的问题，构造函数，利用导数法研究单调性，即可求解的取值范围.
【详解】当时，，符合题意；当时，存在，使得，即，显然不满足题意；当时，由得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，由得，
设，则，所以在上单调递减，又，所以，综上，，即的取值范围是.故选：B
3．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，解得：，不满足条件；故，关于的不等式可得，所以，即，方程的两根为，当时，不等式可化为，，
解集为：，不满足条件；当时，不等式可化为，当时，则，即，不等式的解集为：，要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件；当时，则，即，不等式的解集为空集，
当时，则，即，不等式的解集为，要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：，故实数的取值范围是：.故选：B.
4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数在上单调，且在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可得函数在上单调递减，由在恒成立可得恒成立，据此可得答案.
【详解】因函数在上单调，又在上单调递减，
则函数在上单调递减，则.则时，，又，则恒成立，
则.故选：B
5．（2025·江西萍乡·二模）已知定义在上的函数满足：，且，都有恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，得到，通过换元，，求的最大值即可.
【详解】令，原不等式可化为：，代入，化简可得：，令，得到，
再令，可得：，由对勾函数的单调性，可知在上单调递减，所以当时，取得最小值，所以的最大值为，也即的最大值为，所以的最大值为，故选：A
6．（多选）（2025·安徽滁州·二模）已知函数，，，则（ ）
A．和的图象有且只有一条公切线
B．若恒成立，则整数的最大值为
C．若、均大于，则
D．关于的方程在区间内有解
【答案】BC
【分析】设直线为函数和的图象的公切线，设直线切函数于点，切函数于点，利用导数的几何意义可得出关于、的方程，解方程组可判断A选项；利用导数求出函数最小值的取值范围，可判断B选项；利用作差法可判断C选项；利用导数分析函数、在上的函数值符号，可判断D选项.
【详解】对于A选项，设直线为函数和的图象的公切线，设直线切函数于点，切函数于点，因为，则，所以，，切线方程为，即，因为，则，所以，，
切线方程为，即，所以，，消去可得，解得或，所以，和的图象有且只有两条公切线，A错；对于B选项，若，则，因为函数，其中，则，因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数，因为，，所以，存在，使得，即，可得，且当时，，当时，，
所以，函数的减区间为，增区间为，所以，，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，
所以，，由题意可得，故整数的最大值为，B对；
对于C选项，
，
因为、，则，，所以，，
所以，，
所以，，C对；对于D选项，当时，，则，
所以，函数在上单调递增，则，，则对任意的恒成立，所以，在单调递减，则，
当时，对任意的，，所以，关于的方程在区间内无解，D错.故选：BC.
7．（2025·广东深圳·二模）已知函数，函数图象上的一点，按照如下的方式构造切线：在点处作的切线，记切线与x轴交点的横坐标为．
(1)写出与的递推关系式；
(2)记的零点为r，且．
（i）证明：当时，；
（ii）证明：对于任意的，都有．
【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点处的切线方程，令即可求解；
（2）（i）易知当时，当时，利用导数和零点的存在性定理证明在上单调递增，进而，即可证明；（ii）由（i）知当时，令，只需证.令（），利用3阶导数研究的单调性可得，结合累乘法计算即可证明.
【详解】（1），，则函数在点处的切线方程为，令，得．
（2）（i）当时，，当时，，单调递增，
又因为，所以有唯一的零点，其中．
令，则，当时，，故在上单调递增．因为，所以．
因为在上单调递增，所以当时，，又因为，所以，即证得：当时，．
（ii）由（i）知：因为，从而，进而，
由此递推可知：当时，，令，
下面证明：对于任意的，都有成立，
即．
因为，所以只需证明，
即，令，其中，则，因为，
所以，故，从而在上单调递增，可知，故在上单调递增，因此，因为，故，即对于任意的，都有成立，由此可得：，所以对于任意的，都有．
8．（2025·山东滨州·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若时，恒成立，求实数的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)1
【分析】（1）求出导数，分类讨论，利用导数判断单调性；
（2）根据的单调性求得的最小值，则将恒成立问题转化为，构造函数，利用导数研究其值域得，进而得，即可得解.
