2025-2026学年高一数学北师大版必修二单元测试 第六章 立体几何初步（含解析）

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2025-2026学年高一数学北师大版必修二单元测试 第六章 立体几何初步
一、选择题
1．已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱与底面所成的角为，则此四棱台的体积为( )
A. B. C. D.
2．已知圆锥的母线长为6，侧面积为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
3．如图,在长方体中,,,则四棱锥的体积为( )
A.2 B.4 C.6 D.10
4．已知某圆柱的高为,底面半径为1,且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上,则球的表面积为( )
A. B. C. D.
5．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
6．已知某圆台的高为6，上底面半径为2，下底面半径为10，则此圆台的表面积为( )
A. B. C. D.
7．在空间中，a，b，c是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.如果，，那么
B.如果，，，，那么
C.如果，，，，那么
D.如果，，，则
8．已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．如图,P为平行四边形所在平面外一点,Q为的中点,O为与的交点,下列说法正确的是( )
A.平面 B.平面
C.平面 D.平面
10．在正方体的8个顶点中任意取4个不同的顶点,则下列说法正确的是( )
A.存在四个点,使得这四个点构成平行四边形
B.存在四个点可以构成正四面体
C.不存在这样的四个点,使得构成的四面体每个面都是直角三角形
D.存在有三个面是直角三角形、一个面是等边三角形的四面体
11．已知直线m,n和平面,,则下列命题中真命题是( )
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,则
D.若,,,则
12．如图，某沙漏（由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成）由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部圆锥中时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下的细沙，且细沙全部漏入下部圆锥中后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，以下结论正确的是( )
A.沙漏中的细沙体积为
B.沙漏的体积是
C.细沙全部漏入下部圆锥中后所得圆锥形沙堆的高度约为
D.该沙漏的一个沙时大约是1565秒（）
三、填空题
13．若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形,则该圆锥的表面积为__________．
14．已知圆台的侧面积与轴截面的面积之比为，若上、下底面的半径分别为1和2，则母线长为________.
15．一个封闭的正三棱柱容器的高为，内装水若干(如图(1)，底面处于水平状态).将容器放倒(如图(2)，—个侧面处于水平状态)，若此时水面与各棱的交点E，F，，分别为所在棱的中点，则图(1)中水面的高度为________.
16．在空间直角坐标系中，点，，，则三棱锥的体积为________.
四、解答题
17．如图所示,在四棱锥中,底面ABCD是边长为a的菱形,且,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.
（1）若G为AD边的中点,求证:平面PAD;
（2）求证:.
18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，E为线段的中点，F为线段上的动点.求证：平面平面.
19．如图,四面体中,E是的中点,点F在上,平面,平面与平面的交线为l,,,证明：
(1)；
(2)平面平面.
20．如图,在四棱锥中,底面为正方形,E,F分别为,的中点,求证:直线平面.
21．如图,在四棱锥中,底面为正方形,E,F分别为,的中点,求证:直线平面.
22．如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点M为上的点，且.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)平面与侧棱相交于点E，求的值.
参考答案
1．答案：A
解析：如图，S，O分别为上底面和下底面的中心，连接，
则⊥底面，过点作⊥于点T，则底面，
因为上、下底面边长分别为2和4，所以，
故，，
，因为棱与底面所成的角为，
则，故，则，
故该正四棱台的体积为.
故选：A.
2．答案：C
解析：设圆锥的底面圆半径为，母线长，
由题意知，解得.
所以圆锥的高，
故圆锥的体积为.
故选：C.
3．答案：B
解析：因为长方体,底面,,,
所以四棱锥的体积,
故选:B
4．答案：C
解析：易知圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心O,且O与底面圆心的连线垂直底面.圆柱底面半径为,
高为,则球心到底面的距离.底面圆周上一点到球心的距离为球的半径R,
由勾股定理得,则球O的表面积.
故选:C.
5．答案：C
解析：这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即，
所以，这个球的表面积为.
故选：C.
6．答案：D
解析：圆台的上底面的半径为r，下底面的半径为R，高为h，
母线长为l，，
所以圆台的表面积
.
故选：D
7．答案：D
解析：对于A，在如图所示的正方体中，
设，，，
则，，但a不平行于b，所以A选项错误；
对于B，根据面面平行的判定定理知，缺少这个条件，所以B选项错误；
对于C，如图，设为平面，为平面ABCD，
，，易知，，，，
但a不垂直于，所以C选项错误；
对于D，因为，所以存在，
使得，又，，
所以，所以，故D选项正确.
