2025-2026学年高一数学北师大版必修二单元测试 第二章 平面向量及其应用（含解析）

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2025-2026学年高一数学北师大版必修二单元测试 第二章 平面向量及其应用
一、选择题
1．已知向量,,且,则x的值是( )
A.1 B. C.2 D.
2．已知,,且,则x等于( )
A.4 B. C.2 D.
3．已知直线的一个方向向量为,则实数m的值为( )
A. B. C.2 D.
4．已知向量,,,若,则m等于( )
A. B. C. D.
5．已知空间单位向量的夹角为,则( )
A. B. C.1 D.
6．已知向量，，，则x的值为( )
A. B. C.1 D.2
7．在中，，，，则( )
A. B. C.或 D.或
8．已知P是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．若是一组基底，则下列各组向量中，可以作为基底的有( )
A. B. C. D.
10．已知点和,点P在x轴上,且为直角,求点P的坐标( )
A. B. C. D.
11．在中，已知，，，则角A的度数为( )
A. B. C.30° D.
12．已知点，，，若，的夹角为锐角，则的值可能为( )
A. B.4 C.6 D.8
三、填空题
13．若向量，，且，则________.
14．已知平面向量,,若,则______________．
15．记的内角的对边分别为,若,,,则___________．
16．已知单位向量a，b的夹角为，与a垂直，则_____________.
四、解答题
17．化简下列各式：
（1）；
（2）.
（3）.
18．已知向量,.
(1)若,,,求证：A、C、D三点共线.
(2)已知,若,且,求k的值；
19．在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知,,.
（1）求c的值;
（2）求的值;
20．设两个向量满足.
（1）若,求的夹角;
（2）若的夹角为,向量与的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
21．已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，设，求证：
(1)三角形面积；
(2)三角形面积.
22．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，点D在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
参考答案
1．答案：D
解析：因,,且,则.
故选：D.
2．答案：C
解析：,,且,
,
解得,
故选：C．
3．答案：C
解析：因为直线的一个方向向量为,可得直线的斜率为2,即.
故选:C.
4．答案：A
解析：因为,,所以,又,,
所以,解得.
故选：A.
5．答案：D
解析：因为向量是单位向量,且两向量的夹角为,则,
所以,
故选:D.
6．答案：C
解析：因为向量，，则，
所以，解得.
故选：C.
7．答案：D
解析：在中，，，，
由正弦定理得，
由，得，则，
所以或.
故选：D
8．答案：A
解析：解法一：如图，过点P作直线于，
过点C作直线于，
过点F作直线于，
，
当为锐角时，，
当为钝角时，，
所以当点P与C重合时，最大，此时，
当点P与F重合时，最小，此时，
又因为点P是正六边形内的一点，所以.故选A.
解法二：连接，以A为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为y轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设，则.
，，则，故选A.
9．答案：ABD
解析：对于A，由已知是一组基底，则与不共线，
设，则，无解，
所以不存在实数a使得，即与不共线，
所以可以作为一组基底，故A正确；
对于B，设，则，无解，
所以不存在实数b使得，即与不共线，
所以可以作为一组基底，故B正确；
对于C，，即与共线，
所以不可以作为基底，故C错误；
对于D，设，则，无解，
所以不存在实数c使得，即与不共线，
所以可以作为一组基底，故D正确；
故选：ABD.
10．答案：AD
解析：设,则,,
为直角,
,即,解得或6,
所以点P的坐标为或.
故选:AD.
11．答案：AB
解析：由正弦定理可得，，
，或
故选：AB.
12．答案：CD
解析：由题意知，，，的夹角为锐角，
，且，解得且，
故的取值范围为.选项C、D符合题意.
故选：CD.
13．答案：/0.8
解析：，，
得，
则.
故答案为：
14．答案：
解析：,,
解得．
故答案为：．
15．答案：
解析：由正弦定理可得,
则,即.
故答案为：.
16．答案：
解析：由题意得，又单位向量a，b的夹角为，
所以，即.
17．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）.
（2）
.
（3）
.
18．答案：(1)证明见解析
(2).
解析：(1)因为,
=2,
所以2,,
有公共点D,从而A、C、D三点共线.
(2),因为,所以,
解得.
19．答案：（1）;
（2）
解析：（1）因为,,,
由余弦定理得,,解得;
（2）由,,得,
由正弦定理,得,解得;
又,由正弦定理得.
20．答案：（1）
（2）且
解析：（1）
又
即
又
（2）的夹角为且
向量与的夹角为钝角
且与不共线
即
解得:且
实数t的取值范围且
21．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：（1）
证明：过点A作垂足为D，，.
（2）
.
.
22．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：由题设得，
在中，由正弦定理知，即，
代入中，得，
又，.
（2）解法一：由得，，
在中，，
在中，.
故，
化简得，又，所以，
即，
所以或.
当时，，
所以，此时，
故a，b，c构不成三角形；
当时，，所以，
此时a，b，c可以构成三角形，
故，，所以在中，
.
解法二：同解法一得到或.
当时，，，
由余弦定理得；
当时，，，
由余弦定理得（舍）.
综上，.
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