第十六讲 全等三角形
知识要点 对点练习
1.全等三角形的概念 能够 的两个三角形. 1.下列说法正确的是( ) A.全等三角形的周长和面积分别相等 B.全等三角形是指形状相同的两个三角形 C.全等三角形是指面积相等的两个三角形 D.所有的等边三角形都是全等三角形
2.全等三角形的性质 全等三角形的对应边 ,对应角 . 2.(教材再开发·湘教八上P75例1改编)如图,点B,F,C,E在同一条直线上,△ABC≌△DEF,若∠A=65°,则∠D= .
3.全等三角形的判定定理 (1)三边分别 的两个三角形全等(简写成“边边边”或“ ”). (2)两边和它们的夹角分别 的两个三角形全等(简写成“边角边”或“ ”). (3)两角和它们的夹边分别 的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ ”). (4)两角和其中一个角的对边分别 的两个三角形全等(简写成“角角边”或“ ”). (5)斜边和一条直角边分别 的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“ ”). 3.(教材再开发·人教八上P42例5改编)如图,在△ABC和△DCB中,∠ACB=∠DBC,添加一个条件,不能证明△ABC和△DCB全等的是( ) A.∠ABC=∠DCB B.AB=DC C.AC=DB D.∠A=∠D
4.角平分线的性质与判定 (1)性质:角平分线上的点到角两边的 相等. (2)判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的 上. 4.(1)如图,AD是∠BAC的平分线,点P在AD上,PM⊥AB于点M,PM=3,则点P到AC的距离是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)到角的两边距离相等的点,在 ,所以,如果点P到∠AOB两边的距离相等,那么射线OP是 .
考点1 全等三角形的性质与判定
【示范题1】(2025·凉山州)如图,AB=AC,AE=AD,点E在BD上,∠EAD=∠BAC,∠BDC=56°,则∠ABC的度数为( )
A.56° B.60° C.62° D.64°
【答题关键指导】
判定全等三角形的基本思路
1.已知两边
2.已知两角
3.已知一边一角
1.(2025·山西)如图,小谊将两根长度不等的木条AC,BD的中点连在一起,记中点为O,即AO=CO,BO=DO.测得C,D两点之间的距离后,利用全等三角形的性质,可得花瓶内壁上A,B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.HL
2.(2025·云南)如图,AB与CD相交于点O,AC=BD,∠C=∠D.求证:△AOC≌△BOD.
考点2 角平分线的性质与判定
【示范题2】(2025·天津)如图,CD是△ABC的角平分线.按以下步骤作图:①以点A为圆心,适当长为半径画弧,与边AB相交于点E,与边AC相交于点F;②以点B为圆心,AE长为半径画弧,与边BC相交于点G;③以点G为圆心,EF长为半径画弧,与第②步中所画的弧相交于点H;④作射线BH,与CD相交于点M,与边AC相交于点N.则下列结论一定正确的是( )
A.∠ABN=∠A B.BN⊥AC
C.CM=AD D.BM=BD
【答题关键指导】
角平分线常作的四条辅助线
1.过角平分线上一点作角两边的垂线,用于证明线段相等.
2.过角平分线上一点,作与角两边平行的平行线,构造等腰三角形.
3.过角平分线上一点,作角平分线的垂线,构造等腰三角形.
4.遇与角平分线垂直的线段时,延长垂直线段与角的另一边相交,构造等腰三角形.
1.(2024·烟台)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作图痕迹如下,其中射线OP为∠AOB的平分线的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2024·湖南)如图,在锐角三角形ABC中,AD是边BC上的高,在BA,BC上分别截取线段BE,BF,使BE=BF;分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,在∠ABC内,两弧交于点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2,AD=4MD,则AM= .
考点3 尺规作图
【示范题3】(2025·陕西)如图,已知∠AOB=50°,点C在边OA上.请用尺规作图法,在∠AOB的内部求作一点P,使得∠AOP=25°,且CP∥OB.(保留作图痕迹,不写作法)
【答题关键指导】
利用“尺规”作三角形的“五种类型”
1.已知三角形的三边,求作三角形.