故选：D
8．答案：A
解析：如图，由圆台上、下底面面积分别是、，
得上底面半径，下底面半径.侧面积是，
得，得，在直角三角形中，
，高，
所以.
故选：A.
9．答案：ABD
解析：因为O为平行四边形对角线的交点,所以O为的中点,
又Q为的中点,所以,
又平面,平面,所以平面,A选项正确；
同理平面,平面,所以,B选项正确；
由四边形为平行四边形,所以,平面,平面,故平面,故D正确；
又与平面相交于点P,故C错误；
故选：ABD.
10．答案：ABD
解析：对于A,如图四边形为平行四边形,所以A正确,
对于B,四面体是正四面体,所以B正确,
对于C,如图四面体中,,,,,故每个面都是直角三角形,所以C不正确,
对于D,如图四面体中,,,均是直角三角形、为等边三角形,所以D正确,
故选:ABD.
11．答案：BD
解析：若,,m与的位置关系可以是平行,相交或在面内,所以A选项错误;
若,则m的方向向量是的法向量,因为,n的方向向量与m相同,故,所以B选项正确;
若,,m与的位置关系可以是平行或在面内,所以C选项错误;
若,则m的方向向量与的法向量平行,因为,的法向量与的法向量垂直,
所以m与的法向量垂直,故或,又因为,则,所以D选项正确.
故选:BD.
12．答案：AC
解析：对于选项A，根据圆锥的截面图可知，当细沙全部在上部圆锥中时，
细沙的底面半径与圆锥的底面半径的比值等于细沙的高与圆锥的高的比值，
所以细沙的底面半径，
所以细沙的体积，A正确；
对于选项B，沙漏的体积，B错误；
对于选项C，设细沙全部漏入下部圆锥中后所得圆锥形沙堆的高度为，
根据细沙的体积不变可知，即，解得，C正确；
对于选项D，因为细沙的体积为，沙漏每秒钟漏下的细沙，
所以该沙漏的一个沙时为（秒），D错误.
故选AC.
13．答案：
解析：设圆锥轴截面正三角形的边长是a,
因为正三角形的面积为,
所以,,
所以圆锥的底面半径,
圆锥的母线,
这个圆锥的表面积是：
故答案为：．
14．答案：2
解析：设圆台的母线长为l，高为h，则，
因为圆台上、下底面的半径分别为1和2，
所以圆台的侧面积，轴截面面积，
由已知，化简得，所以，解得.
故答案为：2.
15．答案：
解析：设正三棱柱的底面积为S，图(1)中水面的高度为h，则水的体积.
因为E，F，，分别为所在棱的中点，所以，，
所以图(2)中水的体积.
又，所以.
故答案为：
16．答案：
解析：因为点O是坐标原点，点，点的x坐标均为0，
所以O，A，B三点均在平面内
因为，点到的距离为1，所以的面积为，
点到平面的距离为2，所以.
故答案为：.
17．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）连接,
在菱形ABCD中,,
为等边三角形,
又G为AD的中点,
.
又平面平面ABCD,平面平面,
平面PAD.
（2）如图,为正三角形,G为AD的中点,.
由（1）知,,平面PGB,
平面PGB,.
18．答案：证明见解析
解析：第1步：证平面
在中，，E为的中点，所以.
在正方形中，.
因为平面，平面，所以.
又，，平面，所以平面.
第2步：证平面
因为平面，所以，
又，，，平面，所以平面，
第3步：证平面平面
又平面，所以平面平面.
19．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)证明：因为平面,平面平面,平面,所以,
又平面平面,平面,所以,
所以.
(2)证明：,,,
,F是的中点,
又,,平面,平面,
平面,平面平面.
20．答案：证明见解析
解析：取的中点G,连接AG,FG.
因为F为的中点,所以且,
因为底面为正方形,E为中点,所以且,
所以且,所以四边形为平行四边形,所以.
因为平面,平面,
所以直线平面.
21．答案：证明见解析
解析：取的中点G,连接.
因为F为的中点,所以且,
因为底面为正方形,E为中点,所以且,
所以且,所以四边形为平行四边形,所以.
因为平面,平面,
所以直线平面.
22．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)2
解析：（1）连接，
在中，，，且，
又，，且，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）得，又平面，平面，
平面，
在中，，，，
又平面，平面，平面，
又因且，均在平面中，
平面平面.
（3）由（1）知，又面，面，
平面，又平面，面面，
，又，，.
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