第十九讲 多边形与平行四边形
知识要点 对点练习
1.多边形 (1)内角和定理:n边形的内角和是 (n-2)×180° . (2)外角和定理:任意多边形的外角和为 360° . (3)正多边形:各个角 相等 ,各条边 相等 的多边形. 1.五边形的内角和等于 540 °.
2.平行四边形的概念及性质 (1)概念:两组对边分别 平行 的四边形. (2)性质 边:对边 平行且相等 ; 角:对角 相等 ; 对角线:对角线 互相平分 2.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(B) A.AC=BD B.OA=OC C.AC⊥BD D.∠ADC=∠BCD
3.平行四边形的判定 (1)边:①两组对边分别 平行 的四边形; ②两组对边分别 相等 的四边形; ③一组对边 平行且相等 的四边形. (2)角:两组对角分别 相等 的四边形. (3)对角线:对角线 互相平分 的四边形. 3.下列不能判断一个四边形是平行四边形的是(D) A.一组对边平行且相等的四边形 B.两组对边分别相等的四边形 C.对角线互相平分的四边形 D.一组对边相等,且另一组对边平行的四边形
4.两条平行线之间的距离 (1)如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都 相等 . (2)两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的 距离 ,叫做两条平行线之间的距离. 4.如图,AD,CE是△ABC的高,过点A作AF∥BC,则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是(B) A.AB B.AD C.CE D.AC
5.三角形的中位线 (1)定义:连接三角形两边 中点 的线段叫做三角形的中位线. (2)性质: 三角形的中位线 平行 于三角形的第三边,且等于第三边的 一半 . 5.如图,A,B两点被池塘隔开,A,B,C三点不共线.设AC,BC的中点分别为M,N.若MN=3米,则AB=(B) A.4米 B.6米 C.8米 D.10米
考点1 多边形的内角和与外角和
【示范题1】(2025·甘肃)如图,一个多边形纸片的内角和为1 620°,按图示的剪法剪去一个内角后,所得新多边形的边数为(A)
A.12 B.11 C.10 D.9
【答题关键指导】
多边形的内角和与外角和的四类应用
1.已知边数求内角和.
2.已知内角和求边数.
3.已知边数,求正多边形的每一个内角或外角.
4.解决多边形平铺问题.
1.(2025·云南)一个六边形的内角和等于(C)
A.360° B.540° C.720° D.900°
2.(2025·遂宁)已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍,则该多边形的边数为(A)
A.10 B.11 C.12 D.13
3.(2024·重庆)若正多边形的一个外角是45°,则这个正多边形的边数为 8 .
考点2 平行四边形的性质
【示范题2】(2024·贵州)如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(B)
A.AB=BC B.AD=BC
C.OA=OB D.AC⊥BD
【答题关键指导】
1.平行四边形的每条对角线,把它分成两个全等的三角形,两条对角线把平行四边形分成四组全等的三角形.
2.在解决平行四边形中的线段和角相等的问题时,常利用平行四边形的性质证明三角形全等来解决.
1.(2025·新疆)如图,在 ABCD中.∠BCD的平分线交AB于点E,若AD=2,则BE= 2 .
2.(2023·凉山州)如图, ABCO的顶点O,A,C的坐标分别是(0,0),(3,0),(1,2).则顶点B的坐标是 (4,2) .
考点3 平行四边形的判定
【示范题3】(2024·湖南)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上, .
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形;
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
【自主解答】(1)选择①或②,证明如下:
选择①,∵∠B=∠AED,
∴BC∥DE,
∵AB∥CD,
∴四边形BCDE为平行四边形;
选择②,∵AE=BE,AE=CD,
∴BE=CD,
∵AB∥CD,
∴四边形BCDE为平行四边形;
答案:①或②
(2)由(1)可知,四边形BCDE为平行四边形,
∴DE=BC=10,
∵AD⊥AB,
∴∠A=90°,
∴AE===6,
即线段AE的长为6.
