第二十讲 矩形、菱形、正方形
知识要点 对点练习
1.矩形的判定 (1)有一个角是 的平行四边形(定义) (2)对角线 的平行四边形 (3)有三个角是 的四边形 1.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是( ) A.AB∥CD B.AD=BC C.∠A=∠B D.∠A=∠D
2.矩形的性质 除具有平行四边形的性质外,还有: (1)矩形的四个角都是 (2)矩形的对角线 (3)既是 图形,又是轴对称图形 2.(教材再开发·湘教八下P77T2改编)下列语句中,不属于矩形性质的是( ) A.两条对角线互相平分 B.两条对角线相等 C.四个内角都是直角 D.两条对角线互相垂直
3.菱形的判定 (1)有一组邻边 的平行四边形(定义) (2)对角线互相 的平行四边形 (3)四条边都 的四边形 3.如图,要使平行四边形ABCD为菱形,还需添加的一个条件是 .(写出一个即可)
4.菱形的性质 除具有平行四边形的性质外,还有: (1)菱形的四条边都 (2)菱形的两条对角线互相 ,并且每一条对角线平分 (3)菱形的面积等于两条对角线乘积的 (4)既是 图形,又是轴对称图形 4.(1)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,则∠BDA的度数为( ) A.40° B.50° C.80° D.100° (2)已知菱形两条对角线的长分别为5 cm和8 cm,则这个菱形的面积是 cm2.
5.正方形的判定 (1)有一组邻边 并且有一个角是 的平行四边形(定义) (2)一组邻边 的矩形 (3)一个角是 的菱形 (4)对角线相等且垂直的平行四边形 5.(教材再开发·人教八下P60练习T3改编)下列命题为真命题的是( ) A.四边相等的四边形是正方形 B.有一组邻边相等的矩形是正方形 C.对角线相等的四边形是正方形 D.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
6.正方形的性质 (1)正方形的四个角都是 (2)正方形的四条边都 (3)正方形的两条对角线 且互相 ,每一条对角线平分一组对角 (4)既是 对称图形,又是轴对称图形 6.(1)正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A.四个角都相等 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 (2)正方形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对边相等 D.邻边相等
考点1 矩形的性质与判定
【示范题1】(2025·云南)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,O是AC的中点.延长BO至点D,使OD=OB.连接AD,CD.记AB=a,BC=b,△AOB的周长为l1,△BOC的周长为l2,四边形ABCD的周长为l3.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若l2-l1=2,l3=28,求AC的长.
【答题关键指导】
矩形的判定方法
1.若四边形为(或可证)平行四边形,则再证一个角为直角或对角线相等.
2.若直角较多,可证三个角为直角.
1.(2024·甘肃)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
2.(2025·德阳)如图,要使平行四边形ABCD是矩形,需要增加的一个条件可以是( )
A.AB∥CD B.AB=BC
C.∠B=∠D D.AC=BD
3.(2024·陕西)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF,求证:AF=DE.
考点2 菱形的性质与判定
【示范题2】(2025·遂宁)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E,F在对角线BD上,BE=EF=FD,且AF⊥AB,CE⊥CD.
(1)求证:△ABF≌△CDE;
(2)连接AE,CF,若∠ABD=30°,请判断四边形AECF的形状,并说明理由.
【答题关键指导】
菱形判定方法的选择
1.若四边形为(或可证)平行四边形,则再证一组邻边相等或对角线互相垂直.
2.若相等的边较多(或容易证出),可证四条边相等.
1.(2025·湖南)如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD互相垂直平分,AB=3,则四边形ABCD的周长为( )
A.6 B.9 C.12 D.18
2.(2025·河南)如图,在菱形ABCD中,∠B=45°,AB=6,点E在边BC上,连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B落在BC延长线上的点F处,则CF的长为( )
A.2 B.6-3
C.2 D.6-6
3.(2025·凉山州)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,E是边CD的中点,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,若AC=12,BD=16,则FG的长为 .
考点3 正方形的性质与判定
【示范题3】(2023·十堰)如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,分别以点B,C为圆心,AC,BD长为半径画弧,两弧交于点P,连接BP,CP.
(1)试判断四边形BPCO的形状,并说明理由;
(2)请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时,四边形BPCO是正方形
【答题关键指导】
判定一个四边形是正方形的步骤
先证它是平行四边形.
