第十七讲 等腰三角形和直角三角形
知识要点 对点练习
1.等腰三角形 (1)定义:有 相等的三角形 (2)性质:①轴对称性:等腰三角形是轴对称图形, 是它的对称轴 ②定理:(i)等腰三角形的两个底角 (简称: ) (ii)等腰三角形顶角 、底边上的中线和底边上的 相互重合(简称“三线合一”) (3)判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也 (简写为“ ”) 1.(1)(教材再开发·人教八上P8T7改编)已知等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm,则此三角形的周长为 cm. (2)等腰三角形的顶角度数为70°,则它的底角度数为 . (3)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,若BC=4,则BD= .
2.等边三角形 (1)定义: 相等的三角形 (2)性质:①等边三角形的三个内角都 ,并且每一个角都等于 ②等边三角形是轴对称图形,并且有 条对称轴 (3)判定:①三个角都 的三角形 ②有一个角是60°的 三角形 2.如图,在等边△ABC中,AD⊥BC,AB=5 cm,则DC的长为 .
3.线段的垂直平分线 (1)性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 . (2)判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的 上. 3.如图,在△ABC中,以A为圆心,AC长为半径作弧,交BC于C,D两点,分别以点C和点D为圆心,大于CD长为半径作弧,两弧交于点P,作直线AP,交CD于点E.若AC=5,CD=6,则AE= .
4.直角三角形的性质与判定 (1)性质:①直角三角形的两个锐角 ②在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的 ③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的 (2)判定:①定义法:有一个角是 的三角形 ②两个内角 的三角形 4.(1)已知:在一个直角三角形中30°角所对的直角边为3 cm,则斜边长为 . (2)直角三角形斜边上的中线长为5 cm,则斜边长为 cm.
5.勾股定理及其逆定理 (1)勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么 . (2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形. 5.若一个直角三角形的两边长分别是4 cm,3 cm,则第三条边长是 cm.
6.命题、定理 (1)互逆命题:如果两个命题的 和 正好相反,我们把这样的两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的 . (2)互逆定理:若一个定理的逆命题是正确的,那么它就是这个定理的逆定理,称这两个定理为 定理. 6.(1)(教材再开发·湘教八上P52练习T2改编)把命题“同位角相等”改写成“如果……那么……”的形式为 . (2)命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是 (填“真”或“假”)命题.
考点1 等腰三角形的性质与判定
【示范题1】(2025·扬州)在如图的房屋人字梁架中,AB=AC,点D在BC上,下列条件不能说明AD⊥BC的是( )
A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C
C.BD=CD D.AD平分∠BAC
【答题关键指导】
三线合一的作用
等腰三角形的“三线合一”,包括以下三个结论:
如图,在△ABC中,AB=AC,
(1)若AD⊥BC,则BD=DC,∠BAD=∠CAD.
(2)若BD=DC,则AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
(3)若∠BAD=∠CAD,则BD=DC,AD⊥BC.
等腰三角形的“三线合一”是证明两角相等、两线段相等以及两条直线垂直的重要依据.解题时,要灵活运用上面的结论.
1.(2025·安徽)如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,边AC的中点为D,边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE=,则AC的长是( )
A.4 B.6
C.2 D.3
2.(2025·广安)如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4,D是BC边上的一个动点,连接AD,则AD的最小值为 .
考点2 等边三角形的性质与判定
【示范题2】(2024·自贡)如图,等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°.则新钢架减少用钢( )
A.(24-12)m B.(24-8)m
C.(24-6)m D.(24-4)m
【答题关键指导】
等边三角形的性质
1.三条边相等.
2.三个角相等,并且都等于60°.
3.是轴对称图形,并且有三条对称轴.
4.具有“等边对等角”及“三线合一”的性质.
1.(2023·临夏州)如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠DEC=( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
2.(2025·南充)如图,∠AOB=90°,在射线OB上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径画弧;再以点C为圆心,OC长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点D,连接并延长CD交射线OA于点E.设OC=1,则OE的长是 .
3. (2023·济宁)如图,△ABC是边长为6的等边三角形,点D,E在边BC上,若∠DAE=30°,tan ∠EAC=,则BD= .
