初中数学苏科版九年级下册第5章 二次函数 基础训练题（含答案）

二次函数基础训练题
一、选择题
1．二次函数的顶点坐标是( )
A． B． C． D．
2．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线 向右平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
… 0 1 2 3 4 …
… 5 0 0 …
A． B． C． D．
7．已知二次函数的与的部分对应值如表，则下列判断中错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线
C．当时，
D．若，是图象上两点，则
8．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
9．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ）
A．B． C． D．
二、解答题
11．已知二次函数经过点、．
(1)求二次函数的解析式；
(2)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴．
12．已知二次函数
(1)求抛物线与坐标轴的交点；
(2)当时，直接写出函数y的取值范围．
13．观察下列两个三位数的积，猜想其中哪个积最大？并用函数的知识说明理由．
．
14．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线的顶点，求的面积．
15．如图，已知抛物线经过点，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在轴下方的抛物线上，是否存在点，使得？若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
16．如图，已知抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值；
17．如图，抛物线交轴于，两点，点在点左侧，点的坐标为，，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点．
(1)若点的坐标为，求的长．
(2)当时，求的值．
18．如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查求二次函数的顶点坐标，解题关键是掌握二次函数的顶点是．直接由二次函数解析式求解即可．
【详解】解：∵
∴抛物线的顶点坐标为，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可求解，熟记：“形如（，其中、为常数）的函数是二次函数”是解题的关键．
【详解】解：A、是二次函数，故不符合题意；
B、，是一次函数，故不符合题意；
C、是二次函数，故符合题意；
D、，，分式形式，故不是二次函数，故不符合题意；
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线图象的平移规则：左加右减，上加下减，即可得到答案．
【详解】解：抛物线向右平移2个单位，得到的抛物线为：，
故选：A．
4．C
【分析】本题主要考查了比较二次函数的函数值的大小，根据解析式可推出对称轴和离对称轴越远函数值越小，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵点，，都在二次函数的图象上，且，
∴，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，整理成顶点式求解更加简便．把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值．
【详解】解：，
时，的最大值是．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键；原不等式可转化为，表明二次函数的图象位于一次函数的图象下方，观察图象即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
上式表示二次函数的图象位于一次函数的图象下方，
观察图象知，，
即不等式的解集为，
故选：C．
7．D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先利用交点式求出抛物线解析式，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性可对B进行判断；把代入函数解析式求出y值即可判断C；根据二次函数的图象和性质可对D进行判断．
【详解】解：设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线解析式为，开口向上，所以A选项不符合题意；
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，所以B选项不符合题意；
把代入，
解得：，所以C选项不符合题意；
∵，是函数图象上两点，
且，
离对称轴越近越小，则，所以选项D符合题意，
故选：D．
8．A
【分析】本题主要考查了二次函数的图象，与系数有关的代数式的符号的判定，熟记各系数符号与函数图象的关系是解题的关键．
由二次函数图象可得：，，，可判断①；由对称轴，可判断②；将代入函数，求得y值，判断③；抛物线与x轴有两个交点，可判断④．
【详解】解：∵二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，即，与y轴交在负半轴上，
∴，，，即，故①错误；
∵对称轴为直线，即，
∴，故②正确；
结合图象，当时，，故③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，即，故④正确，
∴正确的共有3个．
故选：A．
9．C
【分析】本题考查了主的图象与性质，一次函数、二次函数图象综合判断,抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
先求出二次函数的图象与的交点、的坐标，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式，然后求出直线经过点时m的值和当直线与抛物线有唯一公共点时m的值，从而可确定m的取值范围．
【详解】解：如图，
当时，，
解得：，，
则，，
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为，
即，
当直线经过点时，