再证有一组邻边相等.
最后证它有一个角是直角.
1.(2025·陕西)如图,正方形ABCD的边长为4,点E为AB的中点,点F在AD上,EF⊥EC,则△CEF的面积为( )
A.10 B.8 C.5 D.4
2.(2025·内江)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点B的坐标为(1,0),点E在边CD上.将△ADE沿AE折叠,点D落在点F处.若点F的坐标为(0,3),则点E的坐标为 .
1.(2024·广西)如图,边长为5的正方形ABCD,E,F,G,H分别为各边中点.连接AG,BH,CE,DF,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形MNPQ的面积为( )
A.1 B.2 C.5 D.10
2.(2024·广西)如图,两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起,交叉形成的锐角为60°,则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 cm.
3.(2023·广西)如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为 . 第二十讲 矩形、菱形、正方形
知识要点 对点练习
1.矩形的判定 (1)有一个角是 直角 的平行四边形(定义) (2)对角线 相等 的平行四边形 (3)有三个角是 直角 的四边形 1.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是(C) A.AB∥CD B.AD=BC C.∠A=∠B D.∠A=∠D
2.矩形的性质 除具有平行四边形的性质外,还有: (1)矩形的四个角都是 直角 (2)矩形的对角线 相等 (3)既是 中心对称 图形,又是轴对称图形 2.(教材再开发·湘教八下P77T2改编)下列语句中,不属于矩形性质的是(D) A.两条对角线互相平分 B.两条对角线相等 C.四个内角都是直角 D.两条对角线互相垂直
3.菱形的判定 (1)有一组邻边 相等 的平行四边形(定义) (2)对角线互相 垂直 的平行四边形 (3)四条边都 相等 的四边形 3.如图,要使平行四边形ABCD为菱形,还需添加的一个条件是 AB=AD(答案不唯一) .(写出一个即可)
4.菱形的性质 除具有平行四边形的性质外,还有: (1)菱形的四条边都 相等 (2)菱形的两条对角线互相 垂直 ,并且每一条对角线平分 一组对角 (3)菱形的面积等于两条对角线乘积的 一半 (4)既是 中心对称 图形,又是轴对称图形 4.(1)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,则∠BDA的度数为(A) A.40° B.50° C.80° D.100° (2)已知菱形两条对角线的长分别为5 cm和8 cm,则这个菱形的面积是 20 cm2.
5.正方形的判定 (1)有一组邻边 相等 并且有一个角是 直角 的平行四边形(定义) (2)一组邻边 相等 的矩形 (3)一个角是 直角 的菱形 (4)对角线相等且垂直的平行四边形 5.(教材再开发·人教八下P60练习T3改编)下列命题为真命题的是(B) A.四边相等的四边形是正方形 B.有一组邻边相等的矩形是正方形 C.对角线相等的四边形是正方形 D.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
6.正方形的性质 (1)正方形的四个角都是 直角 (2)正方形的四条边都 相等 (3)正方形的两条对角线 相等 且互相 垂直平分 ,每一条对角线平分一组对角 (4)既是 中心 对称图形,又是轴对称图形 6.(1)正方形具有而矩形不一定具有的性质是(D) A.四个角都相等 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 (2)正方形具有而菱形不一定具有的性质是(B) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对边相等 D.邻边相等
考点1 矩形的性质与判定
【示范题1】(2025·云南)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,O是AC的中点.延长BO至点D,使OD=OB.连接AD,CD.记AB=a,BC=b,△AOB的周长为l1,△BOC的周长为l2,四边形ABCD的周长为l3.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若l2-l1=2,l3=28,求AC的长.
【解析】(1)∵O是AC的中点,
∴OA=OC,
∵OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.
(2)∵△AOB的周长为l1,△BOC的周长为l2,四边形ABCD的周长为l3,
∴l1=AB+OA+OB,l2=BC+OC+OB,l3=2(AB+BC),
∵OA=OC,AB=a,BC=b,
∴l2-l1=BC-AB=b-a=2,l3=2(a+b)=28,
∴,∴,
∴AB=6,BC=8,
∴AC==10.
【答题关键指导】
矩形的判定方法
1.若四边形为(或可证)平行四边形,则再证一个角为直角或对角线相等.
