第二讲 整式、因式分解
知识要点 对点练习
1.整式的有关概念 整式 1.(教材再开发·人教七上P59习题2.1T3改编)(1)单项式-3xy2的系数是 ,次数是 . (2)多项式2x-5xy3-1是 次 项式,其中一次项为 ,一次项系数为 .
2.同类项 所含字母 ,且相同字母指数也 的单项式. 2.若单项式3xmy与-2x6y是同类项,则m= .
3.幂的运算性质 运算性质或法则幂的运算(m,n为正整数, 且m>n)同底数幂相乘am·an = 同底数幂相除am÷an = (a≠0) 幂的乘方(am)n = 积的乘方(ab)n=
3.计算: (1)a3·a2= ; (2)(a3)2= ; (3)(3a)2= ; (4)x7÷x2= ; (5)(a-1)0= a≠1); (6)a-2= a≠0).
4.加减运算 (1)实质:合并同类项 (2)合并同类项:把同类项的 相加,字母和字母的 不变 (3)去括号法则: ①a+(b+c)=a b c; ②a-(b+c)=a b c 4.(1)计算2a-3a,结果正确的是( ) A.-1 B.1 C.-a D.a (2)计算(1-2a)-(2-2a)= .
5.整式的乘法 (1)单项式乘单项式 分别相乘,只在一个单项式中出现的字母,连同它的 一起作为积的一个因式 (2)单项式乘多项式m(a+b+c)= (3)多项式乘多项式(a+b)(m+n)= 平方差公式:(a+b)(a-b)= 完全平方公式:(a±b)2= 5.计算:(1)3a3·a2= ; (2)-2a·8a2= ; (3)3a2(a+2b2)= ; (4)(6ab+4a2)÷2a= ; (5)(a+2b)(a-b)= ; (6)(x+3)(x-3)= ; (7)(2x-1)2= .
6.因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的 的形式,这种变形叫做多项式的因式分解. 6.(教材再开发·湘教七下P57练习T2变式)下面各式从左到右的变形,属于因式分解的是( ) A.x2-x-1=x(x-1)-1 B.x2-1=(x-1)2 C.x2-x-6=(x-3)(x+2) D.x(x-1)=x2-x
7.因式分解的方法和步骤 (1)提公因式法:am+bm+cm= . (2)运用公式法:平方差公式:a2-b2= ; 完全平方公式:a2±2ab+b2= . (3)步骤(一提,二套,三检查) ①若多项式的各项有公因式,则应先 ,首项是负的,可将负号一并提取. ②若多项式的各项没有公因式,则可以考虑用 法来因式分解. ③检查因式分解是否彻底. 7.(1)分解因式:x2-9y2= . (2)分解因式:a2+4a+4= . (3)分解因式:x2-2x+1= . (4)分解因式:2 022x2-4 044x+2 022= .
考点1 整式的有关概念及加减
【示范题1】(2023·江西)单项式-5ab的系数为 .
【答题关键指导】
(1)整式的有关概念主要包括单项式的系数、次数;多项式的次数、项.
(2)几个单项式是同类项要满足两个条件:一是含有相同的字母,二是相同字母的指数必须相同.
(2024·内江)下列单项式中,ab3的同类项是( )
A.3ab3 B.2a2b3 C.-a2b2 D.a3b
考点2 幂的运算
【示范题2】(2025·达州)下列各式运算结果为a6的是( )
A.a3+a3 B.a3·a3
C.a12÷a2 D.(a3)3
【答题关键指导】
(1)牢记幂的运算性质,不要混淆,尤其是同底数幂相乘和幂的乘方.
(2)不要忽略符号及数字因数.
(3)幂的运算性质还要会逆运用.
1.(2025·甘肃改编)下列计算正确的是( )
A.2a2+3a2=6a2 B.a9÷a3=a3
C.(a2)3=a5 D.(3a)2=9a2
2.(2025·山东)已知a≠0,则下列运算正确的是( )
A.-2a+3a=5a
B.(-2a3)2=4a6
C.a2-a=a
D.a6÷a2=a3
3.(2025·吉林)计算的结果为( )
A.2a5 B.2a6
C.8a5 D.8a6
考点3 整式的乘除及化简求值
【示范题3】(1)(2025·南充)计算:a(a-3)-a2= .
(2)(2025·浙江)化简求值:x(5-x)+x2+3,其中x=2.
【答题关键指导】
(1)单项式与多项式相乘,乘积的项数等于多项式的项数,不要漏乘.
(2)整式的乘法要注意每一项的符号.
(3)在平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2中a和b分别代表两个整式中相同的部分和互为相反数的部分.