【详解】（1）由题意的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递减，
当时，由解得，由解得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知当时，在上单调递增，在上单调递减.
所以函数的最小值为，所以恒成立，
整理得，令，则，
由解得，由解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又，所以，所以.
9．（2025·天津南开·二模）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)解关于的不等式（其中为的导数）.
【答案】(1)
(2)或.
(3)
【分析】（1）由导数的几何意义求出切点处的导数，再由点斜式方程写出切线方程即可；
（2）利用导数研究的单调性，求出，转化为解不等式即可；
（3）转化为，通过分类讨论构造函数，研究函数的性质解不等式.
【详解】（1），可得，又，所以曲线在点处的切线方程为.
（2）当时，，，所以，在上单调递减，
当时，令，因为，所以在上单调递增，
所以，即，所以在上单调递增，所以，
若恒成立，则，整理得，解得或.
（3）由得，即，
当时，，不等式成立；
当时，，不等式化为，
当时，不等式的左边右边，所以，
①当时，令，所以函数在上单调递减，所以，即，令，则单调递减；单调递增，所以，所以，故，
②当时，不等式化为，令，
，函数在上单调递增，所以，由，得，所以不等式成立，综上，不等式的解集为.
题型06 三次函数的图象及性质
1．（2025·安徽淮北·二模）函数的图像如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定的函数图象，确定零点及极值点情况，再结合函数式、导函数式分析判断作答.
【详解】观察图象知，，函数有3个零点，设3个零点为，
于是，当时，，而此时，因此，又，函数有两个极值点，且，即有两个不等实根，，因此，所以.故选：B.
2．（2025·河南·二模）若函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】法1：确定函数单调性，进而可求解，法2：分参，得到，确定的单调性，进而可求解.
【详解】法1：因为，令，解得或；令，解得，所以在上单调递增，要满足函数在区间内仅有一个零点，则，，解得.故选：C.
法2：由题意，关于的方程在内仅有一个解，而，，
令，解得或；即在上单调递增，原问题等价于.故选：C
3．（多选）（2025·辽宁·二模）已知函数，则（ ）
A．有三个零点
B．，使得点为曲线的对称中心
C．既有极大值又有极小值
D．，，
【答案】BCD
【分析】结合零点的定义分析可得当时，函数只有2个零点，即可判断A；利用检验判断B；求导，分析函数的单调性即可判断C；举特例判断D.
【详解】对于B，对于A，令，解得或，当时，函数只有2个零点，故A错误；对于B，，
则，
又，要使点为曲线的对称中心，
则对，，此时，所以当时，点为曲线的对称中心，故B正确；对于C，由，则，由于，则方程有两个不相等的实数根，设，则或时，；时，，则函数在和上单调递增，在上单调递减，则函数在取得极大值，在取得极小值，故C正确；对于D，当时，，此时，，故D正确.故选：BCD.
4．（多选）（2025·辽宁丹东·二模）已知函数在处有极值，则（ ）
A．在上单调递增 B．的极大值为
C．直线是曲线的切线 D．
【答案】ACD
【分析】利用极值点可求得，由此可求导得到单调性和极大值，知AB正误；利用导数几何意义可确定C正确；根据解析式可求得D正确.
【详解】，在处有极值，，解得：；
当时，，，当时，；当时，；在，上单调递减，在上单调递增；对于A，当时，，则在上单调递增，A正确；
对于B，的极大值为，B错误；对于C，令，解得：或，又，在处的切线为，C正确；
对于D，，D正确.故选：ACD.
