四川省成都市实验外国语学校2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷
1．（2025八上·成都开学考）4的算术平方根是（ ）
A． ±2 B．2 C．﹣2 D．±16
2．（2025八上·成都开学考）下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A． ， ， B．3，4，5 C．5，12，13 D．1，2，
3．（2025八上·成都开学考）下列各式中，正确的是（ ）
A．＝4 B．＝﹣2 C．＝±4 D．±＝2
4．（2025八上·成都开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025八上·成都开学考）下列说法正确的是（ ）
A．4的算术平方根是 B．3的平方根是
C．27的立方根是 D．的平方根是
6．（2025八上·成都开学考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
7．（2025八上·成都开学考）如图，，过点作直线，点在直线上，，以点为圆心，以长为半径作弧，与的延长线交于点，则点表示的实数是（ ）
A． B． C．7 D．29
8．（2025八上·成都开学考）根据图中的程序，当输入为时，输出的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025八上·成都开学考）在下列实数中：①，②，③，④，⑤1.010010001…（两个1之间依次多1个0），属于无理数的是 ．（直接填写序号）
10．（2025八上·成都开学考）已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的值为 ，这个正数为 ．
11．（2025八上·成都开学考）的平方根是 ，的算术平方根是 ．
12．（2025八上·成都开学考）如图(1)，在某居民小区内有一块近似长方形的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，仅仅少走了几步路，却踩伤了花草，如图(2)，经过测量，，计算仅仅少走了 步．(假设米为步)
13．（2025八上·成都开学考）如图，在中，，，垂足为．如果，，则的长为 ．
14．（2025八上·成都开学考）计算或解方程．
（1）
（2）
（3）
（4）．
15．（2025八上·成都开学考）已知2a+1的平方根是±3，1-b的立方根为-1．
（1）求a与b的值；
（2）求3a+2b的算术平方根．
16．（2025八上·成都开学考）一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，其示意图如下图所示．小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面的高度，小狗的高，小狗与小方的距离．求此时牵狗绳的长（绳子一直是直的）．
17．（2025八上·成都开学考）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
（1）观察算式规律，计算＝ ；＝ ．
（2）用含正整数的式子表示上述算式的规律： ．
（3）计算：．
18．（2025八上·成都开学考）如图，中，，，．
（1）求的面积；
（2）设点在上，若，求的长；
（3）设点在上，若为等腰三角形，求的长．
19．（2025八上·成都开学考）已知 ，则 的平方根是 ．
20．（2025八上·成都开学考）给出下列说法：①5的平方根是；②的平方根是；③－3是9的一个平方根；④；⑤0.01的算术平方根是0.1．其中正确的是 ．
21．（2025八上·成都开学考）如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ．
22．（2025八上·成都开学考）已知 x2＝9，y3＝－，且xy＜0，求2x＋4y的算术平方根．
23．（2025八上·成都开学考）已知，求的平方根．
24．（2025八上·成都开学考）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简= ．
25．（2025八上·成都开学考）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接、．若的面积是的倍，小正方形的面积是，则大正方形的面积 ．
26．（2025八上·成都开学考）【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分．
结合以上材料，回答下列问题：
（1）的小数部分是______，的整数部分是____；
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（3）已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根．
27．（2025八上·成都开学考）综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然．
（1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点，可得，直接写出边上的高为______．
（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】∵22=4，∴4的算术平方根是2.
故答案为：B.
【分析】若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根，据此解答即可.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、（ ）2+（ ）2≠（ ）2，不能构成直角三角形，故符合题意；
B、32+42＝52，能构成直角三角形，故不符合题意；
C、52+122＝132，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、12+（ ）2＝22，能构成直角三角形，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】分别计算a2、b2、c2的值，根据勾股定理的逆定理观察每一个选项的值是否满足a2+b2=c2即可判断各组数据是否能构成直角三角形.
3．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：A、=4，
∴此选项符合题意；
B、没有意义，
∴此选项不符合题意；
C、=4≠±4，原计算错误，
∴此选项不符合题意；
D、±=±2≠2，原计算错误，
∴此选项不符合题意.