【答题关键指导】
判定平行四边形的三种思路
1.若已知一组对边平行,可以证明这组对边相等,或另一组对边平行.
2.若已知一组对边相等,可以证明这组对边平行,或另一组对边相等.
3.若已知条件与对角线有关,可以证明对角线互相平分.
(2024·达州)如图,线段AC,BD相交于点O,且AB∥CD,AE⊥BD于点E.
(1)尺规作图:过点C作BD的垂线,垂足为点F,连接AF,CE;(不写作法,保留作图痕迹,并标明相应的字母)
(2)若AB=CD,请判断四边形AECF的形状,并说明理由.(若前问未完成,可画草图完成此问)
【解析】(1)如图,CF,AF,CE为所作;
(2)四边形AECF为平行四边形.
理由如下:
∵AB∥CD,∴∠B=∠D,
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴AE∥CF,∠AEB=∠CFD=90°,
在△ABE和△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴AE=CF,而AE∥CF,
∴四边形AECF为平行四边形.
考点4 三角形的中位线
【示范题4】(2025·内蒙古)如图,ABCD是一个矩形草坪,对角线AC,BD相交于点O,H是BC边的中点,连接OH,且OH=20 m,AD=30 m,则该草坪的面积为(C)
A.2 400 m2 B.1 800 m2
C.1 200 m2 D.600 m2
【答题关键指导】
三角形中位线的应用
(1)已知三角形的中位线,求第三边的长或已知第三边的长求三角形的中位线的长.
(2)利用三角形的中位线可证明平行.
(3)三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形周长的比为1∶2,面积的比为1∶4.
1.(2025·山西)如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是边AD的中点,连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是(C)
A.OE=AD B.OE=BC
C.OE=AB D.OE=AC
2.(2024·浙江)如图,D,E分别是△ABC边AB,AC的中点,连接BE,DE.若∠AED=∠BEC,DE=2,则BE的长为 4 .
3.(2024·重庆)如图,在△ABC中,延长AC至点D,使CD=CA,过点D作DE∥CB,且DE=DC,连接AE交BC于点F.若∠CAB=∠CFA,CF=1,则BF= 3 .
1.(2022·玉林)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形,则四边形ABCD的两条对角线AC,BD一定是(D)
A.互相平分
B.互相垂直
C.互相平分且相等
D.互相垂直且相等
2.(2022·梧州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是AB,AC边上的中点,连接CD,DE.如果AB=5 m,BC=3 m,那么CD+DE的长是 4 m.
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知识要点 对点练习
1.多边形 (1)内角和定理:n边形的内角和是 . (2)外角和定理:任意多边形的外角和为 . (3)正多边形:各个角 ,各条边 的多边形. 1.五边形的内角和等于 °.
2.平行四边形的概念及性质 (1)概念:两组对边分别 的四边形. (2)性质 边:对边 ; 角:对角 ; 对角线:对角线 2.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( ) A.AC=BD B.OA=OC C.AC⊥BD D.∠ADC=∠BCD
3.平行四边形的判定 (1)边:①两组对边分别 的四边形; ②两组对边分别 的四边形; ③一组对边 的四边形. (2)角:两组对角分别 的四边形. (3)对角线:对角线 的四边形. 3.下列不能判断一个四边形是平行四边形的是( ) A.一组对边平行且相等的四边形 B.两组对边分别相等的四边形 C.对角线互相平分的四边形 D.一组对边相等,且另一组对边平行的四边形
4.两条平行线之间的距离 (1)如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都 . (2)两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的 ,叫做两条平行线之间的距离. 4.如图,AD,CE是△ABC的高,过点A作AF∥BC,则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是( ) A.AB B.AD C.CE D.AC
5.三角形的中位线 (1)定义:连接三角形两边 的线段叫做三角形的中位线. (2)性质: 三角形的中位线 于三角形的第三边,且等于第三边的 . 5.如图,A,B两点被池塘隔开,A,B,C三点不共线.设AC,BC的中点分别为M,N.若MN=3米,则AB=( ) A.4米 B.6米 C.8米 D.10米
考点1 多边形的内角和与外角和
【示范题1】(2025·甘肃)如图,一个多边形纸片的内角和为1 620°,按图示的剪法剪去一个内角后,所得新多边形的边数为( )
A.12 B.11 C.10 D.9
【答题关键指导】
多边形的内角和与外角和的四类应用
1.已知边数求内角和.