2.若直角较多,可证三个角为直角.
1.(2024·甘肃)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为(C)
A.6 B.5 C.4 D.3
2.(2025·德阳)如图,要使平行四边形ABCD是矩形,需要增加的一个条件可以是(D)
A.AB∥CD B.AB=BC
C.∠B=∠D D.AC=BD
3.(2024·陕西)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF,求证:AF=DE.
【证明】∵四边形ABCD为矩形,
∴AB=CD,∠B=∠C=90°,∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF.即BF=CE,
在△ABF和△DCE中,,
∴△ABF≌△DCE(SAS),∴AF=DE.
考点2 菱形的性质与判定
【示范题2】(2025·遂宁)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E,F在对角线BD上,BE=EF=FD,且AF⊥AB,CE⊥CD.
(1)求证:△ABF≌△CDE;
(2)连接AE,CF,若∠ABD=30°,请判断四边形AECF的形状,并说明理由.
【解析】(1)∵AB∥CD,∴∠ABF=∠CDE,
∵AF⊥AB,CE⊥CD,
∴∠BAF=∠DCE=90°,
∵BE=EF=FD,
∴BE+EF=FD+EF,即BF=DE,
在△ABF和△CDE中,,
∴△ABF≌△CDE(AAS).
(2)四边形AECF是菱形.理由如下:
如图所示:
∵∠ABD=30°,AB∥CD,
∴∠CDB=∠ABD=30°,
∵BE=EF,∠BAF=90°,
∴AE是Rt△ABF斜边BF上的中线,
∴AE=BF,
在Rt△ABF中,∠ABD=30°,
∴AF=BF,∴AE=AF=BF,
同理可得CE=CF=DE,
∵BF=DE,
∴AE=AF=CE=CF,
∴四边形AECF是菱形.
【答题关键指导】
菱形判定方法的选择
1.若四边形为(或可证)平行四边形,则再证一组邻边相等或对角线互相垂直.
2.若相等的边较多(或容易证出),可证四条边相等.
1.(2025·湖南)如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD互相垂直平分,AB=3,则四边形ABCD的周长为(C)
A.6 B.9 C.12 D.18
2.(2025·河南)如图,在菱形ABCD中,∠B=45°,AB=6,点E在边BC上,连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B落在BC延长线上的点F处,则CF的长为(D)
A.2 B.6-3
C.2 D.6-6
3.(2025·凉山州)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,E是边CD的中点,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,若AC=12,BD=16,则FG的长为 5 .
考点3 正方形的性质与判定
【示范题3】(2023·十堰)如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,分别以点B,C为圆心,AC,BD长为半径画弧,两弧交于点P,连接BP,CP.
(1)试判断四边形BPCO的形状,并说明理由;
(2)请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时,四边形BPCO是正方形
【自主解答】(1)四边形BPCO为平行四边形.
理由:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴OC=OA=AC,OB=OD=BD,
∵分别以点B,C为圆心,AC,BD长为半径画弧,两弧交于点P,∴OB=CP,BP=OC,∴四边形BPCO为平行四边形;
(2)当AC⊥BD,AC=BD时,四边形BPCO为正方形.
∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°,
∵AC=BD,OB=BD,OC=AC,∴OB=OC,∵四边形BPCO为平行四边形,∴四边形BPCO为正方形.
【答题关键指导】
判定一个四边形是正方形的步骤
先证它是平行四边形.
再证有一组邻边相等.
最后证它有一个角是直角.
1.(2025·陕西)如图,正方形ABCD的边长为4,点E为AB的中点,点F在AD上,EF⊥EC,则△CEF的面积为(C)
A.10 B.8 C.5 D.4
2.(2025·内江)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点B的坐标为(1,0),点E在边CD上.将△ADE沿AE折叠,点D落在点F处.若点F的坐标为(0,3),则点E的坐标为 (-1.5,5) .
1.(2024·广西)如图,边长为5的正方形ABCD,E,F,G,H分别为各边中点.连接AG,BH,CE,DF,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形MNPQ的面积为(C)
A.1 B.2 C.5 D.10
2.(2024·广西)如图,两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起,交叉形成的锐角为60°,则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 8 cm.
3.(2023·广西)如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为 .
跟踪诊断,请使用“校本作业”