故选：A．
【分析】根据二次根式的性质化简，分别化简四个选项即可判断求解．
4．【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
∴
故答案为：．
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性可得关于a、b的方程，解方程求得和的值，代入所求代数式计算即可求解．
5．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、4的算术平方根是，
∴此选项不符合题意；
B、3的平方根是，
∴此选项不符合题意；
C、∵，，
∴27的立方根是3，
∴此选项不符合题意；
D、，因为，则4的平方根为，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据算术平方根和立方根，根据平方根、立方根的概念依次判断即可求解.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】
解：如图
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，AD=2米，BD2+AD2=AB'2，
∴BD2+22=6.25，
∴BD2=2.25，
∵BD＞0，
∴BD=1.5米，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．
故选：C．
【分析】
在Rt△ABD中，利用勾股定理求得梯子底端到右墙的距离BD的长度，然后根据CD=BC+BD即可得到小巷的宽度。
7．【答案】B
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，OA=5，AB=2，
根据勾股定理得：，
则点C表示的实数是．
故答案为：B．
【分析】根据数轴可得：在直角三角形AOB中，用勾股定理求出OB的长，即为OC的长，结合数轴的特征和各选项可求解．
8．【答案】A
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：当输入为时，
，是有理数，
当输入为时，
，是有理数，
当输入为时，
，是无理数，
∴输出的值是，
故答案为：．
【分析】先把输入，计算出的值，若结果为无理数则输出结果，若结果为有理数，继续把的值输入进行计算，如此反复直至的结果为无理数即可求解．
9．【答案】①④⑤
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】无理数有：①，④，⑤1.010010001…（两个1之间依次多1个0），
故答案为：①④⑤．
【分析】根据无理数的定义“无理数是指无限不循环小数”依次判断即可求解．
10．【答案】；
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：一个正数的两个平方根分别是和，
，
解得，
这个正数是：．
故答案为：，81．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数并结合互为相反数的两个数的和为0可得关于a的方程，解方程求出a的值，然后根据平方根的意义即可求解．
11．【答案】2；
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴的平方根是；
∵，
∴的算术平方根是．
故答案为：；．
【分析】先计算，再求其平方根即可；先计算，再求的算术平方根．
平方根：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根；
算术平方根：一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根，零的算术平方根是零，负数没有算术平方根．
12．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：根据题意知：，，，
∴，
∴少走的距离是：，
∵米为步，
∴米为步，
∴仅仅少走了步．
故答案为：．
【分析】根据勾股定理求出路长，即三角形的斜边长，再求两直角边的和与斜边的差即可求解．
13．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：.
【分析】根据勾股定理可得的长，再由可得关于BD的方程，解方程即可求解．
14．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：∵
∴
∴
∴
（4）解：∵
∴
∴
∴或
∴，
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）由负整数指数幂的意义“任意一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数”可得=9，由0指数幂的意义得：（π-3）0=1，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可求解；
（2）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后由合并同类项法则计算即可求解；
（3）根据"移项、系数化为1、方程两边开平方"解方程即可求解；
（4）将（x+1）看作一个整体，然后根据"移项、系数化为1、方程两边开平方"解方程即可求解．
（1）解：
（2）解：
（3）解：∵
∴
∴
∴
（4）解：∵
∴
∴
∴或
∴，
15．【答案】解：（1）∵2a+1的平方根是±3，
∴2a+1＝＝9，
解得a＝4；
∵1-b的立方根为-1，
∴1﹣b＝＝-1，
解得b＝2．
（2）∵a＝4，b＝2，
∴3a+2b
＝3×4+2×2
＝16，
∴3a+2b的算术平方根为＝4．
【知识点】平方根的概念与表示；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据平方根的定义，立方根的定义列出关于a、b的方程组，解方程即可求解；
（2）结合（1）的结论，先计算3a+2b的值，再根据算术平方根的定义计算即可求解．
16．【答案】解：如图，过点作于点，则，
所以．
在中，，
所以，
所以此时牵狗绳的长为．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】过点作于点，则，在中，根据勾股定理即可求解．
17．【答案】（1）；
（2）
（3）解：
．
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】
（1）
解：，
故答案为：；
（2）
解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：；
故答案为：.
【分析】
（1）根据算术平方根的意义计算即可求解；
（2）从数字找规律，即可求解；
（3）从数字找规律，进行计算即可求解．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：；
故答案为：；
（3）解：
．
18．【答案】（1）解：，，，
，
∴的面积，
答：三角形ABC的面积为96；
（2），
，
设，
，
，
解得：，
；
（3）的长为8或10或．
如图1，当时，，
如图2，当时，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
如图3，当时，过作于点，
则，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为8或10或．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】
（1）根据勾股定理求得，再由直角三角形面积公式计算即可求解；
（2）由等角对等边可得，设，在中，用勾股定理列关于x的方程，解方程即可求解；
（3）根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：当时，当时，当时，结合图形即可求解．
（1）解：，，，
，
∴的面积，
（2），
，
设，
，
，
解得：，
；
（3）的长为8或10或．
如图1，当时，，
如图2，当时，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
如图3，当时，过作于点，
则，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为8或10或．
19．【答案】
【知识点】平方根；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由得x=3，
∴y=1，
∴x+y=4，
∴x+y的平方根是±2.
