10.1平方根和立方根
【题型1】平方根的定义 4
【题型2】平方根的性质 4
【题型3】利用平方根求未知数的值 5
【题型4】算术平方根的定义 5
【题型5】算术平方根有意义的条件 6
【题型6】算术平方根的非负性 6
【题型7】算术平方根的应用 7
【题型8】利用计算器开平方 7
【题型9】立方根的定义与性质 9
【题型10】立方根与平方根的综合 9
【题型11】利用立方根求未知数的值 10
【题型12】立方根的实际应用 10
【题型13】利用计算器开立方 12
【知识点1】平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 1.（2025春 谷城县期末）4的平方根是（ ） A．±2B．C．2D．-2
【知识点2】算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 1.（2025春 海伦市期末）25的平方根是（ ） A．5B．-5C．5或-5D．
2.（2025春 张店区期末）等于（ ） A．±3B．3C．±6D．6
【知识点3】非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 1.（2025 广东校级模拟）若（a-1）2+=0，则（a-b）2022=（ ） A．1B．-1C．0D．2022
【知识点4】立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 1.（2024秋 东台市期末）下列说法中，错误的是（ ） A．0的平方根是0B．1的立方根是1C．的平方根是±4D．2是4的算术平方根
2.（2024秋 叶县期末）下列说法正确的是（ ） A．-27的立方根是3B．=±4C．1的平方根是1D．4的算术平方根是2
【知识点5】计算器—数的开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 1.（2024 镇江一模）有一个计算器，计算时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（ ） A．B．C．D．
2.（2024 烟台一模）用计算器求35值时，需相继按“3”，“yx”，“5”，“=”键，若小颖相继按“””4”，“yx”，“（-）”，“3”，“=”键，则输出结果是（ ） A．8B．4C．-6D．0.125
【题型1】平方根的定义
【典型例题】“的平方根是±”，用数学式子表示为（ ）
A.=± B.±=± C.= D.-=-
【举一反三1】（-9）2的平方根是（ ）
A.-9 B.±9 C.81 D.±
【举一反三2】如果一个数的平方根是±8，那么这个数是____________．
【举一反三3】已知正实数x的平方根分别是n和n+a（a＞0），若n2+（n+a）2=8，求n+a的平方根．
【题型2】平方根的性质
【典型例题】下列各数中，没有平方根的是（ ）
A.2 B.0 C.-（-5）2 D.|-2|
【举一反三1】若a和b都是7的平方根（a＜b），则a+b的值为（ ）
A.14 B.7 C.0 D.无法确定
【举一反三2】如果一个数的平方根是a+3和2a-15，则a的值为 4 ，这个数为____________．
【举一反三3】已知a-1和5-2a都是非负数m的平方根，求m的值．
佳佳的解题过程如下：
解：∵a-1和5-2a都是非负数m的平方根，
∴a-1+5-2a=0，
解得a=4，
∴a-1=3，
∴m的值为9．
请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由．
【举一反三4】已知正数m的平方根分别是a+3和-6，求a和m的值．
【题型3】利用平方根求未知数的值
【典型例题】若x使（x-1）2=4成立，则x的值是（ ）
A.3 B.-1 C.3或-1 D.±2
【举一反三1】若（x-1）2=64，则x的值为（ ）
A.8 B.9 C.±9 D.9或-7
【举一反三2】若x2=121，则x=____________．
【举一反三3】若（x-3）2=121，则x的值为____________．
【举一反三4】求下列各式中的x：
（1）4x2=1；
（2）（x-1）2-27=0．
【题型4】算术平方根的定义
【典型例题】若一个正数的两个平方根分别是m+6和2m-15，则的算术平方根是（ ）
A.4 B.±4 C.2 D.±2
【举一反三1】81的算术平方根为（ ）
A.±3 B.3 C.±9 D.9
【举一反三2】的算术平方根是____________；的平方根是____________．
【举一反三3】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，＝2，＝3，＝6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．
（1）请直接判断3，12，32是不是“和谐组合”，____________．
（2）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．
（3）已知9，a,25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值．
【题型5】算术平方根有意义的条件
【典型例题】已知，，的平方根是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】已知y=+x-2，则的值为（ ）
A.5 B.3 C.﹣3 D.﹣5
【举一反三2】已知=3，则的值为（ ）
A. B. C.12 D.18
【举一反三3】若代数式-有意义，则实数x的取值范围是 ．
【举一反三4】若x，y满足，
(1)求x，y的值；
(2)求的值．
【题型6】算术平方根的非负性
【典型例题】若=3.5-x,则x的值不能是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
【举一反三1】已知的三边长a，b，c满足等式，则的形状是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
【举一反三2】若 ，则的值为（ ）
A. B. C.3 D.7
【举一反三3】，则 ．
【举一反三4】如果，那么 ．
【举一反三5】若与互为相反数，求的值．
【举一反三6】若，求．
【题型7】算术平方根的应用
【典型例题】射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v＝进行计算，其中a为子弹的加速度，l为枪筒的长．如果a＝5×105 m/s2，l＝0.81 m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A.9×102 m/s B.0.9×103 m/s C.8×102 m/s D.0.8×103 m/s
【举一反三1】一个正方形的面积是4，则这个正方形的边长是（ ）
A.2 B.±2 C. D.
