12.3等腰三角形
【题型1】利用等边对等角求角度 6
【题型2】利用等边对等角进行证明 7
【题型3】利用三线合一进行计算 9
【题型4】等边三角形的三个角都等于60° 11
【题型5】等边三角形中的三线合一 12
【题型6】等边三角形的性质的综合应用 13
【题型7】等角对等边判定等腰三角形 15
【题型8】用等角对等边证明线段相等 16
【题型9】用等角对等边求线段的长 17
【题型10】三个角都相等的三角形是等边三角形 19
【题型11】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 20
【题型12】等边三角形判定与性质的综合应用 21
【知识点1】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 1.（2024秋 谯城区期末）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和高．若AB=AC，∠ACE=32°，则∠BAD的度数为（ ） A．32°B．29°C．28°D．25°
2.（2025 扬州三模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．AB为⊙O的直径，其延长线与弦DC的延长线交于点E，CE=CO．若∠AOD=60°，则∠AED的度数为（ ） A．15°B．20°C．25°D．30°
【知识点2】等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用． 1.（2024秋 保康县期末）如图所示，共有等腰三角形（ ） A．4个B．5个C．3个D．2个
【知识点3】等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 1.（2024秋 五莲县期末）已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的是（ ） A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
2.（2024秋 南岗区校级月考）如图，AB=AC，AD⊥BC于点D，CD=2cm,则BC的长度为（ ）cm. A．0.5B．1C．2D．4
【知识点4】等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 1.（2024秋 抚顺期中）在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（ ） A．10°B．15°C．20°D．25°
【知识点5】等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 1.（2024秋 乐陵市校级月考）一个三角形的三边长之比是2：2：1，周长是10，此三角形按边分是（ ） A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．以上都不对
2.（2024秋 淮安期末）三角形的三边长a,b,c满足（a-b）4+（b-c）2+|c-a|=0，那么这个三角形一定是（ ） A．直角三角形B．等边三角形C．等腰非等边三角形D．钝角三角形
【知识点6】等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 1.（2024 德宏州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=（ ） A．5B．C．D．6
【知识点7】作图—基本作图 基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线． 1.（2025 通许县一模）如图，AB是⊙O的弦，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点P，连接OP，交⊙O于点C，连接AC．若∠AOB=160°，则∠CAB的度数是（ ） A．70°B．35°C．40°D．20°
【题型1】利用等边对等角求角度
【典型例题】如图，中，，E是边上的点，先将沿着翻折，得到 ，边交于点 D，再将沿着 翻折，得到，点恰好在上，此时 ，则∠A的度数是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】等腰三角形的顶角为，则底角的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，已知，，，，求的度数为 °．
【举一反三3】如图，在中，是边上的高，求的度数．
【题型2】利用等边对等角进行证明
【典型例题】如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，已知在，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在中，，若是边上任意一点，，连接，在①，②，③中，所有正确的结论是( )
A.③ B.①② C.②③ D.①②③
【举一反三3】如图，在中，，若是边上任意一点，，连接，在①，②，③中，所有正确的结论是( )
A.③ B.①② C.②③ D.①②③
【举一反三4】如图，已知在，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
【举一反三5】如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若，，求证：．
【举一反三6】如图，．
(1)求证：；
(2)连接，求证：．
【题型3】利用三线合一进行计算
【典型例题】如图，中，，于点，于点，于点，，则．
A.4.8 B.6 C.5 D.6.4
【举一反三1】如图，在中，，点D是中点，，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到．若，则旋转角的度数是 ．
【举一反三3】如图，在中，平分，于点D．若，则的度数是 ．
【举一反三4】如图，在中，，点E和点F分别在和边上，且，连接并延长交的延长线于点G，，取的中点O，连接并延长交于点D．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【举一反三5】如图所示，中，，于点E，于点D，交于F．
(1)若，求的度数；
(2)若点F是的中点，求证：．
【题型4】等边三角形的三个角都等于60°
【典型例题】如图，已知等边三角形，且，则的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图所示，将三个现状、大小完全一样的等边三角形的一个顶点重合放置，，则 ．
【举一反三3】如图，等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点．如果测得，那么 ．
【举一反三4】如图，在等边中，D是边上一点，E是延长线上一点，连接，若，求的度数．
【题型5】等边三角形中的三线合一
【典型例题】如图，在等边中，是边上的中线，则的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，是等边三角形，为中线，为上一点，连接，有，则等于( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，等边三角形的两条中线，交于点M，则的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则 ．
