第四讲 二次根式
知识要点 对点练习
1.二次根式 形如 ( )的代数式. 1.要使代数式有意义,则x的取值范围是 .
2.二次根式的性质 (1)(a≥0)是 数. (2)= . (3)()2= (a≥0). 2.下列各组实数中,互为相反数的一组是( ) A.与 B.与 C.|-|与 D.与
3.最简二次根式 最简二次根式要同时具备下列两个条件: (1)被开方数不含 . (2)被开方数中不含 的因数或因式. 3.(教材再开发·人教八下P10练习T2改编)下列二次根式中,是最简二次根式的是( ) A. B. C. D.
4.同类二次根式 几个二次根式化简成最简二次根式后,如果它们的 ,那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 4.下列各式中与是同类二次根式的是( ) A. B. C. D.
5.二次根式的运算 (1)二次根式的乘除: ①·= (a≥0,b≥0); ②= (a≥0,b>0). (2)积、商平方根的性质: ①= (a≥0,b≥0); ②= (a≥0,b>0). (3)二次根式的加减:先将二次根式化成 ,再将 相同的二次根式合并. 5.(教材再开发·湘教八上P174T5改编)计算: (1)-+; (2)÷-×+; (3)-+; (4)(-)2-(2+)(2-).
考点1 二次根式有意义的条件
【示范题1】(2025·连云港)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x≤1 B.x≥1
C.x≤-1 D.x≥-1
1.(2024·云南)若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围为( )
A.x≥0 B.x≤0
C.x>0 D.x<0
2.(2025·河南)请写出一个使在实数范围内有意义的x的值: .
3.(2025·绥化)若式子有意义,则x的取值范围是 .
考点2 二次根式的性质
【示范题2】(2024·德阳)化简:= .
【答题关键指导】
1.(a≥0)的双重非负性
(1)被开方数a非负.
(2)本身非负.
2.与()2的异同
中的a可以取任何实数,而()2中的a必须取非负数,只有当a取非负数时,=()2.
1.(2023·嘉兴、舟山)-8的立方根是( )
A.-2 B.2 C.±2 D.不存在
2.(2024·乐山)已知1A.-1 B.1 C.2x-3 D.3-2x
考点3 二次根式的运算
【示范题3】(2025·广东)计算×的结果是( )
A.3 B.6 C. D.2
1.(2025·吉林)计算:+= .
2.(2024·天津)计算(+1)(-1)的结果为 .
3.(2024·威海)计算:-×= .
考点4 二次根式的估算
【示范题4】(2025·天津)估计1+的值在( )
A.1和2之间 B.2和3之间
C.3和4之间 D.4和5之间
1.(2025·重庆)若n为正整数,且满足n<2.(2025·烟台)实数3的整数部分为 .
1.(2025·广西)×= .
2.(2024·广西)写出一个比大的整数,可以是 .
3.(2023·广西)= . 第四讲 二次根式
知识要点 对点练习
1.二次根式 形如 ( a≥0 )的代数式. 1.要使代数式有意义,则x的取值范围是 x≥9 .
2.二次根式的性质 (1)(a≥0)是 非负 数. (2)= |a| . (3)()2= a (a≥0). 2.下列各组实数中,互为相反数的一组是(B) A.与 B.与 C.|-|与 D.与
3.最简二次根式 最简二次根式要同时具备下列两个条件: (1)被开方数不含 分母 . (2)被开方数中不含 能开得尽方 的因数或因式. 3.(教材再开发·人教八下P10练习T2改编)下列二次根式中,是最简二次根式的是(D) A. B. C. D.
4.同类二次根式 几个二次根式化简成最简二次根式后,如果它们的 被开方数相同 ,那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 4.下列各式中与是同类二次根式的是(B) A. B. C. D.
5.二次根式的运算 (1)二次根式的乘除: ①·= (a≥0,b≥0); ②= (a≥0,b>0). (2)积、商平方根的性质: ①= · (a≥0,b≥0); ②= (a≥0,b>0). (3)二次根式的加减:先将二次根式化成 最简二次根式 ,再将 被开方数 相同的二次根式合并. 5.(教材再开发·湘教八上P174T5改编)计算: (1)-+; (2)÷-×+; (3)-+; (4)(-)2-(2+)(2-). 【解析】(1)原式=3-4+=0; (2)原式=4-+2=4+; (3)原式=2-+5=+5; (4)原式=3-6+6-(4-5)=3-6+6+1 =10-6.
考点1 二次根式有意义的条件
【示范题1】(2025·连云港)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是(D)
A.x≤1 B.x≥1
C.x≤-1 D.x≥-1
1.(2024·云南)若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围为(A)
A.x≥0 B.x≤0
C.x>0 D.x<0
2.(2025·河南)请写出一个使在实数范围内有意义的x的值: 3(答案不唯一) .
3.(2025·绥化)若式子有意义,则x的取值范围是 x>-1 .
考点2 二次根式的性质
【示范题2】(2024·德阳)化简:= 3 .
【答题关键指导】
1.(a≥0)的双重非负性
(1)被开方数a非负.
(2)本身非负.
2.与()2的异同
中的a可以取任何实数,而()2中的a必须取非负数,只有当a取非负数时,=()2.
1.(2023·嘉兴、舟山)-8的立方根是(A)
A.-2 B.2 C.±2 D.不存在
2.(2024·乐山)已知1A.-1 B.1 C.2x-3 D.3-2x
考点3 二次根式的运算
【示范题3】(2025·广东)计算×的结果是(B)
A.3 B.6 C. D.2
1.(2025·吉林)计算:+= 3 .
2.(2024·天津)计算(+1)(-1)的结果为 10 .
3.(2024·威海)计算:-×= -2 .
考点4 二次根式的估算
【示范题4】(2025·天津)估计1+的值在(C)
A.1和2之间 B.2和3之间
C.3和4之间 D.4和5之间
1.(2025·重庆)若n为正整数,且满足n<2.(2025·烟台)实数3的整数部分为 4 .
1.(2025·广西)×= .
2.(2024·广西)写出一个比大的整数,可以是 2(答案不唯一) .
3.(2023·广西)= 3 .
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