【举一反三2】一个圆柱形零件的体积是251.2 cm3，高是20 cm，零件的底面直径是（ ）cm．
A.12.56 B.6.28 C.4 D.2
【举一反三3】（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短．记得立契时，长阔争一半．今问俊明公，此法如何算．意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半．现在请你帮他算出它的长是_______步．（一亩＝240平方步）
【举一反三4】已知刹车距离的计算公式v＝16，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车距离（单位：m），f表示摩擦系数，在一次交通事故中．测得d＝16 m，f＝2.25，而发生交通事故的路段限速为100 km/h，通过计算说明肇事汽车是否违规行驶．
【举一反三5】电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q＝I2Rt．
（1）若导线电阻为5 Ω，电流为，则1 s时间导线产生的热量是多少？
（2）若导线电阻为5 Ω，1 s时间导线产生的热量为80 J，则电流I的值是多少？
【题型8】利用计算器开平方
【典型例题】利用教材中的计算器依次按键如下：
则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ）
A.2.5 B.2.6 C.2.8 D.2.9
【举一反三1】利用计算器求的值，正确的按键顺序为（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】某同学在用计算器估算6的算术平方根时，需要用到以下哪个键（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表：
（1）表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小数点就向 _________移动 _________位；
（2）运用你发现的规律，探究下列问题：
①若1.910，6.042，则_________；
②已知x2≈0.000365，则x≈_________．
【举一反三4】用计算器计算：
（1）__________；
（2）__________；
（3）__________；
（4）__________.
观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果：
__________.
【举一反三5】阅读下面材料，解答问题：
[问题情境]数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根”的实践活动．
[实践探究]同学们利用计算器计算出下表中的算术平方根，整理数据如下：
（1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 _________位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 _________位：
（2）已知，请运用上述规律直接写出各式的值：_________， _________．
（3）你能根据的值说出的值是多少吗？请说明理由．
【题型9】立方根的定义与性质
【典型例题】若一个数的立方根是﹣3，则该数为（ ）
A. B.﹣27 C.± D.±27
【举一反三1】已知：2.868，且28.68，则a＝（ ）
A.2360 B.﹣2360 C.23600 D.﹣23600
【举一反三2】的立方根是（ ）
A.8 B.4 C.2 D.16
【举一反三3】已知|a﹣1|+（b﹣8）2＝0，则的立方根是 ．
【举一反三4】已知3是2x﹣1的立方根，4是3y+4的立方根，求x-y-2的立方根．
【题型10】立方根与平方根的综合
【典型例题】若实数x，y，z满足（y﹣4）2+|z+8|＝0，则xyz的立方根是（ ）
A.8 B.﹣8 C.4 D.﹣4
【举一反三1】一个正数b的平方根为a+1和2a﹣7，则9a+b的立方根是（ ）
A.2 B.3 C.9 D.±3
【举一反三2】下列说法中，正确的是（ ）
A.±5 B.4 C.﹣32的算术平方根是3 D.0.01的平方根是0.1
【举一反三3】已知一个数的一个平方根是﹣8，则这个数的立方根是 ．
【举一反三4】若|y+25|＝0，则的值为 ．
【举一反三5】已知正数a的两个不同平方根分别是2x﹣2和6﹣3x，a﹣4b的算术平方根是4．
（1）求a和b的值；
（2）求2a﹣b2+17的立方根．
【举一反三6】已知某正数的两个不同的平方根为3a﹣14和a﹣2，b﹣15的立方根为﹣3．
（1）求a，b的值；
（2）求12a+b的平方根．
【题型11】利用立方根求未知数的值
【典型例题】若（5x﹣3）3，则x的值为（ ）
A.4 B.1 C.±1 D.﹣4
【举一反三1】若a3＝1，则a的值为（ ）
A.﹣1 B.1 C.±1 D.0
【举一反三2】已知a是最大的负整数，b是8的立方根，则代数式b-a的值为（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【举一反三3】方程3x3＝81的根是_________．
【举一反三4】如果x3＝﹣27，那么x＝_________．
【举一反三5】求式子中x的值：5（2x+1）3+625＝0．
【题型12】立方根的实际应用
【典型例题】如图，一个正方体木块的体积是64 cm3，把它切成大小相等的27个小正方体，其表面积之和是（ ）
A.96 cm2 B.128 cm2 C.196 cm2 D.288 cm2
【举一反三1】一个正方体的棱长为a，体积为b，则下列说法正确的是（ ）
A.b的立方根±a B.a是b的立方根 C. D.