【举一反三4】如图，是等边三角形的高，，则 ．
【举一反三5】如图，是等边三角形，，垂足为D，点E在的延长线上，已知，求的度数．
【题型6】等边三角形的性质的综合应用
【典型例题】如图，是等边三角形，点是下方的一点，，，点和点分别是和上一点，．若的周长为12，则的周长为( )
A.5 B.6 C.8 D.9
【举一反三1】如图，已知等边的周长为6，点在边上，点是边上一点，连接，将沿着翻折得到，交于点，交于点，若，则的周长为( )
A. B.2 C. D.3
【举一反三2】如图，、都是等边三角形，那么以下结论不一定成立的是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，为等边三角形，其边长为是等腰三角形，，在上有一动点，连接，在上有一点，使得与的夹角为，连接，则的周长为 ．
【举一反三4】如图，在等边三角形中，，点O在上，且，点D和点E分别在，上，，，则的长是 ．
【举一反三5】如图，已知和均为等边三角形，点在的延长线上，连结．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【举一反三6】如图所示，和都为等边三角形，点E在上，的延长线交于点F．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【题型7】等角对等边判定等腰三角形
【典型例题】在中，，，则是( )
A.钝角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【举一反三1】下面是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)，不能够得到两个等腰三角形纸片的是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在中，，，，则图中等腰三角形的个数是 ．
【举一反三3】在中，，当 度时，是等腰三角形．
【举一反三4】如图，在中，P是的中点，于点D，于点E，且，求证：是等腰三角形．
【题型8】用等角对等边证明线段相等
【典型例题】如图，，，，下列等式不一定正确的是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】在中，，则( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在中，点分别在边上，与相交于点，下列各个选项所列举的条件中，不能证明的是( )
A.， B.， C.， D.，
【举一反三3】在中，，则( )
A. B. C. D.
【举一反三4】已知，如图，是的边的中点，，，垂足分别为，，且，求证：．
【举一反三5】如图，分别是的高和角平分线，已知，．
(1)求的度数；
(2)过点E作边的垂线，垂足记作点F，证明 ．
【题型9】用等角对等边求线段的长
【典型例题】如图，在中，，，平分，交于点E，交于点F，若，，则的长为( )
A. B.4 C.6 D.
【举一反三1】如图所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，若，则的周长为13，则长为( )
A. B. C. D.1
【举一反三2】如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为( )
A.6 B.7 C.9 D.
【举一反三3】如图，中，是角平分线，，点在边上，如果周长为，，则 ．
【举一反三4】如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得，．求从B处到灯塔C的距离．
【举一反三5】如图，，求的长．
【题型10】三个角都相等的三角形是等边三角形
【典型例题】适合条件的三角形是( )
A.锐角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
【举一反三1】如图是一款圣诞帽，该帽子的下方是正六边形ABCDEF，延长BA，EF，交于点G，则帽子的顶部△GAF的形状是( )
A.只有两边相等的等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.无法确定
【举一反三2】若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是( )
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形
【举一反三3】命题“三个角都是的三角形是等边三角形”是 (填“真”或“假”)命题．
【举一反三4】在中，如果，，那么的形状为 ．
【举一反三5】如图，在四边形中，，平分，，．
(1)求证：．
(2)若，试判断的形状，并说明理由．
【题型11】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【典型例题】下列图形中，一定是等边三角形的是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点F，E，求证：△AEF是等边三角形．
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，点D恰好在AB上．
(1)若AC＝4，求DE的值；
(2)确定△ACD的形状，并说明理由．
【题型12】等边三角形判定与性质的综合应用
【典型例题】如图，在中，，将沿射线的方向平移2个单位后，得到，连接，则线段的长为( )
A.2 B.5 C.3 D.7
【举一反三1】如图，在，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，，交于点，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，是等边三角形，D为外一点，且，连接，若，则的长为 ．
【举一反三3】如图，在等边中，点D是边上一点，将绕点B逆时针旋转得到，若，，则的周长为 ．
【举一反三4】如图，是等边三角形，是边上的点，过点作交于点，求证：是等边三角形．
【举一反三5】如图，已知是等边三角形，E为延长线上任意一点，选择一点D，使是等边三角形，如果M是的中点，N是的中点．
(1)求证：；
(2)是等边三角形．12.3等腰三角形
【题型1】利用等边对等角求角度 11
【题型2】利用等边对等角进行证明 13
【题型3】利用三线合一进行计算 18
【题型4】等边三角形的三个角都等于60° 22
【题型5】等边三角形中的三线合一 25
【题型6】等边三角形的性质的综合应用 28
【题型7】等角对等边判定等腰三角形 34
【题型8】用等角对等边证明线段相等 36
【题型9】用等角对等边求线段的长 40
【题型10】三个角都相等的三角形是等边三角形 44
【题型11】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 46
【题型12】等边三角形判定与性质的综合应用 48
【知识点1】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 1.（2024秋 谯城区期末）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和高．若AB=AC，∠ACE=32°，则∠BAD的度数为（ ） A．32°B．29°C．28°D．25°