考点3 线段的垂直平分线
【示范题3】(2025·连云港)如图,在△ABC中,BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,则△AEG的周长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
(2025·齐齐哈尔)如图,在 ABCD中,BC=2AB=8,连接AC,分别以点A,C为圆心,大于AC的长为半径作弧,两弧交于点E,F,作直线EF,交AD于点M,交BC于点N,若点N恰为BC的中点,则AC的长为 .
考点4 直角三角形
【示范题4】(2023·河北)如图,在Rt△ABC中,AB=4,点M是斜边BC的中点,以AM为边作正方形AMEF.若=16,则=( )
A.4 B.8 C.12 D.16
1.(2023·郴州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点M是AB的中点,则CM= .
2.(2025·成都)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=1,BC=2.以点A为圆心,以AB长为半径作弧;再以点C为圆心,以BC长为半径作弧,两弧在AC上方交于点D,连接BD,则BD的长为 .
考点5 勾股定理及逆定理
【示范题5】(2024·长沙)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,AC=2,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧分别交于点M和N,作直线MN分别交AB,BC于点D,E,连接CD,AE.
(1)求CD的长;
(2)求△ACE的周长.
1.(2023·菏泽)△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2++|c-3|=0,则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
2.(2025·连云港)如图,长为3 m的梯子靠在墙上,梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m,则梯子顶端的高度h为 m.
考点6 命题、定理及逆命题
【示范题6】(2025·达州)下列说法正确的是( )
A.两点之间线段最短
B.平行四边形是轴对称图形
C.若有意义,则x的取值范围是全体实数
D.三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分
(2025·成都)下列命题中,假命题是( )
A.矩形的对角线相等
B.菱形的对角线互相垂直
C.正方形的对角线相等且互相垂直
D.平行四边形的对角线相等
(2025·广西)如图,点A,D在BC同侧,AB=BC=CA=2,BD=CD=,则AD= . 第十七讲 等腰三角形和直角三角形
知识要点 对点练习
1.等腰三角形 (1)定义:有 两边 相等的三角形 (2)性质:①轴对称性:等腰三角形是轴对称图形, 底边上的中线(或底边上的高或顶角平分线)所在的直线 是它的对称轴 ②定理:(i)等腰三角形的两个底角 相等 (简称: 等边对等角 ) (ii)等腰三角形顶角 平分线 、底边上的中线和底边上的 高 相互重合(简称“三线合一”) (3)判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也 相等 (简写为“ 等角对等边 ”) 1.(1)(教材再开发·人教八上P8T7改编)已知等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm,则此三角形的周长为 20 cm. (2)等腰三角形的顶角度数为70°,则它的底角度数为 55° . (3)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,若BC=4,则BD= 2 .
2.等边三角形 (1)定义: 三边 相等的三角形 (2)性质:①等边三角形的三个内角都 相等 ,并且每一个角都等于 60° ②等边三角形是轴对称图形,并且有 三 条对称轴 (3)判定:①三个角都 相等 的三角形 ②有一个角是60°的 等腰 三角形 2.如图,在等边△ABC中,AD⊥BC,AB=5 cm,则DC的长为 cm .
3.线段的垂直平分线 (1)性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 相等 . (2)判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的 垂直平分线 上. 3.如图,在△ABC中,以A为圆心,AC长为半径作弧,交BC于C,D两点,分别以点C和点D为圆心,大于CD长为半径作弧,两弧交于点P,作直线AP,交CD于点E.若AC=5,CD=6,则AE= 4 .
4.直角三角形的性质与判定 (1)性质:①直角三角形的两个锐角 互余 ②在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的 一半 ③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的 一半 (2)判定:①定义法:有一个角是 直角 的三角形 ②两个内角 互余 的三角形 4.(1)已知:在一个直角三角形中30°角所对的直角边为3 cm,则斜边长为 6 cm . (2)直角三角形斜边上的中线长为5 cm,则斜边长为 10 cm.
5.勾股定理及其逆定理 (1)勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么 a2+b2=c2 . (2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足 a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形. 5.若一个直角三角形的两边长分别是4 cm,3 cm,则第三条边长是 5或 cm.
6.命题、定理 (1)互逆命题:如果两个命题的 题设 和 结论 正好相反,我们把这样的两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的 逆命题 . (2)互逆定理:若一个定理的逆命题是正确的,那么它就是这个定理的逆定理,称这两个定理为 互逆 定理. 6.(1)(教材再开发·湘教八上P52练习T2改编)把命题“同位角相等”改写成“如果……那么……”的形式为 如果两个角是同位角,那么这两个角相等 . (2)命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是 假 (填“真”或“假”)命题.