【举一反三2】一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（ ）
A.±4 B.4 C.±2 D.2
【举一反三3】一体积为54 cm3的长方体如图放置，其底面是正方形，高的长度是底面边长的2倍，则高的长度为_________cm．
【举一反三4】如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8，若阴影部分为正方形ABCD，则此正方形的边长是 _______________．
【举一反三5】一个正方体的体积是16，另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的表面积．
【举一反三6】如图1，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27．
（1）求出这个魔方的棱长．
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）在图2的4×4方格中画一个面积为10的正方形．
【题型13】利用计算器开立方
【典型例题】用计算器计算约为（ ）
A.3.049 B.3.050 C.3.051 D.3.052
【举一反三1】用计算器计算某个运算式，若正确的按键顺序是，则此运算式应是（ ）
A.43 B.34 C. D.
【举一反三2】用计算器求的按键顺序为 _________．
【举一反三3】利用计算器计算，并将结果填在表中．你发现了什么规律？10.1平方根和立方根
【题型1】平方根的定义 6
【题型2】平方根的性质 7
【题型3】利用平方根求未知数的值 8
【题型4】算术平方根的定义 10
【题型5】算术平方根有意义的条件 11
【题型6】算术平方根的非负性 13
【题型7】算术平方根的应用 15
【题型8】利用计算器开平方 17
【题型9】立方根的定义与性质 20
【题型10】立方根与平方根的综合 21
【题型11】利用立方根求未知数的值 24
【题型12】立方根的实际应用 25
【题型13】利用计算器开立方 28
【知识点1】平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 1.（2025春 谷城县期末）4的平方根是（ ） A．±2B．C．2D．-2
【答案】A 【分析】依据平方根的定义求解即可． 【解答】解：∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2．
故选：A． 【知识点2】算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 1.（2025春 海伦市期末）25的平方根是（ ） A．5B．-5C．5或-5D．
【答案】C 【分析】根据平方根的定义求出即可． 【解答】解：25的平方根是=±5，
故选：C． 2.（2025春 张店区期末）等于（ ） A．±3B．3C．±6D．6
【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案． 【解答】解：∵62=36，
∴=6，
故选：D． 【知识点3】非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 1.（2025 广东校级模拟）若（a-1）2+=0，则（a-b）2022=（ ） A．1B．-1C．0D．2022
【答案】A 【分析】根据偶次方和算术平方根的非负数的性质列式求出a、b,再代入计算即可得出答案． 【解答】解：∵（a-1）2+=0，而（a-1）2≥0，≥0，
∴a-1=0，b-2=0，
解得a=1，b=2，
∴（a-b）2022=（-1）2022=1．
故选：A． 【知识点4】立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 1.（2024秋 东台市期末）下列说法中，错误的是（ ） A．0的平方根是0B．1的立方根是1C．的平方根是±4D．2是4的算术平方根
【答案】C 【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐项判断计算即可． 【解答】解：A、0的平方根是0，故此选项不符合题意；
B、1的立方根是1，故此选项不符合题意；
C、，4的平方根是±2，故此选项符合题意；
D、2是4的算术平方根，故此选项不符合题意；
故选：C． 2.（2024秋 叶县期末）下列说法正确的是（ ） A．-27的立方根是3B．=±4C．1的平方根是1D．4的算术平方根是2
【答案】D 【分析】根据立方根，算术平方根，平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、-27的立方根是-3，故本选项错误；
B、=4，故本选项错误；
C、1的平方根是±1，故本选项错误；
D、4的算术平方根是2，故本选项正确．
故选：D． 【知识点5】计算器—数的开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 1.（2024 镇江一模）有一个计算器，计算时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（ ） A．B．C．D．