(4)在运用完全平方公式时,不要出现(a+b)2=a2+b2和(a-b)2=a2-b2的错误.
1.(2025·天津)计算3x-x-5x的结果为 .
2.(2025·扬州)a(a+2)-a3÷a.
3.(2025·兰州)计算:(a+2)(a-2)+a(3-a).
4.(2025·长春)先化简,再求值:(1+x)2-2x,其中x=.
5.(2024·甘肃)先化简,再求值:[(2a+b)2-(2a+b)(2a-b)]÷2b,其中a=2,b=-1.
考点4 因式分解
【示范题4】(2025·云南)分解因式:x2+x= .
【答题关键指导】
(1)分析多项式的各项是否有公因式,若有公因式,应先提取公因式.
(2)根据项数选用公式,若有两项,考虑是否可用平方差公式分解,若有三项,考虑是否可用完全平方公式分解.
(3)分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
1.(2025·上海)分解因式:a2b+ab2= .
2.(2025·苏州)因式分解:x2-9= .
3.(2025·兰州)因式分解:2x2+4x+2= .
1.(2023·广西)下列计算正确的是( )
A.a3+a4=a7
B.a3·a4=a7
C.a4÷a3=a7
D.(a3)4=a7
2.(2025·广西)因式分解:a2-1=( )
A.(a+1)(a-1)
B.a(a+1)
C.(a+1)2
D.(a-1)2
3.(2024·广西)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为( )
A.0 B.1 C.4 D.9
4.(2023·广西)分解因式:a2+5a= .
5.(2025·广西)化简:a(a-1)+a.第二讲 整式、因式分解
知识要点 对点练习
1.整式的有关概念 整式 1.(教材再开发·人教七上P59习题2.1T3改编)(1)单项式-3xy2的系数是 -3 ,次数是 3 . (2)多项式2x-5xy3-1是 四 次 三 项式,其中一次项为 2x ,一次项系数为 2 .
2.同类项 所含字母 相同 ,且相同字母指数也 相同 的单项式. 2.若单项式3xmy与-2x6y是同类项,则m= 6 .
3.幂的运算性质 运算性质或法则幂的运算(m,n为正整数, 且m>n)同底数幂相乘am·an = am+n 同底数幂相除am÷an = am-n (a≠0) 幂的乘方(am)n = amn 积的乘方(ab)n= an bn
3.计算: (1)a3·a2= a5 ; (2)(a3)2= a6 ; (3)(3a)2= 9a2 ; (4)x7÷x2= x5 ; (5)(a-1)0= 1 (a≠1); (6)a-2= (a≠0).
4.加减运算 (1)实质:合并同类项 (2)合并同类项:把同类项的 系数 相加,字母和字母的 指数 不变 (3)去括号法则: ①a+(b+c)=a + b + c; ②a-(b+c)=a - b - c 4.(1)计算2a-3a,结果正确的是(C) A.-1 B.1 C.-a D.a (2)计算(1-2a)-(2-2a)= -1 .
5.整式的乘法 (1)单项式乘单项式 系数、相同字母的幂 分别相乘,只在一个单项式中出现的字母,连同它的 指数 一起作为积的一个因式 (2)单项式乘多项式m(a+b+c)= ma+mb+mc (3)多项式乘多项式(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn 平方差公式:(a+b)(a-b)= a2-b2 完全平方公式:(a±b)2= a2 ±2ab+b2 5.计算:(1)3a3·a2= 3a5 ; (2)-2a·8a2= -16a3 ; (3)3a2(a+2b2)= 3a3+6a2b2 ; (4)(6ab+4a2)÷2a= 3b+2a ; (5)(a+2b)(a-b)= a2+ab-2b2 ; (6)(x+3)(x-3)= x2-9 ; (7)(2x-1)2= 4x2-4x+1 .
6.因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的 积 的形式,这种变形叫做多项式的因式分解. 6.(教材再开发·湘教七下P57练习T2变式)下面各式从左到右的变形,属于因式分解的是(C) A.x2-x-1=x(x-1)-1 B.x2-1=(x-1)2 C.x2-x-6=(x-3)(x+2) D.x(x-1)=x2-x
7.因式分解的方法和步骤 (1)提公因式法:am+bm+cm= m(a+b+c) . (2)运用公式法:平方差公式:a2-b2= (a+b)(a-b) ; 完全平方公式:a2±2ab+b2= (a±b)2 . (3)步骤(一提,二套,三检查) ①若多项式的各项有公因式,则应先 提取公因式 ,首项是负的,可将负号一并提取. ②若多项式的各项没有公因式,则可以考虑用 公式 法来因式分解. ③检查因式分解是否彻底. 7.(1)分解因式:x2-9y2= (x-3y)(x+3y) . (2)分解因式:a2+4a+4= (a+2)2 . (3)分解因式:x2-2x+1= (x-1)2 . (4)分解因式:2 022x2-4 044x+2 022= 2 022(x-1)2 .