，解得：；
当直线与抛物线有唯一公共点时，
方程有相等的实数解，
∴有相等的实数解，
∴，
解得：，
所以当直线与新图象有4个交点时，
m的取值范围为．
故选：C．
10．C
【分析】本题考查一次函数的图像及性质，二次函数的图像及性质．根据一次函数的图像经过的象限确定，，进而根据二次函数的图像的开口方向及对称轴，即可解答．
【详解】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限，
，，
∴二次函数的图像开口向下，，
∴对称轴在y轴左侧，则符合题意的选项为C．
故选：C．
11．(1)
(2)顶点式，顶点坐标；对称轴为直线
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，正确求出函数解析式．
（1）将两点坐标代入解析式，解得的值，求出二次函数的解析式即可；
（2）将二次函数的解析式进行配方写成顶点式，得出顶点坐标和对称轴即可．
【详解】（1）解：将、代入得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为．
（2）解：，
∴顶点式为：，顶点坐标为；对称轴为直线．
12．(1)与x轴的交点为和，与y轴的交点为
(2)
【分析】本题考查二次函数的图象与性质：
（1）令和即可求出抛物线与坐标轴的交点；
（2）将二次函数配方为，当时取得最小值，求出时的函数值，根据二次函数的图象性质可得函数y的取值范围．
【详解】（1）解：令，则，即，解得或，
∴抛物线与x轴的交点为和；
令，则，
∴抛物线与y轴的交点为；
（2）解：，
当时，y取得最小值，
当时，，
当时，，
∴当时，．
13．最大；见解析
【分析】本题主要考查了平方差公式应用，二次函数应用，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．设其中一个三位数为x，则另外一个三位数为，两个三位数的积为y，得出，根据二次函数的性质，进行说明即可．
【详解】解：∵，
，
，
∴最大；
设其中一个三位数为x，则另外一个三位数为，两个三位数的积为y，根据题意得：
，
∵，
∴二次函数的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y有最大值，自变量x的值越接近200，函数值y越大．
14．(1)
(2)3
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积等知识，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）设抛物线的解析式为，把点代入计算，据此即可求解；
（2）先求出点的坐标为，连接，利用计算即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入得：
，
解得，
所以抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
点的坐标为，
连接，
．
15．(1)
(2)，
【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练求得二次函数解析式．
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）设存在点，列出方程求出的值，再利用待定系数法求出点坐标即可
【详解】（1）解：设抛物线方程为将，，三点代入可得：
，
解得，
所以抛物线的解析式为；
（2）解：设存在点，由题意可知，以为底，则高为，
，
在中，以为底，则高为，
，
点在轴的下方，
，
，
在抛物线上，所以满足抛物线方程．代入得：，
解得，，
所以点的坐标为：，．
16．(1)
(2)
【分析】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数求最值等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）将，，三点代入抛物线，利用待定系数法求解即可；
（2）连接、、，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，设，利用待定系数法求出直线的解析式为，则，进而得到，再根据三角形面积公式得到关于的二函数，利用配方法求出最大值，即可得解．
【详解】（1）解：抛物线经过，，三点，
则，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接、、，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，
点为第二象限内抛物线上一动点，
设，
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为，
，
，
，
，
当时，有最大值为．
17．(1)2
(2)7
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
（1）先把A点坐标代入中求得或，则根据点A在点B左侧可确定抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性求的长；
（2）通过解方程得，，则，所以，利用抛物线的对称性得到，然后解方程即可．
【详解】（1）解：把代入得，解得或，
点在点左侧，
，
即抛物线的对称轴为直线，
轴，，
点与点关于直线对称，
而点的横坐标为6，
；
（2）当时，，解得，，
，，
，
，
点的横坐标为6，
，
．
18．(1)
(2)能，点D的坐标为或
【分析】本题考查了待定系数法求一元二次函数和一元一次函数的解析式、一元二次函数的性质、一元二次方程的求解．
（1）利用待定系数法将代入抛物线建立方程组，解得的值即可求解；
（2）设直线的表达式为，将代入得关于的方程组，解之求得一次函数表达式，设，，进而得．时，时，时，求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：将代入，得，
，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：直线能把分成面积之比为的两部分，理由如下：
设直线的表达式为，
把代入，得，解得，
则直线的表达式为．
设，则，
∴，
当时，，即，
整理得，
解得（舍去），
此时点坐标为；
当时，，即，
整理得，
解得（舍去），
此时点坐标为．
综上所述，当点的坐标为或时，直线能把分成面积之比为的两部分．
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