【答案】B 【分析】因为计算器只能显示十三位（包括小数点），要想知道7后面的数字是什么，必须想办法让7后面的数字出现，即小数点前面应尽可能得去掉数据，使数位减少，从而让7后面的数据出现． 【解答】解：A.10=14.1421356237，总的位数还是13位，
所以不可能出现7后面的数字，故A错误；
B.10（-1）=14.1421356237-10=4.1421356237一共12位，
这样7后面的数字一定会出现，故B正确；
C.100=141.421356237，总的位数还是13位，
所以不可能出现7后面的数字，故C错误；
D.-1=1.41421356237-1=0.41421356237一共13位，
这样7后面的数字不可能出现，故D错误；
故选：B． 2.（2024 烟台一模）用计算器求35值时，需相继按“3”，“yx”，“5”，“=”键，若小颖相继按“””4”，“yx”，“（-）”，“3”，“=”键，则输出结果是（ ） A．8B．4C．-6D．0.125
【答案】D 【分析】计算器按键转为算式=． 【解答】解：计算器按键转为算式=，
故选：D．
【题型1】平方根的定义
【典型例题】“的平方根是±”，用数学式子表示为（ ）
A.=± B.±=± C.= D.-=-
【答案】B
【解析】∵“的平方根是±”，
∴±=±，
故选B．
【举一反三1】（-9）2的平方根是（ ）
A.-9 B.±9 C.81 D.±
【答案】B
【解析】∵（-9）2=81，（±9）2=81，
∴（-9）2的平方根是±9．
故选B．
【举一反三2】如果一个数的平方根是±8，那么这个数是____________．
【答案】64
【解析】由题意得，这个数为（±8）2=64．
故答案为64．
【举一反三3】已知正实数x的平方根分别是n和n+a（a＞0），若n2+（n+a）2=8，求n+a的平方根．
【答案】解：∵正实数x的平方根是n和n+a,
∴（n+a）2=x,n2=x,
∵n2+（n+a）2=8，
∴x+x=8，
∴x=4，
∴n=-2，n+a=2，
∴n+a的平方根是±．
【题型2】平方根的性质
【典型例题】下列各数中，没有平方根的是（ ）
A.2 B.0 C.-（-5）2 D.|-2|
【答案】C
【解析】A、2＞0，有平方根，故不合题意；
B、0的平方根是0，故不合题意；
C、-（-5）2=-25＜0，因为负数没有平方根，故符合题意；
D、|-2|=2＞0，有平方根，故不合题意；
故选：C．
【举一反三1】若a和b都是7的平方根（a＜b），则a+b的值为（ ）
A.14 B.7 C.0 D.无法确定
【答案】C
【解析】∵a和b都是7的平方根（a＜b），
∴a+b=0，
故选：C．
【举一反三2】如果一个数的平方根是a+3和2a-15，则a的值为 4 ，这个数为____________．
【答案】4；49．
【解析】∵一个数的平方根是a+3和2a-15，
∴a+3+2a-15=0，
解得a=4，
把a=4代入a+3=7，
故这个数为49，
故答案为4；49．
【举一反三3】已知a-1和5-2a都是非负数m的平方根，求m的值．
佳佳的解题过程如下：
解：∵a-1和5-2a都是非负数m的平方根，
∴a-1+5-2a=0，
解得a=4，
∴a-1=3，
∴m的值为9．
请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由．
【答案】解：佳佳的解题过程不正确，理由如下：
∵a-1和5-2a是非负数m的平方根，
∴当a-1+5-2a=0时，
解得：a=4，
∴a-1=3，
∴m的值为：9，
当a-1=5-2a,
解得：a=2，
故m的值为：1，
综上所述：m的值为：1或9．
【举一反三4】已知正数m的平方根分别是a+3和-6，求a和m的值．
【答案】解：∵正数m的平方根分别是a+3和-6，
∴a+3=6，
解得a=3，
∴正数m=（±6）2=36，
答：a=3，m=36．
【题型3】利用平方根求未知数的值
【典型例题】若x使（x-1）2=4成立，则x的值是（ ）
A.3 B.-1 C.3或-1 D.±2
【答案】C
【解析】∵（x-1）2=4成立，
∴x-1=±2，
解得：x1=3，x2=-1．
故选：C．
【举一反三1】若（x-1）2=64，则x的值为（ ）
A.8 B.9 C.±9 D.9或-7
【答案】D
【解析】∵（x-1）2=64，
∴x-1=±8，
∴x-1=8，x-1=-8，
∴x=9或x=-7．
故选：D．
【举一反三2】若x2=121，则x=____________．
【答案】±11．
【解析】∵（±11）2=121，
∴x=±11，
故答案为：±11．
【举一反三3】若（x-3）2=121，则x的值为____________．
【答案】14或-8．
【解析】∵（x-3）2=121，
∴x-3=±11．
∴x=14或x=-8．
故答案为：14或-8．
【举一反三4】求下列各式中的x：
（1）4x2=1；
（2）（x-1）2-27=0．
【答案】解：（1）4x2=1，
x2=，
x=±=±，