故答案为：±2.
【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x=3，从而得出y的值，求出x+y的值，再根据平方根的定义，即可得出答案.
20．【答案】①③⑤
【知识点】平方根的概念与表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：①5的平方根是，
∴说法正确；
②的平方根是
∴说法错误；
③－3是9的一个平方根，
∴说法正确；
④，
∴说法错误；
⑤0.01的算术平方根是0.1，
∴说法正确．
∴正确的有①③⑤，
故答案为：①③⑤．
【分析】根据平方根的定义“若x2=a，那么x叫a的平方根，表示为x=，”判定①②③，根据算术平方根定义“若x2=a，那么x叫a的平方根，表示为x=，其中正的平方根叫a的算术平方根”判定④⑤即可求解．
21．【答案】10
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，将长方体侧面展开得，
蚂蚁的爬行的最短路径为的长，
（），
，
蚂蚁的爬行的最短路径为，
故答案为：．
【分析】将长方体侧面展开，根据两点之间线段最短可得蚂蚁的爬行的最短路径为的长，用勾股定理即可求解．
22．【答案】解：∵x2＝9，y3＝－，
∴x＝±3，y＝ ，
∵xy＜0，
∴x＝3，y＝ ，
∴2x＋4y＝2×3＋4×（ ）＝6 2＝4，
∴2x＋4y的算术平方根是：2．
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义“如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．”求出x、y的值，然后将x、y的值代入所求代数式计算并结合算术平方根的定义即可求解．
23．【答案】解：∵有意义，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，解得：，，
∴，
∴的平方根为．
【知识点】二次根式有无意义的条件；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于m的不等式，解之求出m的范围，再根据不等式的性质得出的符号，将化为，由偶次方和二次根式的非负性可得关于m、n的方程，解方程求得，的值，再代入计算并结合平方根的定义即可求解．
24．【答案】-2a+b
【知识点】整式的加减运算；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴a+b＜0，a﹣b＞0，
∴
＝﹣（a+b）﹣|b|﹣|a﹣b|
＝﹣a﹣b+b﹣（a﹣b）
＝﹣a﹣b+b﹣a+b
＝﹣2a+b．
故答案为：﹣2a+b
【分析】根据a、b在数轴上的位置可得b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据算术平方根的性质和绝对值的非负性可去括号和根号，然后合并同类项即可求解．
25．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设，，则
依题意，
∵的面积是的倍，
∴，即
∴
即（负值舍去）
∵小正方形的面积是，
∴
∴
∴
∴大正方形的面积
故答案为：．
【分析】设，，用勾股定理得：，由图形可得：，，，根据小正方形的面积为16可得关于a、b的方程，结合b=3a可求得a、b的值，然后根据大正方形的面积即可求解．
26．【答案】（1），
（2）解：，
，
的小数部分为，即，
，
，
的整数部分为，即，
；
（3）解：，
，
，
，其中是整数，且，
，，
，
的平方根为．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）
【解析】【解答】
（1）
解：，
，
的整数部分是，
的小数部分是；
，
，
，
，
的整数部分是；
故答案为：，.
【分析】
（1）由题意，先估算出的范围，即可得其的小数部分；估算出的范围，然后可估算出的范围，再根据不等式的性质即可求解；
（2）先估算出、的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可求解；
（3）先估算出的范围，进而估算出的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可．
（1）解：，
，
的整数部分是，
的小数部分是；
，
，
，
，
的整数部分是；
故答案为：，；
（2），
，
的小数部分为，即，
，
，
的整数部分为，即，
；
（3），
，
，
，其中是整数，且，
，，
，
的平方根为．
27．【答案】证明：（1）∵，，，
，
∴，
∴，
∴；
（2）边上的高是；
（3）在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
∴．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；三角形的面积；勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：（2），
，
，
，
即边上的高是.
故答案为：.
【分析】（1）利用三角形的面积公式、正方形的面积公式及割补法列出代数式化简即可；
（2）利用三角形的面积公式及等面积法求出边上的高是即可；
（3）利用勾股定理可得，再求出x的值即可.