2.已知三角形的两边及其夹角,求作三角形.
3.已知三角形的两角及其夹边,求作三角形.
4.已知三角形的两角及其中一角的对边,求作三角形.
5.已知直角三角形的一直角边和斜边,求作三角形.
1.(2024·河北)观察图中尺规作图的痕迹,可得线段BD一定是△ABC的( )
A.角平分线 B.高线
C.中位线 D.中线
2.(2024·河南)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,BE∥DC交AC的延长线于点E.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM,使∠ECM=∠A,且射线CM交BE于点F(保留作图痕迹,不写作法).
(2)证明(1)中得到的四边形CDBF是菱形.
1.(2024·广西)如图,在△ABC中,∠A=45°,AC>BC.
(1)尺规作图:作线段AB的垂直平分线l,分别交AB,AC于点D,E;(要求:保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)在(1)所作的图中,连接BE,若AB=8,求BE的长.
2.(2023·广西)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=90°.
(1)在斜边AC上求作线段AO,使AO=BC,连接OB;(要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)若OB=2,求AB的长.第十六讲 全等三角形
知识要点 对点练习
1.全等三角形的概念 能够 完全重合 的两个三角形. 1.下列说法正确的是(A) A.全等三角形的周长和面积分别相等 B.全等三角形是指形状相同的两个三角形 C.全等三角形是指面积相等的两个三角形 D.所有的等边三角形都是全等三角形
2.全等三角形的性质 全等三角形的对应边 相等 ,对应角 相等 . 2.(教材再开发·湘教八上P75例1改编)如图,点B,F,C,E在同一条直线上,△ABC≌△DEF,若∠A=65°,则∠D= 65° .
3.全等三角形的判定定理 (1)三边分别 相等 的两个三角形全等(简写成“边边边”或“ SSS ”). (2)两边和它们的夹角分别 相等 的两个三角形全等(简写成“边角边”或“ SAS ”). (3)两角和它们的夹边分别 相等 的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ ASA ”). (4)两角和其中一个角的对边分别 相等 的两个三角形全等(简写成“角角边”或“ AAS ”). (5)斜边和一条直角边分别 相等 的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“ HL ”). 3.(教材再开发·人教八上P42例5改编)如图,在△ABC和△DCB中,∠ACB=∠DBC,添加一个条件,不能证明△ABC和△DCB全等的是(B) A.∠ABC=∠DCB B.AB=DC C.AC=DB D.∠A=∠D
4.角平分线的性质与判定 (1)性质:角平分线上的点到角两边的 距离 相等. (2)判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的 平分线 上. 4.(1)如图,AD是∠BAC的平分线,点P在AD上,PM⊥AB于点M,PM=3,则点P到AC的距离是(C) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)到角的两边距离相等的点,在 这个角的平分线上 ,所以,如果点P到∠AOB两边的距离相等,那么射线OP是 ∠AOB的平分线 .
考点1 全等三角形的性质与判定
【示范题1】(2025·凉山州)如图,AB=AC,AE=AD,点E在BD上,∠EAD=∠BAC,∠BDC=56°,则∠ABC的度数为(C)
A.56° B.60° C.62° D.64°
【答题关键指导】
判定全等三角形的基本思路
1.已知两边
2.已知两角
3.已知一边一角
1.(2025·山西)如图,小谊将两根长度不等的木条AC,BD的中点连在一起,记中点为O,即AO=CO,BO=DO.测得C,D两点之间的距离后,利用全等三角形的性质,可得花瓶内壁上A,B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是(B)
A.SSS B.SAS C.ASA D.HL
2.(2025·云南)如图,AB与CD相交于点O,AC=BD,∠C=∠D.求证:△AOC≌△BOD.