故x=或x=-；
（2）（x-1）2-27=0，
（x-1）2=27，
x-1=±=±3，
x=1±3，
故x=1+3或x=1-3．
【题型4】算术平方根的定义
【典型例题】若一个正数的两个平方根分别是m+6和2m-15，则的算术平方根是（ ）
A.4 B.±4 C.2 D.±2
【答案】C
【解析】∵一个正数的两个平方根分别是m+6和2m-15，
∴m+6+2m-15=0，则m=3，
∴＝＝4，
∴的算术平方根是2，
故选：C．
【举一反三1】81的算术平方根为（ ）
A.±3 B.3 C.±9 D.9
【答案】D
【解析】∵92=81，
∴81的算术平方根为=9．
故选：D．
【举一反三2】的算术平方根是____________；的平方根是____________．
【答案】；
【解析】=3，其算术平方根为；=15，其平方根是±；
故答案为：；．
【举一反三3】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，＝2，＝3，＝6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．
（1）请直接判断3，12，32是不是“和谐组合”，____________．
（2）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．
（3）已知9，a,25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值．
【答案】（1）解：∵＝6，＝4，＝8，
∵4，8，不是整数，
∴3，12，32不是“和谐组合”；
故答案为：不是；
（2）证明：∵＝6，＝4，＝12，
∴2，18，8这三个数是“和谐组合”，
∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；
（3）解：分三种情况：①当9≤a≤25时，＝3得：a=0（舍去），
②当a≤9＜25时，＝3，得：a＝（舍去），
③当9＜25≤a时，＝3．得：a=81．
综上所述，a的值为81．
【题型5】算术平方根有意义的条件
【典型例题】已知，，的平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
则原式，
解得，
∵，
∴，
∴，
则，
∴，
则的平方根为，
故选：D．
【举一反三1】已知y=+x-2，则的值为（ ）
A.5 B.3 C.﹣3 D.﹣5
【答案】B
【解析】根据题意得：，
解得：x＝1．
则y＝﹣1．
则＝＝3．
故选：B．
【举一反三2】已知=3，则的值为（ ）
A. B. C.12 D.18
【答案】B
【解析】由题意得：，
解得x＝3，
把x＝3代入=3，可得y＝3，
所以=＝．
故选：B．
【举一反三3】若代数式-有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】3≤x≤5．
【解析】若代数式-有意义，则：．
解得3≤x≤5．
故答案为：3≤x≤5．
【举一反三4】若x，y满足，
(1)求x，y的值；
(2)求的值．
【答案】解：（1）∵，
∴，
∴，
解得：，则.
（2）∵，，
∴.
【题型6】算术平方根的非负性
【典型例题】若=3.5-x,则x的值不能是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】A
【解析】若=3.5-x,
则3.5-x≥0，
解得x≤3.5，
∴x的值不能是4，
故选：A．
【举一反三1】已知的三边长a，b，c满足等式，则的形状是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
【答案】D
【解析】∵，
∴，
解得：，
∴是等边三角形，
故选：D．
【举一反三2】若 ，则的值为（ ）
A. B. C.3 D.7
【答案】C
【解析】∵，
∴，，
∴，，
∴．
故选：C．
【举一反三3】，则 ．
【答案】
【解析】∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【举一反三4】如果，那么 ．
【答案】3
【解析】由题意得：，，，
得，，，
则，
故答案为：3．
【举一反三5】若与互为相反数，求的值．
【答案】解：∵与互为相反数，
∴，
∴，
∴，解得：．
∴．
【举一反三6】若，求．
【答案】解：∵，，
，
将①②得：，
则．
【题型7】算术平方根的应用
【典型例题】射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v＝进行计算，其中a为子弹的加速度，l为枪筒的长．如果a＝5×105 m/s2，l＝0.81 m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A.9×102 m/s B.0.9×103 m/s C.8×102 m/s D.0.8×103 m/s
【答案】A
【解析】根据题意可得：
v＝＝＝＝900＝9×102（m/s）．
故选：A．
【举一反三1】一个正方形的面积是4，则这个正方形的边长是（ ）
A.2 B.±2 C. D.
