第3章 勾股定理 习题课件（34张PPT） 数学苏科版八年级上册

(共34张PPT)
第3章　勾股定理
一、选择题(每小题6分,共42分)
1.(2025江苏常州武进月考)在下列条件中,△ABC不是直角三
角形的是 ( )
A.b2=a2-c2
B.a2∶b2∶c2=1∶3∶2
C.∠A+∠B=∠C
D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
D
解析 A.∵b2=a2-c2,∴b2+c2=a2,∴△ABC是直角三角形;
B.∵a2∶b2∶c2=1∶3∶2,∴a2+c2=b2,∴△ABC是直角三角形;
C.∵∠A+∠B=∠C,∴∠C= ×180°=90°,
∴△ABC是直角三角形;
D.∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,
∴∠A=45°,∠B=60°,∠C=75°,
∴△ABC不是直角三角形.故选D.
2.(2025江苏无锡江阴期中)下列各组数中,是勾股数的是( )
A.6,8,12　 B.0.6,0.8,1 C.8,15,16　 D.9,12,15
D
解析　∵62+82≠122,∴6,8,12不是一组勾股数;
∵0.6,0.8不是正整数,∴0.6,0.8,1不是一组勾股数;
∵82+152=172≠162,∴8,15,16不是一组勾股数;
∵92+122=152,且三个数均是正整数,∴9,12,15是一组勾股数.
故选D.
3.已知一个直角三角形的两边长分别为12和13,则第三边长的
平方是 ( )
A.25　 B.5 C.313　 D.25或313
D
解析　①当12和13为直角边长时,斜边长的平方=122+132=
313;②当13为斜边长时,第三边长的平方=132-122=25.
∴第三边长的平方是25或313.故选D.
4.(2023天津中考)如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,
大于 AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交
于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若
BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为 ( )
A.9　 B.8　 C.7　 D.6
D
解析　根据题意,得MN是AC的垂直平分线,
∴AC=2AE=8,DA=DC,∴∠DAC=∠C.
∵BD=CD,∴BD=AD,∴∠B=∠BAD.
∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC=180°,
∴2∠BAD+2∠DAC=180°,∴∠BAD+∠DAC=90°,
∴∠BAC=90°.
在Rt△ABC中,∵BD=CD,AD=5,∴BC=2AD=10,
∴AB2=BC2-AC2=102-82=36,∴AB=6.故选D.
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,已知BC=5,AB=13,点D是斜
边AB上的动点,则CD长的最小值为 ( )
A. 　 B. 　 C. 　 D.
A
解析　在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=5,AB=13,
∴AC2=AB2-BC2=132-52=144,∴AC=12.
当CD⊥AB时,CD的长最小,为 = = .故选A.
6.将一根长24 cm的筷子置于底面直径为15 cm,高8 cm的圆柱
形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的取值范围
是 ( )
A.h≤17　 B.h≥8
C.15≤h≤16　 D.7≤h≤16
D
解析　如图1所示,当筷子的底端在D点时,筷子露在杯子外面
的长度最大,
∴h最大=24-8=16(cm),

如图2所示,当筷子的底端在A点时,
筷子露在杯子外面的长度最小,
图1　 　 图2
在Rt△ABD中,AD=15 cm,BD=8 cm,
∴AB= = =17(cm),
∴h最小=24-17=7(cm),
∴h的取值范围是7≤h≤16.
故选D.
7.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,BC=10,BD平分∠ABC,若
P,Q分别是BD,AB上的动点,则PA+PQ的最小值是 ( )
A.2.4　 B.4.8 C.4　 D.5
B
解析
如图,作点Q关于直线BD的对称点Q',∵BD平分∠ABC,
∴点Q'在BC上,连接PQ',则PA+PQ的最小值即为PA+PQ'的
最小值,∴当A,P,Q'三点共线且AQ'⊥BC时,PA+PQ的值最小,
过点A作AM⊥BC于点M,则PA+PQ的最小值即为AM的长.
∵AB=6,BC=10,∴由勾股定理得AC2=BC2-AB2=102-62=82,∴AC
=8,∵S△ABC= BC·AM= AB·AC,∴AM= = =4.8.故选B.
二、填空题(每小题6分,共18分)
8.(2025江苏南京秦淮期末)如图,南京地铁公安监控区域的警
示图标中,摄像头的支架是由水平、竖直方向的AB,BC两段构
成,若BC段长度为8 cm,点A,C之间的距离比AB段长2 cm,则AB
段的长度为_______cm.
15　
解析　连接AC(图略).
由题意知∠ABC=90°,BC=8 cm,设AB=x cm,则AC=(x+2)cm,
由勾股定理得AB2+BC2=AC2,所以x2+82=(x+2)2,解得x=15,
所以AB=15 cm.
故答案为15.
9.(2023湖北随州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC
=6,D为AC上一点,若BD是∠ABC的平分线,则AD=______.
5　
解析
如图,过点D作DE⊥AB于点E.
∵∠C=0°,∴CD⊥BC.
∵BD是∠ABC的平分线,CD⊥BC,DE⊥AB,
∴CD=DE.
在Rt△BCD和Rt△BED中,
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL),∴BC=BE=6.
在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=82+62=100,
∴AB=10,∴AE=AB-BE=10-6=4.
设CD=DE=x,则AD=AC-CD=8-x.
在Rt△ADE中,AE2+DE2=AD2,
∴42+x2=(8-x)2,解得x=3,
∴AD=8-x=5.故答案为5.