2.已知内角和求边数.
3.已知边数,求正多边形的每一个内角或外角.
4.解决多边形平铺问题.
1.(2025·云南)一个六边形的内角和等于( )
A.360° B.540° C.720° D.900°
2.(2025·遂宁)已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍,则该多边形的边数为( )
A.10 B.11 C.12 D.13
3.(2024·重庆)若正多边形的一个外角是45°,则这个正多边形的边数为 .
考点2 平行四边形的性质
【示范题2】(2024·贵州)如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( )
A.AB=BC B.AD=BC
C.OA=OB D.AC⊥BD
【答题关键指导】
1.平行四边形的每条对角线,把它分成两个全等的三角形,两条对角线把平行四边形分成四组全等的三角形.
2.在解决平行四边形中的线段和角相等的问题时,常利用平行四边形的性质证明三角形全等来解决.
1.(2025·新疆)如图,在 ABCD中.∠BCD的平分线交AB于点E,若AD=2,则BE= .
2.(2023·凉山州)如图, ABCO的顶点O,A,C的坐标分别是(0,0),(3,0),(1,2).则顶点B的坐标是 .
考点3 平行四边形的判定
【示范题3】(2024·湖南)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上, .
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形;
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
【答题关键指导】
判定平行四边形的三种思路
1.若已知一组对边平行,可以证明这组对边相等,或另一组对边平行.
2.若已知一组对边相等,可以证明这组对边平行,或另一组对边相等.
3.若已知条件与对角线有关,可以证明对角线互相平分.
(2024·达州)如图,线段AC,BD相交于点O,且AB∥CD,AE⊥BD于点E.
(1)尺规作图:过点C作BD的垂线,垂足为点F,连接AF,CE;(不写作法,保留作图痕迹,并标明相应的字母)
(2)若AB=CD,请判断四边形AECF的形状,并说明理由.(若前问未完成,可画草图完成此问)
考点4 三角形的中位线
【示范题4】(2025·内蒙古)如图,ABCD是一个矩形草坪,对角线AC,BD相交于点O,H是BC边的中点,连接OH,且OH=20 m,AD=30 m,则该草坪的面积为( )
A.2 400 m2 B.1 800 m2
C.1 200 m2 D.600 m2
【答题关键指导】
三角形中位线的应用
(1)已知三角形的中位线,求第三边的长或已知第三边的长求三角形的中位线的长.
(2)利用三角形的中位线可证明平行.
(3)三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形周长的比为1∶2,面积的比为1∶4.
1.(2025·山西)如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是边AD的中点,连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是( )
A.OE=AD B.OE=BC
C.OE=AB D.OE=AC
2.(2024·浙江)如图,D,E分别是△ABC边AB,AC的中点,连接BE,DE.若∠AED=∠BEC,DE=2,则BE的长为 .
3.(2024·重庆)如图,在△ABC中,延长AC至点D,使CD=CA,过点D作DE∥CB,且DE=DC,连接AE交BC于点F.若∠CAB=∠CFA,CF=1,则BF= .
1.(2022·玉林)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形,则四边形ABCD的两条对角线AC,BD一定是( )
A.互相平分
B.互相垂直
C.互相平分且相等
D.互相垂直且相等
2.(2022·梧州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是AB,AC边上的中点,连接CD,DE.如果AB=5 m,BC=3 m,那么CD+DE的长是 m.