5．（多选）（2025·山东临沂·二模）设函数，则（ ）
A．有3个零点
B．过原点作曲线的切线，有且仅有一条
C．与交点的横坐标之和为0
D．在区间上的取值范围是
【答案】BC
【分析】利用导数研究函数的性质，如切线，单调性，从而确定零点和值域，通过直接解方程求根判断图象交点横坐标之和即可.
【详解】，
0 0
单调增 单调减 单调增
，所以有2个零点，A不正确；
对于选项B：设切点为，则切线方程为，
代入原点，得，
故切线有且仅有一条，正确；对于选项C：或，
若，根据对称性知，根之和为0，若，方程只有一个根为0，故正确；
对于选项D：，又，故在区间上的取值范围是，错误.故选：BC.
6．（多选）（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数满足，，则（ ）
A．
B．对于任意，有三个零点
C．对于任意，有两个极值点
D．存在，使得点为曲线对称中心
【答案】AB
【分析】根据，即可判断A；由A选项知，，利用导数求出函数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可判断B；举出反例，结合极值点的定义即可判断C；要使点为曲线对称中心，则为定值，由此即可判断D.
【详解】对于A，由，，可得，即，故A正确；对于B，由A选项可得，则，则，
当时，令，则，令，则或，
令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，由，可得，而，所以，又当时，，当时，，
所以函数在和都存在一个零点，所以对于任意，有三个零点，故B正确；对于C，当时，，则，
由，得恒成立，所以函数在上单调递增，所以函数无极值点，故C错误；对于D，要使点为曲线对称中心，则为定值，而，
因为为定值，所以，解得，所以不存在，使得点为曲线对称中心，故D错误.
7．（多选 ）（2025·山西吕梁·二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数有两个极值点、，则
B．函数至少有一个极值，且极小值为
C．使得方程有三个不相等的实数根
D．若函数的极大值点为，且，则
【答案】ABD
【分析】对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性与极值，逐项判断即可.
【详解】因为，则该函数的定义域为，且，
对于A选项，若函数函数有两个极值点、，则方程有两个不等的实根、，所以，，由韦达定理可得，A对；对于B选项，当时，，则，
由可得，由可得，此时，函数的减区间为，增区间为，此时，函数的极小值为；当时，由可得或，由可得，此时，函数的增区间为、，减区间为，
此时，函数的极小值为；当时，由可得，由可得或，此时，函数的减区间为、，增区间为，此时，函数的极小值为.综上所述，函数至少有一个极值，且极小值为，B对；
对于C选项，由B选项可知，当时，，此时函数没有零点；当时，因为函数的增区间为、，减区间为，则当时，，此时，函数在无零点，故函数至多一个零点；当时，函数的减区间为、，增区间为，则当时，，此时，函数在上无零点，故函数至多一个零点.综上所述，不存在实数，使得函数有三个零点，C错；对于D选项，由B选项可知，若函数的极大值点为，则，且，因为，即，整理可得，
所以，，整理可得，即，所以，，即，D对.故选：ABD.
8．（2025·江西南昌·二模）已知.不等式的解集为且，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的极大值点为1
B．函数的对称中心为
C．过点可作一条直线与曲线相切
D．当时，
【答案】BCD
【分析】根据不等式的解集与方程的解之间的联系求得，结合导数和极值点的概念即可判断A；根据函数的对称性验证即可判断B；根据导数的几何意义即可判断C；利用作差法计算即可判断D.
【详解】A：因为不等式的解集为且，即不等式的解集为且，所以方程的根为和（二重根），得，即，所以，则，得，令，或，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以是的极大值点，故A错误；
B：由选项A知，则，所以，即的一个对称中心为，故B正确；
C：由选项A知，设过点的切线方程为，设切点为，则，，得，整理得，即，解得，此时切点为，不符题意，所以过点只能作一条直线与曲线相切，故C正确；
D：令，当时，则，只需.而，由，得，即，所以，故D正确.故选：BCD
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