第一讲 实数
知识要点 对点练习
1.数轴 规定了原点、正方向、 单位长度 的直线. 1.下列数轴的画法中,正确的是(D)
2.相反数 a的相反数是 -a .互为相反数的两个数的和是 0 . 2.(2025·泸州)下列各组数中,互为相反数的是(A) A.7和-7 B.3和-2 C.2和 D.-0.1和10
3.倒数 乘积为 1 的两个数互为倒数,a(a≠0)的倒数是 , 0 没有倒数. 3.2 026的倒数是(C) A.2 026 B.-2 026 C. D.-
4.绝对值 (1)从“数”的角度看:|a|= (2)从“形”的角度看:一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点到 原点 的距离. 4.(1)-2 026的绝对值是 2 026 . (2)若=2 026,则x= ±2 026 .
5.科学记数法:a×10n(1≤|a|<10,n为整数) (1)当原数的绝对值大于等于10时,n为正整数,且等于原数的整数位数减1; (2)当原数的绝对值大于0且小于1时,n为负整数,|n|等于原数左起第一个非零数字前所有0的个数(包括小数点前的0). 5.(教材再开发·人教七上P45练习T3变式)(2025·凉山州)2025年“五一”假期,西昌市以“蓝花笑盈楹”为主题,推出一系列文化旅游体验活动.相关部门数据显示,“五一”假日期间,全市共接待游客117.93万人次.将数据117.93万用科学记数法表示为(C) A.117.93×104 B.1.179 3×105 C.1.179 3×106 D.0.117 93×107
6.实数的大小比较 (1)数轴比较法:数轴上两个点表示的数,右边的数总比左边的数 大 . (2)类别比较法: 正数 >0>负数;两个负数比较大小, 绝对值 大的数反而小. (3)作差比较法:①a-b>0 a>b; ②a-b<0 a < b;③a-b=0 a = b. 6.(1)(2025·安徽)在-2,0,2,5这四个数中,最小的数是(A) A.-2 B.0 C.2 D.5 (2)(2025·重庆)下列四个数中,最大的是(D) A.6.18×108 B.6.28×108 C.6.18×109 D.6.28×109
7.常用运算律(用字母表示) (1)加法交换律:a+b= b+a . (2)加法结合律:(a+b)+c= a+(b+c) . (3)乘法交换律:ab= ba . (4)乘法结合律:(ab)c= a(bc) . (5)乘法分配律:a(b+c)= ab+ac . 7.(教材再开发·人教七上P33例4变式)计算: (-+)÷. 原式=11
8.实数的分类及性质 (1)实数分类 实数 (2)性质: 实数 与数轴上的点一一对应 8.下列说法错误的是(C) A.0不是正数也不是负数 B.3.14是正有理数 C.-是负无理数 D.有理数与无理数统称为实数
9.算术平方根、平方根、立方根的概念 (1)算术平方根:若一个 正数 x的平方等于a,即x2=a,那么这个 正数 x叫做a的算术平方根,记作: .特别地,0的算术平方根为 0 . (2)平方根:如果一个数x的平方等于a,即x2=a(a≥0),则x叫做a的 平方根 ,记作: ± . (3)立方根:如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么x叫做a的立方根(或三次方根),记作: . 9.(1)的平方根是(A) A.±2 B.2 C.±8 D.8 (2)16的算术平方根是 4 . (3)下列说法中,正确的是(D) A.8的立方根是±2 B.的平方根是9 C.平方根等于本身的数有0,1 D.-64的立方根是-4
10.实数的运算 实数的 运算种类实数的运算包括加、减、乘、除、 乘方 、 开方 乘方n个= an ,其中a是底数,n是指数 零指数幂和负整数指数幂a0= 1 (a≠0), a-p= (a≠0) 实数的 运算 顺序先算 乘方、开方 ,再算 乘除 ,最后算 加减 ,如果有括号,先算括号里边的
10.计算:(-6)×-()-2+[(-3)+(-1)]. 【解析】(-6)×-()-2+[(-3)+(-1)] =(-6)×-()-2+(-3-1) =(-6)×-()-2-4 =-2-4-4 =-10.
考点1 实数的有关概念
【示范题1】(2025·重庆)6的相反数是(A)
A.-6 B. C.6 D.-
【答题关键指导】
(1)a,b互为相反数 a+b=0.
(2)a,b互为倒数 ab=1.
(3)倒数等于本身的数为1和-1.
(4)若|a|=a,则a≥0,|a|=-a,则a≤0.
1.(2025·连云港)-5的绝对值是(A)
A.5 B.-5 C. D.
2.(2025·烟台)|-3|的倒数是(B)
A.3 B. C.-3 D.-
3.(2025·江西)在1个标准大气压下,四种晶体的熔点如表所示,则熔点最高的是(D)
晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精
熔点 (单位:℃) -259 -218 -210 -117
A.固态氢 B.固态氧
C.固态氮 D.固态酒精
考点2 实数的分类
【示范题2】(2025·山东)如图,数轴上表示-2的点是(A)
A.M B.N
C.P D.Q
【答题关键指导】
将数在以向右为正方向的数轴上表示,数轴上右边的数总比左边的数大.