考点1 等腰三角形的性质与判定
【示范题1】(2025·扬州)在如图的房屋人字梁架中,AB=AC,点D在BC上,下列条件不能说明AD⊥BC的是(B)
A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C
C.BD=CD D.AD平分∠BAC
【答题关键指导】
三线合一的作用
等腰三角形的“三线合一”,包括以下三个结论:
如图,在△ABC中,AB=AC,
(1)若AD⊥BC,则BD=DC,∠BAD=∠CAD.
(2)若BD=DC,则AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
(3)若∠BAD=∠CAD,则BD=DC,AD⊥BC.
等腰三角形的“三线合一”是证明两角相等、两线段相等以及两条直线垂直的重要依据.解题时,要灵活运用上面的结论.
1.(2025·安徽)如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,边AC的中点为D,边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE=,则AC的长是(B)
A.4 B.6
C.2 D.3
2.(2025·广安)如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4,D是BC边上的一个动点,连接AD,则AD的最小值为 2 .
考点2 等边三角形的性质与判定
【示范题2】(2024·自贡)如图,等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°.则新钢架减少用钢(D)
A.(24-12)m B.(24-8)m
C.(24-6)m D.(24-4)m
【答题关键指导】
等边三角形的性质
1.三条边相等.
2.三个角相等,并且都等于60°.
3.是轴对称图形,并且有三条对称轴.
4.具有“等边对等角”及“三线合一”的性质.
1.(2023·临夏州)如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠DEC=(C)
A.20° B.25° C.30° D.35°
2.(2025·南充)如图,∠AOB=90°,在射线OB上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径画弧;再以点C为圆心,OC长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点D,连接并延长CD交射线OA于点E.设OC=1,则OE的长是 .
3. (2023·济宁)如图,△ABC是边长为6的等边三角形,点D,E在边BC上,若∠DAE=30°,tan ∠EAC=,则BD= 3- .
考点3 线段的垂直平分线
【示范题3】(2025·连云港)如图,在△ABC中,BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,则△AEG的周长为(C)
A.5 B.6 C.7 D.8
(2025·齐齐哈尔)如图,在 ABCD中,BC=2AB=8,连接AC,分别以点A,C为圆心,大于AC的长为半径作弧,两弧交于点E,F,作直线EF,交AD于点M,交BC于点N,若点N恰为BC的中点,则AC的长为 4 .
考点4 直角三角形
【示范题4】(2023·河北)如图,在Rt△ABC中,AB=4,点M是斜边BC的中点,以AM为边作正方形AMEF.若=16,则=(B)
A.4 B.8 C.12 D.16
1.(2023·郴州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点M是AB的中点,则CM= 5 .
2.(2025·成都)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=1,BC=2.以点A为圆心,以AB长为半径作弧;再以点C为圆心,以BC长为半径作弧,两弧在AC上方交于点D,连接BD,则BD的长为 .
考点5 勾股定理及逆定理
【示范题5】(2024·长沙)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,AC=2,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧分别交于点M和N,作直线MN分别交AB,BC于点D,E,连接CD,AE.
(1)求CD的长;
(2)求△ACE的周长.
【解析】(1)由作图过程可知,直线MN为线段AB的垂直平分线,∴点D为AB的中点,
∴CD=AB=.
(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得,BC===4.
∵直线MN为线段AB的垂直平分线,
∴EA=EB.
∴△ACE的周长为AC+CE+EA=AC+CE+EB=AC+BC=2+4=6.
1.(2023·菏泽)△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2++|c-3|=0,则△ABC是(D)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
2.(2025·连云港)如图,长为3 m的梯子靠在墙上,梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m,则梯子顶端的高度h为 2.4 m.
考点6 命题、定理及逆命题
【示范题6】(2025·达州)下列说法正确的是(A)
A.两点之间线段最短
B.平行四边形是轴对称图形
C.若有意义,则x的取值范围是全体实数
D.三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分
(2025·成都)下列命题中,假命题是(D)
A.矩形的对角线相等
B.菱形的对角线互相垂直
C.正方形的对角线相等且互相垂直
D.平行四边形的对角线相等
(2025·广西)如图,点A,D在BC同侧,AB=BC=CA=2,BD=CD=,则AD= -1 .
跟踪诊断,请使用“校本作业”