考点1 整式的有关概念及加减
【示范题1】(2023·江西)单项式-5ab的系数为 -5 .
【答题关键指导】
(1)整式的有关概念主要包括单项式的系数、次数;多项式的次数、项.
(2)几个单项式是同类项要满足两个条件:一是含有相同的字母,二是相同字母的指数必须相同.
(2024·内江)下列单项式中,ab3的同类项是(A)
A.3ab3 B.2a2b3 C.-a2b2 D.a3b
考点2 幂的运算
【示范题2】(2025·达州)下列各式运算结果为a6的是(B)
A.a3+a3 B.a3·a3
C.a12÷a2 D.(a3)3
【答题关键指导】
(1)牢记幂的运算性质,不要混淆,尤其是同底数幂相乘和幂的乘方.
(2)不要忽略符号及数字因数.
(3)幂的运算性质还要会逆运用.
1.(2025·甘肃改编)下列计算正确的是(D)
A.2a2+3a2=6a2 B.a9÷a3=a3
C.(a2)3=a5 D.(3a)2=9a2
2.(2025·山东)已知a≠0,则下列运算正确的是(B)
A.-2a+3a=5a
B.(-2a3)2=4a6
C.a2-a=a
D.a6÷a2=a3
3.(2025·吉林)计算的结果为(D)
A.2a5 B.2a6
C.8a5 D.8a6
考点3 整式的乘除及化简求值
【示范题3】(1)(2025·南充)计算:a(a-3)-a2= .
(2)(2025·浙江)化简求值:x(5-x)+x2+3,其中x=2.
【自主解答】(1)a(a-3)-a2=a2-3a-a2=-3a.
答案:-3a
(2)x(5-x)+x2+3
=5x-x2+x2+3
=5x+3,
当x=2时,原式=5×2+3=13.
【答题关键指导】
(1)单项式与多项式相乘,乘积的项数等于多项式的项数,不要漏乘.
(2)整式的乘法要注意每一项的符号.
(3)在平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2中a和b分别代表两个整式中相同的部分和互为相反数的部分.
(4)在运用完全平方公式时,不要出现(a+b)2=a2+b2和(a-b)2=a2-b2的错误.
1.(2025·天津)计算3x-x-5x的结果为 -3x .
2.(2025·扬州)a(a+2)-a3÷a.
【解析】a(a+2)-a3÷a
=a2+2a-a2
=2a.
3.(2025·兰州)计算:(a+2)(a-2)+a(3-a).
【解析】(a+2)(a-2)+a(3-a)
=a2-4+3a-a2
=3a-4.
4.(2025·长春)先化简,再求值:(1+x)2-2x,其中x=.
【解析】(1+x)2-2x
=1+2x+x2-2x
=x2+1,
当x=时,原式=+1=3+1=4.
5.(2024·甘肃)先化简,再求值:[(2a+b)2-(2a+b)(2a-b)]÷2b,其中a=2,b=-1.
【解析】原式=[4a2+4ab+b2-(4a2-b2)]÷2b=(4a2+4ab+b2-4a2+b2)÷2b
=(4ab+2b2)÷2b=2a+b,当a=2,b=-1时,原式=2×2-1=3.
考点4 因式分解
【示范题4】(2025·云南)分解因式:x2+x= x(x+1) .
【答题关键指导】
(1)分析多项式的各项是否有公因式,若有公因式,应先提取公因式.
(2)根据项数选用公式,若有两项,考虑是否可用平方差公式分解,若有三项,考虑是否可用完全平方公式分解.
(3)分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
1.(2025·上海)分解因式:a2b+ab2= ab(a+b) .
2.(2025·苏州)因式分解:x2-9= (x+3)(x-3) .
3.(2025·兰州)因式分解:2x2+4x+2= 2(x+1)2 .
1.(2023·广西)下列计算正确的是(B)
A.a3+a4=a7
B.a3·a4=a7
C.a4÷a3=a7
D.(a3)4=a7
2.(2025·广西)因式分解:a2-1=(A)
A.(a+1)(a-1)
B.a(a+1)
C.(a+1)2
D.(a-1)2
3.(2024·广西)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为(D)
A.0 B.1 C.4 D.9
4.(2023·广西)分解因式:a2+5a= a(a+5) .
5.(2025·广西)化简:a(a-1)+a.
【解析】a(a-1)+a=a2-a+a=a2.
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