(2025·湖北)数轴上表示数a,b的点如图所示,下列判断正确的是(A)
A.ab
C.b<0 D.a>0
考点3 科学记数法
【示范题3】(2025·河南)通电瞬间,导线中的电流以接近光速形成,但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000 074 m/s,比蜗牛爬行的速度还慢.数据“0.000 074”用科学记数法表示为(C)
A.0.74×10-4 B.7.4×10-4
C.7.4×10-5 D.74×10-6
【答题关键指导】
绝对值大于1的数写成:a×10n,绝对值小于1的数写成:a×10-n.(1≤|a|<10,n为正整数)
1.(2025·威海)据央视网2025年4月19日消息,复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”.“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写.一皮秒仅相当于一万亿分之一秒.400皮秒用科学记数法表示为(A)
A.4×10-10秒 B.4×10-11秒
C.4×10-12秒 D.40×10-12秒
2.(2025·烟台)2025年2月2日是第29个“世界湿地日”,主题是“保护湿地 共筑未来”.国家林草局公布的最新数据显示,全国湿地面积稳定保持在56 350 000公顷以上.将数据56 350 000用科学记数法表示为 5.635×107 .
考点4 实数的运算
【示范题4】(2025·江西)计算:|-3|+-(-1).
【解析】|-3|+-(-1)=3+1+1=5.
(2025·河北)一道习题及其错误的解答过程如下:请指出在第几步开始出现错误,并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程.
计算:(-6)×+-.
解:(-6)×+-
=-6×+6×-6× 第一步
=-3+4-5 第二步
=-4. 第三步
【解析】原计算第一步开始出错;
(-6)×(+-)
=-6×-6×+6×
=-3-4+5
=-2.
1.(2025·广西)5的相反数是(A)
A.-5 B.0 C.1 D.5
2.(2024·广西)下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温,其中气温最低的是(A)
3.(2025·广西)2025年5月4日,平陆运河青年枢纽电站顺利完成并网调试,具备发电条件.该电站设计年发电量1 300万千瓦时,年减排二氧化碳1.17万吨.数据13 000 000用科学记数法表示为(C)
A.130×105 B.13×106
C.1.3×107 D.0.13×108
4.(2024·广西)广西壮族自治区统计局发布的数据显示,2023年全区累计接待国内游客8.49亿人次.将849 000 000用科学记数法表示为(B)
A.0.849×109 B.8.49×108
C.84.9×107 D.849×106
5.(2025·广西)计算:(-2)×(-1)+3.
【解析】(-2)×(-1)+3
=2+3
=5.
6.(2024·广西)计算:(-3)×4+(-2)2.
【解析】原式=-12+4=-8.
7.(2023·广西)计算:(-1)×(-4)+22÷(7-5).
【解析】原式=(-1)×(-4)+4÷2=4+2=6.
跟踪诊断,请使用“校本作业”第一讲 实数
知识要点 对点练习
1.数轴 规定了原点、正方向、 的直线. 1.下列数轴的画法中,正确的是( )
2.相反数 a的相反数是 .互为相反数的两个数的和是 . 2.(2025·泸州)下列各组数中,互为相反数的是( ) A.7和-7 B.3和-2 C.2和 D.-0.1和10
3.倒数 乘积为 的两个数互为倒数,a(a≠0)的倒数是 , 没有倒数. 3.2 026的倒数是( ) A.2 026 B.-2 026 C. D.-
4.绝对值 (1)从“数”的角度看:|a|= (2)从“形”的角度看:一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点到 的距离. 4.(1)-2 026的绝对值是 . (2)若=2 026,则x= .