10.(2025江苏南通启东月考)勾股定理是人类最伟大的科学发
现之一.如图1,以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方
形,再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大的正方形
中,三个阴影部分面积分别记为S1,S2,S3,若已知S1=2,S2=5,S3=8,
则两个较小正方形重叠部分(四边形DEFG)的面积为_______.
15　
解析　设直角三角形的斜边长为a,较长直角边的长为c,较短
直角边的长为b,由勾股定理得,a2=c2+b2,
∴a2-c2-b2=0,
∴S阴影=a2-c2-(b2-S四边形DEFG)=a2-c2-b2+S四边形DEFG=S四边形DEFG.
∴S四边形DEFG=S1+S2+S3=2+5+8=15.
三、解答题(共40分)
11.(2025江苏扬州广陵期中)(12分)在△ABC中,AB=AC=10,BC
=16.点D是BC的中点,点E是线段BD上的动点,过点E作EF⊥
BD交AB于点F.连接AE,若∠AEF=∠B.
(1)求证:AE⊥AC.
(2)求DE的长.
解析 (1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵EF⊥BD,∴∠AEF+∠AED=90°,
∵∠AEF=∠B,∠B=∠C,∴∠C+∠AED=90°,
∴∠EAC=90°,∴AE⊥AC.
(2)∵∠EAC=90°,∴AE2+AC2=CE2,
∵AB=AC,点D是BC的中点,
∴BD=DC= ×16=8,AD⊥BC,
∵CE=CD+DE=DE+8,
∴AE2=CE2-AC2=(DE+8)2-102,
在Rt△ADC中,由勾股定理,得AD= = =6,
在Rt△ADE中,AE2=AD2+DE2=62+DE2,
∴(DE+8)2-102=62+DE2,解得DE=4.5.
12.(12分)为落实全民健身国家战略,推动健康中国建设,泰州
市体育局组织了一系列体育赛事,其中半程马拉松(21.097 5
公里)是泰州市众多市民热爱的一项运动.泰州半程马拉松比
赛赛道穿越泰州主城区,串联了天德湖公园、人民广场、老
街、梅园、凤城河、光孝寺等城市地标及人文景观.小明家
住在补给点C处,如图,他发现补给点A,B,C组成一个三角形,青
年路的一段BD恰好与边AC垂直,垂足为D.若AD=2千米,BD=
4千米,小明用速度为每分钟1千米的无人机M紧贴地面从C处
出发沿着线段CA匀速飞行,用了10分钟到达终点A处.
(1)试判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)若N是CM的中点,连接BM,BN,设M的运动时间为t(t>0)分钟.
是否存在t值,使得BM=BN 若存在,求出t的值;若不存在,请说
明理由.
解析 (1)△ABC是直角三角形.理由如下:
由题意得AC=10千米,
∵AD=2千米,∴CD=8千米.
∵BD⊥AC,∴AB2=AD2+BD2=20,BC2=BD2+CD2=80.
又∵AC2=100,∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形.
(2)不存在.理由:当M在CD上时,显然BM≠BN.当M在AD上时,
由题意得CM=t千米,CN= t千米,DN= 千米,
DM=(t-8)千米,
若BM=BN,则DM=DN,即t-8=8- t,解得t= >10,故不存在t值,
使得BM=BN.
13.(2025江苏苏州相城月考)(16分)如图,△ABC中,∠B=90°,
BC=6 cm,AB=8 cm,点P,Q是△ABC边上的两个动点,其中点P
从点A开始沿A→B运动且速度为每秒2 cm,点Q从点B开始沿B
→C→A运动,在BC边上的运动速度是每秒3 cm,在AC边上的
运动速度是每秒5 cm,它们同时出发,当其中一个点到达终点
时,另一个点也随之停止,设运动时间为t秒.
(1)当t=1时,S△BPQ=_____.
(2)若△ABQ的面积是△ABC面积的 ,求t的值.
(3)若PQ将△ABC的周长分为5∶7的两部分,求t的值.
解析 (1)当t=1时,AP=2 cm,BQ=3 cm,
则BP=8-2=6(cm),
∴S△BPQ= BP·BQ= ×6×3=9(cm2).
故答案为9 cm2.
(2)S△ABC= AB·BC= ×8×6=24(cm2),
∵S△ABQ= S△ABC,∴S△ABQ= ×24=6(cm2),
当Q在BC上时, ×8×3t=6,∴t= .
当Q在AC上时,∵S△ABQ= S△ABC,∴AQ= AC,
根据勾股定理得AC= =10 cm,
∴AQ= cm,∴CQ=10- = (cm).
点Q在BC上运动6÷3=2(秒),在AC上运动的时间为 ÷5=
(秒),∴t=2+ = .
答:当t= 或 时,△ABQ的面积是△ABC面积的 .
(3)△ABC的周长=AB+BC+AC=8+6+10=24,
PQ将△ABC的周长分为5∶7的两部分,
当Q点在BC上时(t≤2),分两种情况:①PB+BQ= ×24,②PB+
BQ= ×24,
对于①,(8-2t)+3t= ×24=10,解得t=2,
对于②,(8-2t)+3t= ×24=14,
解得t=6(舍去),
当Q点在AC上时(2②BP+BC+CQ= ×24,
即8-2t+6+5(t-2)=10,8-2t+6+5(t-2)=14,
解得t=2(舍去)或t= .
综上,t=2或 时,PQ将△ABC的周长分为5∶7的两部分.