2025-2026学年高一数学北师大版必修二课时作业 正弦函数和余弦函数的概念及其性质（含解析）

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2025-2026学年高一数学北师大版必修二课时作业 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
一、选择题
1．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数m的值为( )
A.5 B. C. D.
2．的值为( )
A. B. C. D.
3．角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.0
4．若角的终边经过点，则的值为( ).
A. B. C. D.
5．已知角终边上一点,则( )
A. B. C. D.
6．已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7．已知,则( )
A. B. C. D.
8．已知,则( )
A.0 B.1 C. D.0或
二、多项选择题
9．在平面直角坐标系中，角的顶点在原点O，以x轴的正半轴为始边，终边经过点，则下列各式的值恒大于0的有( )
A. B. C. D.
10．下列说法正确的有( )
A.正角的正弦值是正的，负角的正弦值是负的，零角的正弦值是零
B.若某一三角形的两个内角，满足，则此三角形必为钝角三角形
C.对任意的角，都有
D.对任意的角，，都有
11．已知，则下列命题中，真命题的是( )
A.若，则是等腰三角形
B.若，则是直角三角形
C.若，则是钝角三角形
D.若，则是等边三角形
12．已知角和的终边关于x轴对称，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题
13．已知角的终边经过点，且，，则实数a的取值范围是___________.
14．已知角的终边上有一点,则的值为______________.
15．已知角的终边经过点,则__________________.
16．设函数，若在上有且只有一个极值点，且，则________．
四、解答题
17．已知向量,,设函数,.
（1）求的最小正周期;
（2）求的单调递增区间;
（3）设,且,,求的值.
18．已知函数（，）的最小正周期为，且.
（1）求函数的解析式并分别写出取最大值与最小值时相应x的取值集合；
（2）求函数，的单调递减区间.
19．设函数在上的值域为,则的取值范围是______.
20．已知角的终边在函数,的图象上,求,和.
21．“三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系.三角函数线经常可以理解为将单位圆上一点的坐标分别看作这点所在角的余弦和正弦这样在解决和同一个角的余弦与正弦的方程或不等式或函数问题时可以把余弦与正弦还原成单位圆上一个点的坐标，通过几何意义来解决相关问题.例如要求的取值范围，只需设，即，使该条直线与单位圆的有公共点时在y轴截距的取值范围即可.
(1)当设时，利用上述内容求的取值范围；
(2)利用恒等式和，求和的最小值；
(3)已知：若，，则有.现有实数x，y满足，求二元函数的最大值.
22．已知函数（其中a为常数）
(1)求的单调递减区间;
(2)若时,的最大值为4,求a的值;
(3)在(2)条件下方程在上有两个不相等的实数解,,求m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意可得，则.
故选：C.
2．答案：A
解析：
,
故选：A.
3．答案：D
解析：因为角的终边经过点，
则，.
所以
故选：D
4．答案：A
解析：.
5．答案：A
解析：设角的终边过,则有.
.
故选:A.
6．答案：B
解析：由题意知，，则，
因为，所以，又因为在区间上单调，
所以，解得，则的最大值为.
故选：B.
7．答案：D
解析：因为,
所以,
所以,
故选:D.
8．答案：A
解析：因为,则,
所以,.
故选:A.
9．答案：AB
解析：由题意知，，.
所以，，，符号不确定.故选AB.
10．答案：BD
解析：对于A，正角和负角的正弦值可能是正的，可能是负的，也可能是0，故A错误；
对于B，因为，，，所以，，即，
所以三角形必为钝角三角形，故B正确；
对于C，当，异号时，等式不成立，故C错误；
对于D，因为，的符号相同，所以，故D正确.故选BD.
11．答案：CD
解析：对于选项，
利用诱导公式，整理得或，
所以或，
故为等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于选项，整理得或，
故，或，故错误；
对于选项，必有一个负值，
假若为A，则，
所以，故为钝角三角形，故正确．
对于选项：由于，
所以，
故，
整理得，
所以为等边三角形．
故正确．
故选：．
12．答案：AC
解析：因为角和的终边关于x轴对称，
可得，.
对于A，由，A正确；
对于B，由，B错误；
对于C，由，C正确；
对于D，由，D错误.
故选：AC
13．答案：
解析：
14．答案：
解析：由题可得,,
所以.
故答案为：.
15．答案：
解析：设坐标原点为O,
由题意可得：,,,
故.
故答案为：.
16．答案：
解析：，
且在上有且只有一个极值点，得，
所以，
解得．
故答案为：．
17．答案：（1）
（2）,
（3）
解析：（1）由题意可知:
,
由,
得的最小正周期为.
（2）由（1）知意,
令,,
即,.
所以的单调递增区间为,.
（3）由题意
,
又,所以,
又,
则,即.
又,即
所以,即,
故x的值为.
18．答案：（1）；取得最小值，此时x的取值集合为；取得最大值2，此时x的取值集合为
（2），
解析：（1）的最小正周期为，
最小正周期，，
又，.
，，
又，.
.
当，即时，取得最小值，
此时x的取值集合为.
当，即时，取得最大值2，
此时x的取值集合为.
（2）依题意.
若单调递减，则，，
即，.
，令，，
得其单调递减区间为，.
19．答案：
解析：函数的周期,而,
当函数在上单调时,,
当函数在上不单调时,由正弦函数的图象性质知,
当在上的图象关于直线对称时,最小,
此时,,即,,
因此
,
所以的取值范围是.
故答案为:
20．答案：,,
解析：在函数,的图象上任取一点,
由任意角的三角函数的定义可得：,
,.
21．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)因为，
可设，
所以，所以，
又，为x轴上方的半圆，
故直线与，有公共点，
所以，
所以，
又直线过点时，，
又直线在y轴上的截距为-t，所以，
所以的取值范围为；
(2)设，
则，则，
由(1)可得，
所以的最小值为；
当时，
，
表示点到点和的距离之和，
所以.
当时，
，
表示点到点和的距离之差，
所以.
的最小值为.
(3)因为，
故，
故，同理.
由已知得若，
则有.
令，则，
且；
设，
由
，
所以
，
所以可得
，
其表示点
到点和的距离之差再加上，
所以，
当且仅当，
即，
此时满足.
22．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)由,,
解得,.
函数的单调减区间为.
(2),,
.
的最大值为,
.
(3)由(2)得：
.
又,,
,,
.
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