5.科学记数法:a×10n(1≤|a|<10,n为整数) (1)当原数的绝对值大于等于10时,n为正整数,且等于原数的整数位数减1; (2)当原数的绝对值大于0且小于1时,n为负整数,|n|等于原数左起第一个非零数字前所有0的个数(包括小数点前的0). 5.(教材再开发·人教七上P45练习T3变式)(2025·凉山州)2025年“五一”假期,西昌市以“蓝花笑盈楹”为主题,推出一系列文化旅游体验活动.相关部门数据显示,“五一”假日期间,全市共接待游客117.93万人次.将数据117.93万用科学记数法表示为( ) A.117.93×104 B.1.179 3×105 C.1.179 3×106 D.0.117 93×107
6.实数的大小比较 (1)数轴比较法:数轴上两个点表示的数,右边的数总比左边的数 . (2)类别比较法: >0>负数;两个负数比较大小, 大的数反而小. (3)作差比较法:①a-b>0 a>b; ②a-b<0 a b;③a-b=0 a b. 6.(1)(2025·安徽)在-2,0,2,5这四个数中,最小的数是( ) A.-2 B.0 C.2 D.5 (2)(2025·重庆)下列四个数中,最大的是( ) A.6.18×108 B.6.28×108 C.6.18×109 D.6.28×109
7.常用运算律(用字母表示) (1)加法交换律:a+b= . (2)加法结合律:(a+b)+c= . (3)乘法交换律:ab= . (4)乘法结合律:(ab)c= . (5)乘法分配律:a(b+c)= . 7.(教材再开发·人教七上P33例4变式)计算: (-+)÷. 原式=11
8.实数的分类及性质 (1)实数分类 实数 (2)性质: 与数轴上的点一一对应 8.下列说法错误的是( ) A.0不是正数也不是负数 B.3.14是正有理数 C.-是负无理数 D.有理数与无理数统称为实数
9.算术平方根、平方根、立方根的概念 (1)算术平方根:若一个 x的平方等于a,即x2=a,那么这个 x叫做a的算术平方根,记作: .特别地,0的算术平方根为 . (2)平方根:如果一个数x的平方等于a,即x2=a(a≥0),则x叫做a的 ,记作: . (3)立方根:如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么x叫做a的立方根(或三次方根),记作: . 9.(1)的平方根是( ) A.±2 B.2 C.±8 D.8 (2)16的算术平方根是 . (3)下列说法中,正确的是( ) A.8的立方根是±2 B.的平方根是9 C.平方根等于本身的数有0,1 D.-64的立方根是-4
10.实数的运算 实数的 运算种类实数的运算包括加、减、乘、除、 、 乘方n个= ,其中a是底数,n是指数 零指数幂和负整数指数幂a0= (a≠0), a-p= (a≠0) 实数的 运算 顺序先算 ,再算 ,最后算 ,如果有括号,先算括号里边的
10.计算:(-6)×-()-2+[(-3)+(-1)].
考点1 实数的有关概念
【示范题1】(2025·重庆)6的相反数是( )
A.-6 B. C.6 D.-
【答题关键指导】
(1)a,b互为相反数 a+b=0.
(2)a,b互为倒数 ab=1.
(3)倒数等于本身的数为1和-1.
(4)若|a|=a,则a≥0,|a|=-a,则a≤0.
1.(2025·连云港)-5的绝对值是( )
A.5 B.-5 C. D.
2.(2025·烟台)|-3|的倒数是( )
A.3 B. C.-3 D.-
3.(2025·江西)在1个标准大气压下,四种晶体的熔点如表所示,则熔点最高的是( )
晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精
熔点 (单位:℃) -259 -218 -210 -117
A.固态氢 B.固态氧
C.固态氮 D.固态酒精
考点2 实数的分类
【示范题2】(2025·山东)如图,数轴上表示-2的点是( )
A.M B.N
C.P D.Q
【答题关键指导】
将数在以向右为正方向的数轴上表示,数轴上右边的数总比左边的数大.
(2025·湖北)数轴上表示数a,b的点如图所示,下列判断正确的是( )
A.ab
C.b<0 D.a>0
考点3 科学记数法
【示范题3】(2025·河南)通电瞬间,导线中的电流以接近光速形成,但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000 074 m/s,比蜗牛爬行的速度还慢.数据“0.000 074”用科学记数法表示为( )
A.0.74×10-4 B.7.4×10-4
C.7.4×10-5 D.74×10-6
【答题关键指导】
绝对值大于1的数写成:a×10n,绝对值小于1的数写成:a×10-n.(1≤|a|<10,n为正整数)
1.(2025·威海)据央视网2025年4月19日消息,复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”.“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写.一皮秒仅相当于一万亿分之一秒.400皮秒用科学记数法表示为( )
A.4×10-10秒 B.4×10-11秒
C.4×10-12秒 D.40×10-12秒
2.(2025·烟台)2025年2月2日是第29个“世界湿地日”,主题是“保护湿地 共筑未来”.国家林草局公布的最新数据显示,全国湿地面积稳定保持在56 350 000公顷以上.将数据56 350 000用科学记数法表示为 .
考点4 实数的运算
【示范题4】(2025·江西)计算:|-3|+-(-1).
(2025·河北)一道习题及其错误的解答过程如下:请指出在第几步开始出现错误,并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程.
计算:(-6)×+-.
解:(-6)×+-
=-6×+6×-6× 第一步
=-3+4-5 第二步
=-4. 第三步
1.(2025·广西)5的相反数是( )
A.-5 B.0 C.1 D.5
2.(2024·广西)下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温,其中气温最低的是( )
3.(2025·广西)2025年5月4日,平陆运河青年枢纽电站顺利完成并网调试,具备发电条件.该电站设计年发电量1 300万千瓦时,年减排二氧化碳1.17万吨.数据13 000 000用科学记数法表示为( )
A.130×105 B.13×106
C.1.3×107 D.0.13×108
4.(2024·广西)广西壮族自治区统计局发布的数据显示,2023年全区累计接待国内游客8.49亿人次.将849 000 000用科学记数法表示为( )
A.0.849×109 B.8.49×108
C.84.9×107 D.849×106
5.(2025·广西)计算:(-2)×(-1)+3.
6.(2024·广西)计算:(-3)×4+(-2)2.
7.(2023·广西)计算:(-1)×(-4)+22÷(7-5).