1 / 1四川省成都市实验外国语学校2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷
1．（2025八上·成都开学考）4的算术平方根是（ ）
A． ±2 B．2 C．﹣2 D．±16
【答案】B
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】∵22=4，∴4的算术平方根是2.
故答案为：B.
【分析】若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根，据此解答即可.
2．（2025八上·成都开学考）下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A． ， ， B．3，4，5 C．5，12，13 D．1，2，
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、（ ）2+（ ）2≠（ ）2，不能构成直角三角形，故符合题意；
B、32+42＝52，能构成直角三角形，故不符合题意；
C、52+122＝132，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、12+（ ）2＝22，能构成直角三角形，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】分别计算a2、b2、c2的值，根据勾股定理的逆定理观察每一个选项的值是否满足a2+b2=c2即可判断各组数据是否能构成直角三角形.
3．（2025八上·成都开学考）下列各式中，正确的是（ ）
A．＝4 B．＝﹣2 C．＝±4 D．±＝2
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：A、=4，
∴此选项符合题意；
B、没有意义，
∴此选项不符合题意；
C、=4≠±4，原计算错误，
∴此选项不符合题意；
D、±=±2≠2，原计算错误，
∴此选项不符合题意.
故选：A．
【分析】根据二次根式的性质化简，分别化简四个选项即可判断求解．
4．（2025八上·成都开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
∴
故答案为：．
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性可得关于a、b的方程，解方程求得和的值，代入所求代数式计算即可求解．
5．（2025八上·成都开学考）下列说法正确的是（ ）
A．4的算术平方根是 B．3的平方根是
C．27的立方根是 D．的平方根是
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、4的算术平方根是，
∴此选项不符合题意；
B、3的平方根是，
∴此选项不符合题意；
C、∵，，
∴27的立方根是3，
∴此选项不符合题意；
D、，因为，则4的平方根为，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据算术平方根和立方根，根据平方根、立方根的概念依次判断即可求解.
6．（2025八上·成都开学考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】
解：如图
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，AD=2米，BD2+AD2=AB'2，
∴BD2+22=6.25，
∴BD2=2.25，
∵BD＞0，
∴BD=1.5米，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．
故选：C．
【分析】
在Rt△ABD中，利用勾股定理求得梯子底端到右墙的距离BD的长度，然后根据CD=BC+BD即可得到小巷的宽度。
7．（2025八上·成都开学考）如图，，过点作直线，点在直线上，，以点为圆心，以长为半径作弧，与的延长线交于点，则点表示的实数是（ ）
A． B． C．7 D．29
【答案】B
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，OA=5，AB=2，
根据勾股定理得：，
则点C表示的实数是．
故答案为：B．
【分析】根据数轴可得：在直角三角形AOB中，用勾股定理求出OB的长，即为OC的长，结合数轴的特征和各选项可求解．
8．（2025八上·成都开学考）根据图中的程序，当输入为时，输出的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：当输入为时，
，是有理数，
当输入为时，
，是有理数，
当输入为时，
，是无理数，
∴输出的值是，
故答案为：．
【分析】先把输入，计算出的值，若结果为无理数则输出结果，若结果为有理数，继续把的值输入进行计算，如此反复直至的结果为无理数即可求解．
9．（2025八上·成都开学考）在下列实数中：①，②，③，④，⑤1.010010001…（两个1之间依次多1个0），属于无理数的是 ．（直接填写序号）
【答案】①④⑤
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】无理数有：①，④，⑤1.010010001…（两个1之间依次多1个0），
故答案为：①④⑤．
【分析】根据无理数的定义“无理数是指无限不循环小数”依次判断即可求解．
10．（2025八上·成都开学考）已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的值为 ，这个正数为 ．
【答案】；
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：一个正数的两个平方根分别是和，
，
解得，
这个正数是：．
故答案为：，81．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数并结合互为相反数的两个数的和为0可得关于a的方程，解方程求出a的值，然后根据平方根的意义即可求解．
11．（2025八上·成都开学考）的平方根是 ，的算术平方根是 ．
【答案】2；
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴的平方根是；
∵，
∴的算术平方根是．
故答案为：；．
【分析】先计算，再求其平方根即可；先计算，再求的算术平方根．
平方根：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根；
算术平方根：一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根，零的算术平方根是零，负数没有算术平方根．
12．（2025八上·成都开学考）如图(1)，在某居民小区内有一块近似长方形的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，仅仅少走了几步路，却踩伤了花草，如图(2)，经过测量，，计算仅仅少走了 步．(假设米为步)
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：根据题意知：，，，
∴，
∴少走的距离是：，
∵米为步，
∴米为步，
∴仅仅少走了步．
故答案为：．
【分析】根据勾股定理求出路长，即三角形的斜边长，再求两直角边的和与斜边的差即可求解．
13．（2025八上·成都开学考）如图，在中，，，垂足为．如果，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：.