【答案】A
【解析】∵＝2，
∴这个正方形的边长是2，
故选：A．
【举一反三2】一个圆柱形零件的体积是251.2 cm3，高是20 cm，零件的底面直径是（ ）cm．
A.12.56 B.6.28 C.4 D.2
【答案】C
【解析】设零件的底面半径为x cm，由题意得，3.14×x2×20＝251.2，
解得x＝2（取正值），
∴零件的底面直径是4 cm，
故选：C．
【举一反三3】（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短．记得立契时，长阔争一半．今问俊明公，此法如何算．意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半．现在请你帮他算出它的长是_______步．（一亩＝240平方步）
【答案】60
【解析】设此矩形田的宽为x步，
依据题意，可列方程为x 2x＝240×7.5，
即x2＝900，
∵x为正数，
∴x＝30，
则长为60步，
故答案为：60．
【举一反三4】已知刹车距离的计算公式v＝16，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车距离（单位：m），f表示摩擦系数，在一次交通事故中．测得d＝16 m，f＝2.25，而发生交通事故的路段限速为100 km/h，通过计算说明肇事汽车是否违规行驶．
【答案】解：由题可知，得d＝16 m，f＝2.25，
代入v＝16，
得v＝16×＝16×＝16×6＝96（km/h ），
又知96 km/h＜100 km/h，
故肇事汽车不存在违规行驶．
【举一反三5】电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q＝I2Rt．
（1）若导线电阻为5 Ω，电流为，则1 s时间导线产生的热量是多少？
（2）若导线电阻为5 Ω，1 s时间导线产生的热量为80 J，则电流I的值是多少？
【答案】解：（1）Q＝I2Rt，
答：产生的热量为30 J．
（2）把R＝5 Ω，t＝1 s，Q＝80 J代入Q＝I2Rt得，
，
∵I＞0，
∴．
答：电流I的值为4 A．
【题型8】利用计算器开平方
【典型例题】利用教材中的计算器依次按键如下：
则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ）
A.2.5 B.2.6 C.2.8 D.2.9
【答案】B
【解析】∵2.646，
∴与最接近的是2.6，
故选：B．
【举一反三1】利用计算器求的值，正确的按键顺序为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是D选项中的顺序．
故选：D．
【举一反三2】某同学在用计算器估算6的算术平方根时，需要用到以下哪个键（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据计算器的相关知识，可知答案为A．
故选：A．
【举一反三3】求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表：
（1）表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小数点就向 _________移动 _________位；
（2）运用你发现的规律，探究下列问题：
①若1.910，6.042，则_________；
②已知x2≈0.000365，则x≈_________．
【答案】（1）向左或向右；1
（2）①604.2
②±0.0190
【解析】（1）由表格可以看出被开方数的小数点向左或向右移动2位，算术平方根的小数点就向左或向右移动1位，
故答案为：向左或向右；1.
（2）①由（1）可知，被开方数的小数点向右移动4位，算术平方根的小数点就向右移动2位，
∵6.042，
∴604.2；
②由（1）可知，被开方数的小数点向左移动4位，算术平方根的小数点就向左移动2位，
∵1.910，x2≈0.000365，
又∵一个正数的平方根有两个，
∴x＝±±0.0190．
故答案为：①604.2；②±0.0190．
【举一反三4】用计算器计算：
（1）__________；
（2）__________；
（3）__________；
（4）__________.
观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果：
__________.
【答案】解：（1）10；
（2）100；
（3）1000；
（4）10000.