【证明】在△AOC和△BOD中,
,
∴△AOC≌△BOD(AAS).
考点2 角平分线的性质与判定
【示范题2】(2025·天津)如图,CD是△ABC的角平分线.按以下步骤作图:①以点A为圆心,适当长为半径画弧,与边AB相交于点E,与边AC相交于点F;②以点B为圆心,AE长为半径画弧,与边BC相交于点G;③以点G为圆心,EF长为半径画弧,与第②步中所画的弧相交于点H;④作射线BH,与CD相交于点M,与边AC相交于点N.则下列结论一定正确的是(D)
A.∠ABN=∠A B.BN⊥AC
C.CM=AD D.BM=BD
【答题关键指导】
角平分线常作的四条辅助线
1.过角平分线上一点作角两边的垂线,用于证明线段相等.
2.过角平分线上一点,作与角两边平行的平行线,构造等腰三角形.
3.过角平分线上一点,作角平分线的垂线,构造等腰三角形.
4.遇与角平分线垂直的线段时,延长垂直线段与角的另一边相交,构造等腰三角形.
1.(2024·烟台)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作图痕迹如下,其中射线OP为∠AOB的平分线的有(D)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2024·湖南)如图,在锐角三角形ABC中,AD是边BC上的高,在BA,BC上分别截取线段BE,BF,使BE=BF;分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,在∠ABC内,两弧交于点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2,AD=4MD,则AM= 6 .
考点3 尺规作图
【示范题3】(2025·陕西)如图,已知∠AOB=50°,点C在边OA上.请用尺规作图法,在∠AOB的内部求作一点P,使得∠AOP=25°,且CP∥OB.(保留作图痕迹,不写作法)
【解析】如图,点P即为所求;
理由如下:
由作图可知:OE是∠AOB的平分线,
∴∠AOP=∠AOB=×50°=25°,
∵∠ACF=∠AOB,
∴CP∥OB,∴点P即为所求.
【答题关键指导】
利用“尺规”作三角形的“五种类型”
1.已知三角形的三边,求作三角形.
2.已知三角形的两边及其夹角,求作三角形.
3.已知三角形的两角及其夹边,求作三角形.
4.已知三角形的两角及其中一角的对边,求作三角形.
5.已知直角三角形的一直角边和斜边,求作三角形.
1.(2024·河北)观察图中尺规作图的痕迹,可得线段BD一定是△ABC的(B)
A.角平分线 B.高线
C.中位线 D.中线
2.(2024·河南)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,BE∥DC交AC的延长线于点E.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM,使∠ECM=∠A,且射线CM交BE于点F(保留作图痕迹,不写作法).
(2)证明(1)中得到的四边形CDBF是菱形.
【解析】(1)如图,∠ECM即为所求;
(2)由(1)得∠ECF=∠A,
∴CF∥AB.
∵BE∥DC,
∴四边形CDBF是平行四边形,
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,
∴CD=BD,∴ CDBF是菱形.
1.(2024·广西)如图,在△ABC中,∠A=45°,AC>BC.
(1)尺规作图:作线段AB的垂直平分线l,分别交AB,AC于点D,E;(要求:保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)在(1)所作的图中,连接BE,若AB=8,求BE的长.
【解析】(1)图形如图所示:
(2)∵DE垂直平分线段AB,
∴EB=EA,∴∠EBA=∠A=45°,
∴∠BEA=90°,
∵BD=DA,∴DE=DB=DA=AB=4,
∴BE=BD=4.
2.(2023·广西)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=90°.
(1)在斜边AC上求作线段AO,使AO=BC,连接OB;(要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)若OB=2,求AB的长.
【解析】(1)所作线段AO如图所示:
(2)因为∠A=30°,∠ABC=90°,
∴AC=2BC,
∵AO=BC,∴AC=2AO,
∴OC=AO,即点O为AC的中点,
∵OB=2,∴AC=2OB=4,
∴BC=2,∴AB==2.
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