【分析】根据勾股定理可得的长，再由可得关于BD的方程，解方程即可求解．
14．（2025八上·成都开学考）计算或解方程．
（1）
（2）
（3）
（4）．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：∵
∴
∴
∴
（4）解：∵
∴
∴
∴或
∴，
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）由负整数指数幂的意义“任意一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数”可得=9，由0指数幂的意义得：（π-3）0=1，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可求解；
（2）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后由合并同类项法则计算即可求解；
（3）根据"移项、系数化为1、方程两边开平方"解方程即可求解；
（4）将（x+1）看作一个整体，然后根据"移项、系数化为1、方程两边开平方"解方程即可求解．
（1）解：
（2）解：
（3）解：∵
∴
∴
∴
（4）解：∵
∴
∴
∴或
∴，
15．（2025八上·成都开学考）已知2a+1的平方根是±3，1-b的立方根为-1．
（1）求a与b的值；
（2）求3a+2b的算术平方根．
【答案】解：（1）∵2a+1的平方根是±3，
∴2a+1＝＝9，
解得a＝4；
∵1-b的立方根为-1，
∴1﹣b＝＝-1，
解得b＝2．
（2）∵a＝4，b＝2，
∴3a+2b
＝3×4+2×2
＝16，
∴3a+2b的算术平方根为＝4．
【知识点】平方根的概念与表示；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据平方根的定义，立方根的定义列出关于a、b的方程组，解方程即可求解；
（2）结合（1）的结论，先计算3a+2b的值，再根据算术平方根的定义计算即可求解．
16．（2025八上·成都开学考）一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，其示意图如下图所示．小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面的高度，小狗的高，小狗与小方的距离．求此时牵狗绳的长（绳子一直是直的）．
【答案】解：如图，过点作于点，则，
所以．
在中，，
所以，
所以此时牵狗绳的长为．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】过点作于点，则，在中，根据勾股定理即可求解．
17．（2025八上·成都开学考）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
（1）观察算式规律，计算＝ ；＝ ．
（2）用含正整数的式子表示上述算式的规律： ．
（3）计算：．
【答案】（1）；
（2）
（3）解：
．
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】
（1）
解：，
故答案为：；
（2）
解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：；
故答案为：.
【分析】
（1）根据算术平方根的意义计算即可求解；
（2）从数字找规律，即可求解；
（3）从数字找规律，进行计算即可求解．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：；
故答案为：；
（3）解：
．
18．（2025八上·成都开学考）如图，中，，，．
（1）求的面积；
（2）设点在上，若，求的长；
（3）设点在上，若为等腰三角形，求的长．
【答案】（1）解：，，，
，
∴的面积，
答：三角形ABC的面积为96；
（2），
，
设，
，
，
解得：，
；
（3）的长为8或10或．
如图1，当时，，
如图2，当时，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
如图3，当时，过作于点，
则，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为8或10或．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】
（1）根据勾股定理求得，再由直角三角形面积公式计算即可求解；
（2）由等角对等边可得，设，在中，用勾股定理列关于x的方程，解方程即可求解；
（3）根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：当时，当时，当时，结合图形即可求解．
（1）解：，，，
，
∴的面积，
（2），
，
设，
，
，
解得：，
；
（3）的长为8或10或．
如图1，当时，，
如图2，当时，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
如图3，当时，过作于点，
则，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为8或10或．
19．（2025八上·成都开学考）已知 ，则 的平方根是 ．
【答案】
【知识点】平方根；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由得x=3，
∴y=1，
∴x+y=4，
∴x+y的平方根是±2.
故答案为：±2.
【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x=3，从而得出y的值，求出x+y的值，再根据平方根的定义，即可得出答案.