所以10n．
【举一反三5】阅读下面材料，解答问题：
[问题情境]数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根”的实践活动．
[实践探究]同学们利用计算器计算出下表中的算术平方根，整理数据如下：
（1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 _________位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 _________位：
（2）已知，请运用上述规律直接写出各式的值：_________， _________．
（3）你能根据的值说出的值是多少吗？请说明理由．
【答案】解：（1）由上表可得，可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位．
故答案为：2；1．
（2）利用以上所得规律可得：∵1.732，
∴0.1732，17.32．
故答案为：0.1732；17.32．
（3）∵0.25；0.791；2.5；7.91；25；79.057；250，
∴规律是：被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍．
∵1.732，
∴0.1732，17.32．
根据发现的规律，不能根据的值确定的值．
【题型9】立方根的定义与性质
【典型例题】若一个数的立方根是﹣3，则该数为（ ）
A. B.﹣27 C.± D.±27
【答案】B
【解析】这个数＝（﹣3）3＝﹣27．
故选：B．
【举一反三1】已知：2.868，且28.68，则a＝（ ）
A.2360 B.﹣2360 C.23600 D.﹣23600
【答案】C
【解析】∵2.868，即（2.868）3＝23.6，
∴（28.68）3＝23600，
∴a＝23600，
故选：C．
【举一反三2】的立方根是（ ）
A.8 B.4 C.2 D.16
【答案】C
【解析】∵8，
而8的立方根等于2，
∴的立方根是2．
故选：C．
【举一反三3】已知|a﹣1|+（b﹣8）2＝0，则的立方根是 ．
【答案】．
【举一反三4】已知3是2x﹣1的立方根，4是3y+4的立方根，求x-y-2的立方根．
【答案】解：∵3是2x﹣1的立方根，4是3y+4的立方根，
∴2x﹣1＝27，3y+4＝64，
解得：x＝14，y＝20，
则x-y-2＝14-20-2＝-8，
∴x+y的立方根为-2．
【题型10】立方根与平方根的综合
【典型例题】若实数x，y，z满足（y﹣4）2+|z+8|＝0，则xyz的立方根是（ ）
A.8 B.﹣8 C.4 D.﹣4
【答案】C
【解析】∵0，（y﹣4）2≥0，|z+8|≥0，
∴当（y﹣4）2+|z+8|＝0，则x+2＝0，y﹣4＝0，z+8＝0．
∴x＝﹣2，y＝4，z＝﹣8．
∴xyz＝（﹣2）×4×（﹣8）＝64．
∴xyz的立方根是4．
故选：C．
【举一反三1】一个正数b的平方根为a+1和2a﹣7，则9a+b的立方根是（ ）
A.2 B.3 C.9 D.±3
【答案】B
【解析】∵正数b的平方根为a+1和2a﹣7，
∴a+1+2a﹣7＝0，
∴a＝2，
∴a+1＝2+1＝3，
∴b＝32＝9，
∴9a+b＝9×2+9＝27，
∴9a+b的立方根是3，
故选：B．
【举一反三2】下列说法中，正确的是（ ）
A.±5 B.4 C.﹣32的算术平方根是3 D.0.01的平方根是0.1
【答案】B
【解析】A.，故本选项不合题意；
B，故本选项符合题意；
C.﹣32＝﹣9＜0，所以﹣32没有算术平方根，故本选项不合题意；
D.0.01的平方根是±0.1，故本选项不合题意．
故选：B．
【举一反三3】已知一个数的一个平方根是﹣8，则这个数的立方根是 ．
【答案】4．
【解析】∵一个数的一个平方根是﹣8，
∴这个数是64，
则它的立方根为4，
故答案为：4．
【举一反三4】若|y+25|＝0，则的值为 ．
【答案】﹣5．
【解析】∵|y+25|＝0，
∴x﹣5＝0，y+25＝0，
∴x＝5，y＝﹣25，
∴5，
故答案为：﹣5．
【举一反三5】已知正数a的两个不同平方根分别是2x﹣2和6﹣3x，a﹣4b的算术平方根是4．
（1）求a和b的值；
（2）求2a﹣b2+17的立方根．
【答案】解：（1）由题意得，2x﹣2+6﹣3x＝0，
解得x＝4，
∴2x﹣2＝6，
∴a＝62＝36，
∵a﹣4b的算术平方根是4，
∴a﹣4b＝16，
∴b＝5.
