4.2.1线段的垂直平分线(第1课时)课件（14张PPT）青岛版八年级数学上册

(共14张PPT)
4.2 线段的垂直平分线
（第一课时）
学习目标
1.线段是轴对称图形吗 为什么 对称轴是什么
1.线段是轴对称图形吗 为什么 对称轴是什么
1.经历探索线段的轴对称性的过程，理解线段的垂直平分线的概念。
2.探索并证明线段垂直平分线的性质定理。
3.理解“将军饮马”，会求直线两侧两点间的最短距离。
探究新知(一) 1.如何验证线段AB是轴对称图形呢 对称轴是什么 2.直线MN与线段AB有怎样的关系
直线MN 垂直且平分 线段AB。
在纸上画一条线段AB,将这张纸折叠，使A、B两点重合，将纸展开后铺平，把折痕记为MN，折痕与线段AB 的交点记为O。
新知生成(一)
线段的垂直平分线
垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的
垂直平分线。
线段垂直平分线有什么性质呢 怎样证明 直线上任一点的特征
①当点P在线段AB上
则恰为MN 与AB 的交点，故PA=PB
②当点P不在线段AB 上
.'PO⊥AB
∴∠POA=∠POB=90°
在△PAO和△PBO中，
∴△PAO≌△PBO(SAS)
∴PA=PB
探究新知(二)
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到线段两端
的距离相等。
∵ MN⊥AB, AO=BO
( 或：MN 是线段AB 的垂直平分线)
∴PA=PB
思考：线段垂直平分线的性质有什么作用
新知生成(二)
练习： 如图， DE 是△ABC 的边AB 的垂直平分线，垂足为E ,
并交BC 于点D。
6
( 1 ) 若AD=6cm, 则BD= cm。
( 2 ) 若AC=8cm,BC=10cm, 则△ACD 的周长为 cm。
学以致用
6
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例1:海伦是古希腊的一位数学家。相传一位将军曾向他请教过一个问题：
“我每天策马往返于河岸同侧的两个边防站之问，途中要到河边让马
饮水。怎样走才能使路径最短呢 此问题也叫“将军饮马问题”。
数学问题：
己知A,B两点在直线l的同侧，在直线l上求作一点P, 使AP+BP值最小。
学以致用
己知A,B两点在直线l的同侧，在直线l上求作一点P, 使AP+BP值最小。
A
P
P
Bd
①两点之间线段最短
②垂线段最短
交流展示
垂线段gsp
直角.gsp
垂直平分线gsp
垂足中点.gsp
l
A
Be
在直线上另外任取一点P', 连接BP'、AP′、B'P'.
同 理BP′=B'′P'
∵AP'+B'P>AB',
∴AP'+B'P'>AP+BP
∴AP+BP 的值最小。
【推理论证】:如何证明AP+BP最短呢
解：∵点B、B '关于直线I对称，
∴I是BB 的垂直平分线。
∴BP=B'P.
∴AP+BP=AP+B'P=AB'.
学以致用
轴对称gsp
作对称：过1做B的对称点B′
线段垂直平分线性质
线段转化：BP+PA=BP+PA
问题转化：求BP+PA 的最小值
两点之间线段最短
问题解决：连接B′A,交I于点P
直线1是线段BB'的垂直平分线。 利 用线段垂直平分线性质将
“折线路径”转 化 为 “直线路径”
·A
B
P
L
B
思维澄清
7 7
1.如图，点P,C,D是线段AB 的垂直平分线MN 上的任意三点，分别连接 AP,BP,AC,BC,AD,BD,指出图中相等的线段。
2.如图，在△ABC 中 ，AB=5,AC=7, 直线DE 垂直平分BC, 垂足为点E, 交AC于点D, 连接BD 。求△ABD 的周长。
达标练习
(第2题)
(第1题)
1.线段是轴对称图形吗 对称轴是什么
2.线段垂直平分线有怎 样的性质
3.线段垂直平分线的性 质有什么作用
角、 等腰三角
形、圆 …
轴对称图形
线段
轴对称的
基本性质
转化线段
探究清单
课堂小结
你有哪些收获
将军饮马问题
垂直平分线
必做题：课本103 页1、2题。
实践作业： 查阅资料，寻找 “将军饮马” 问题(最短路径原理)
在现实世界中的具体应用，用照片、绘图或文字说明记 录下来!
课后作业