20．（2025八上·成都开学考）给出下列说法：①5的平方根是；②的平方根是；③－3是9的一个平方根；④；⑤0.01的算术平方根是0.1．其中正确的是 ．
【答案】①③⑤
【知识点】平方根的概念与表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：①5的平方根是，
∴说法正确；
②的平方根是
∴说法错误；
③－3是9的一个平方根，
∴说法正确；
④，
∴说法错误；
⑤0.01的算术平方根是0.1，
∴说法正确．
∴正确的有①③⑤，
故答案为：①③⑤．
【分析】根据平方根的定义“若x2=a，那么x叫a的平方根，表示为x=，”判定①②③，根据算术平方根定义“若x2=a，那么x叫a的平方根，表示为x=，其中正的平方根叫a的算术平方根”判定④⑤即可求解．
21．（2025八上·成都开学考）如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ．
【答案】10
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，将长方体侧面展开得，
蚂蚁的爬行的最短路径为的长，
（），
，
蚂蚁的爬行的最短路径为，
故答案为：．
【分析】将长方体侧面展开，根据两点之间线段最短可得蚂蚁的爬行的最短路径为的长，用勾股定理即可求解．
22．（2025八上·成都开学考）已知 x2＝9，y3＝－，且xy＜0，求2x＋4y的算术平方根．
【答案】解：∵x2＝9，y3＝－，
∴x＝±3，y＝ ，
∵xy＜0，
∴x＝3，y＝ ，
∴2x＋4y＝2×3＋4×（ ）＝6 2＝4，
∴2x＋4y的算术平方根是：2．
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义“如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．”求出x、y的值，然后将x、y的值代入所求代数式计算并结合算术平方根的定义即可求解．
23．（2025八上·成都开学考）已知，求的平方根．
【答案】解：∵有意义，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，解得：，，
∴，
∴的平方根为．
【知识点】二次根式有无意义的条件；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于m的不等式，解之求出m的范围，再根据不等式的性质得出的符号，将化为，由偶次方和二次根式的非负性可得关于m、n的方程，解方程求得，的值，再代入计算并结合平方根的定义即可求解．
24．（2025八上·成都开学考）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简= ．
【答案】-2a+b
【知识点】整式的加减运算；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴a+b＜0，a﹣b＞0，
∴
＝﹣（a+b）﹣|b|﹣|a﹣b|
＝﹣a﹣b+b﹣（a﹣b）
＝﹣a﹣b+b﹣a+b
＝﹣2a+b．
故答案为：﹣2a+b
【分析】根据a、b在数轴上的位置可得b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据算术平方根的性质和绝对值的非负性可去括号和根号，然后合并同类项即可求解．
25．（2025八上·成都开学考）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接、．若的面积是的倍，小正方形的面积是，则大正方形的面积 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设，，则
依题意，
∵的面积是的倍，
∴，即
∴
即（负值舍去）
∵小正方形的面积是，
∴
∴
∴
∴大正方形的面积
故答案为：．
【分析】设，，用勾股定理得：，由图形可得：，，，根据小正方形的面积为16可得关于a、b的方程，结合b=3a可求得a、b的值，然后根据大正方形的面积即可求解．
26．（2025八上·成都开学考）【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分．
结合以上材料，回答下列问题：
（1）的小数部分是______，的整数部分是____；
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（3）已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根．
【答案】（1），
（2）解：，
，
的小数部分为，即，
，
，
的整数部分为，即，
；
（3）解：，
，
，
，其中是整数，且，
，，
，
的平方根为．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）
【解析】【解答】
（1）
解：，
，
的整数部分是，
的小数部分是；
，
，
，
，
的整数部分是；
故答案为：，.
【分析】
（1）由题意，先估算出的范围，即可得其的小数部分；估算出的范围，然后可估算出的范围，再根据不等式的性质即可求解；
（2）先估算出、的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可求解；
（3）先估算出的范围，进而估算出的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可．
（1）解：，
，
的整数部分是，
的小数部分是；
，
，
，
，
的整数部分是；
故答案为：，；
（2），
，
的小数部分为，即，
，
，
的整数部分为，即，
；
（3），
，
，
，其中是整数，且，
，，
，
的平方根为．
27．（2025八上·成都开学考）综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然．
（1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点，可得，直接写出边上的高为______．
（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值．
【答案】证明：（1）∵，，，
，
∴，
∴，
∴；
（2）边上的高是；
（3）在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
∴．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；三角形的面积；勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：（2），
，
，
，
即边上的高是.
故答案为：.
【分析】（1）利用三角形的面积公式、正方形的面积公式及割补法列出代数式化简即可；
（2）利用三角形的面积公式及等面积法求出边上的高是即可；
（3）利用勾股定理可得，再求出x的值即可.
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