（2）∵2a﹣b2+17＝2×36﹣52+17＝64，
而64的立方根是4，
∴2a﹣b2+17的立方根为4．
【举一反三6】已知某正数的两个不同的平方根为3a﹣14和a﹣2，b﹣15的立方根为﹣3．
（1）求a，b的值；
（2）求12a+b的平方根．
【答案】解：（1）∵正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2，
∴3a﹣14+a﹣2＝0，
解得a＝4，
∵b﹣15的立方根为﹣3，
∴b﹣15＝﹣27，
解得b＝﹣12，
∴a＝4、b＝﹣12；
（2）a＝4、b＝﹣12代入12a+b
得12×4+（﹣12）＝36，
∴4a+b的平方根是±6．
【题型11】利用立方根求未知数的值
【典型例题】若（5x﹣3）3，则x的值为（ ）
A.4 B.1 C.±1 D.﹣4
【答案】B
【解析】∵（5x﹣3）3，
∴5x﹣3＝2，
解得：x＝1．
故选：B．
【举一反三1】若a3＝1，则a的值为（ ）
A.﹣1 B.1 C.±1 D.0
【答案】B
【解析】∵a3＝1，
∴a＝1．
故选：B．
【举一反三2】已知a是最大的负整数，b是8的立方根，则代数式b-a的值为（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【答案】D
【解析】∵a是最大的负整数，b是8的立方根，
∴a=-1，b=2，
∴b-a=2-（-1）=2+1=3，
故选：D．
【举一反三3】方程3x3＝81的根是_________．
【答案】x＝3．
【解析】两边都除以3，得x3＝27，
开立方，得x＝3，
故答案为：x＝3．
【举一反三4】如果x3＝﹣27，那么x＝_________．
【答案】﹣3．
【解析】∵（﹣3）3＝﹣27，而x3＝﹣27，
∴x＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【举一反三5】求式子中x的值：5（2x+1）3+625＝0．
【答案】解：5（2x+1）3+625＝0，
5（2x+1）3＝﹣625，
（2x+1）3＝﹣125，
2x+1＝﹣5，
x＝﹣3．
【题型12】立方根的实际应用
【典型例题】如图，一个正方体木块的体积是64 cm3，把它切成大小相等的27个小正方体，其表面积之和是（ ）
A.96 cm2 B.128 cm2 C.196 cm2 D.288 cm2
【答案】D
【解析】每个小正方体的体积为：64÷27（cm3），
所以每个小正方体的棱长为（cm），
则每个正方体小木块的表面积为6×（）2（cm2），
所以27个小正方体的表面积之和是27＝288（cm2）．
故选：D．
【举一反三1】一个正方体的棱长为a，体积为b，则下列说法正确的是（ ）
A.b的立方根±a B.a是b的立方根 C. D.
【答案】B
【解析】由正方体的体积公式可得，a3＝b，即a是b的立方根，
故选：B．
【举一反三2】一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（ ）
A.±4 B.4 C.±2 D.2
【答案】D
【解析】棱长4，4的算术平方根为2．
故选：D．
【举一反三3】一体积为54 cm3的长方体如图放置，其底面是正方形，高的长度是底面边长的2倍，则高的长度为_________cm．
【答案】6
【解析】设这个长方体的高为x cm，则底面边长为cm，
根据题意得，，
即x3＝216，
解得x＝6，
故答案为：6．
【举一反三4】如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8，若阴影部分为正方形ABCD，则此正方形的边长是 _______________．
【答案】
【解析】由于由8个同样大小的立方体组成的魔方的体积为8，
所以每个小正方体的体积为1，
即小正方体的棱长为1，
所以正方形ABCD的边长AB，
故答案为：．
【举一反三5】一个正方体的体积是16，另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的表面积．
【答案】解：根据题意另一个大正方体的体积为16×4＝64，
另一个大正方体的棱长为：4，
另一个正方体的表面积为：6×4×4＝96，
答：另一个大正方体的表面积为96．
【举一反三6】如图1，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27．
（1）求出这个魔方的棱长．
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）在图2的4×4方格中画一个面积为10的正方形．
【答案】解：（1）设魔方的棱长为x，根据题意，得x3＝27，
解得．
故魔方的棱长为3．
（2）∵魔方的棱长为3，
∴阴影面积为：，
设正方形的边长为y，则y2＝5，
解得（舍去），
故正方形的面积是5，边长为．
（3）设正方形的边长为m，根据题意，得m2＝10，
解得（舍去），
画图如下：
【题型13】利用计算器开立方
【典型例题】用计算器计算约为（ ）
A.3.049 B.3.050 C.3.051 D.3.052
【答案】B
【解析】3.050，
所以用计算器计算约为3.050．
故选：B．
【举一反三1】用计算器计算某个运算式，若正确的按键顺序是，则此运算式应是（ ）
A.43 B.34 C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，进行计算的是，
故选：C．
【举一反三2】用计算器求的按键顺序为 _________．
【答案】﹣，2，，＝
【解析】按键顺序依次为﹣，2，，＝．
故答案为：﹣1；2；；＝．
【举一反三3】利用计算器计算，并将结果填在表中．你发现了什么规律？
【答案】解：0.06，0.6，6，60．
故答案为：0.06，0.6，6，60．
规律：被开方数的小数点向左（或向右）移动三位，其立方根的小数点相应的向左（或向右）移动一位．