【答案】B 【分析】根据CE分别是△ABC的高求出CE⊥AB，根据直角三角形的性质求出∠BAC=58°，再根据“等腰三角形底边上的中线、顶角平分线重合”求解即可． 【解答】解：∵CE是△ABCDE的高，
∴CE⊥AB，
∴∠BAC+∠ACE=90°，
∵∠ACE=32°，
∴∠BAC=58°，
∵AD是△ABC的中线，AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∴∠BAD=29°，
故选：B． 2.（2025 扬州三模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．AB为⊙O的直径，其延长线与弦DC的延长线交于点E，CE=CO．若∠AOD=60°，则∠AED的度数为（ ） A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求解即可． 【解答】解：∵CE=CO，
∴∠AED=∠COE，
∵CO=DO，
∴∠OCD=∠D，
∵∠OCD=∠AED+∠COE，
∴∠D=∠OCD=2∠AED，
∵∠AOD=∠AED+∠D=60°，
∴∠AED=20°，
故选：B． 【知识点2】等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用． 1.（2024秋 保康县期末）如图所示，共有等腰三角形（ ） A．4个B．5个C．3个D．2个
【答案】B 【分析】由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据等角对等边求得等腰三角形的个数． 【解答】解：根据三角形的内角和定理，得：∠ABO=∠DCO=36°，
根据三角形的外角的性质，得
∠AOB=∠COD=72°．
再根据等角对等边，得
等腰三角形有△AOB，△COD，△ABC，△CBD和△BOC．
故选：B． 【知识点3】等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 1.（2024秋 五莲县期末）已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的是（ ） A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】D 【分析】①利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；
②证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；
③首先证明∴△OPA≌△CPE，则AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．
④过点C作CH⊥AB于H，根据S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC，利用三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°，
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；
故①正确；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形；
故②正确；
在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；
故③正确；
过点C作CH⊥AB于H，
∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，
∴CH=CD，
∴S△ABC=AB CH，
S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC=AP CH+OA CD=AP CH+OA CH=CH （AP+OA）=CH AC，
∴S△ABC=S四边形AOCP；
故④正确．
故选：D． 2.（2024秋 南岗区校级月考）如图，AB=AC，AD⊥BC于点D，CD=2cm,则BC的长度为（ ）cm. A．0.5B．1C．2D．4
【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质性质求解即可． 【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴BD=2CD，
∵CD=2cm,
∴BC=4cm,
故答案为：D． 【知识点4】等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 1.（2024秋 抚顺期中）在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（ ） A．10°B．15°C．20°D．25°
【答案】B 【分析】根据等边三角形的每一个角都是60°求出∠DBC，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠BDF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得BD⊥AC，然后根据∠CDF=∠BDC-∠BDF计算即可得解． 【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=×60°=30°，
∵BD=BF，
∴∠BDF=（180°-∠DBC）=（180°-30°）=75°，
又∵等边△ABC中，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴∠CDF=∠BDC-∠BDF=90°-75°=15°．
故选：B． 【知识点5】等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 1.（2024秋 乐陵市校级月考）一个三角形的三边长之比是2：2：1，周长是10，此三角形按边分是（ ） A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．以上都不对
【答案】A 【分析】根据等腰三角形的判定定理求解即可． 【解答】解：∵三角形的三边长之比是2：2：1，周长是10，
∴三角形的三边长为：4，4，2，
∴这个三角形是等腰三角形，
故选：A． 2.（2024秋 淮安期末）三角形的三边长a,b,c满足（a-b）4+（b-c）2+|c-a|=0，那么这个三角形一定是（ ） A．直角三角形B．等边三角形C．等腰非等边三角形D．钝角三角形
【答案】B 【分析】利用偶次方及绝对值的非负性可得出a-b=0，b-c=0，c-a=0，进而可得出a=b=c,再结合a,b,c是三角形的三边长，即可得出这个三角形是等边三角形． 【解答】解：∵（a-b）4+（b-c）2+|c-a|=0，
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
∴a=b=c.
又∵a,b,c是三角形的三边长，
∴这个三角形是等边三角形．
故选：B． 【知识点6】等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 1.（2024 德宏州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=（ ） A．5B．C．D．6
【答案】C 【分析】连接CD，直角三角形斜边上的中线性质得到CD=DA=DB，利用半径相等得到CD=CB=DB，可判断△CDB为等边三角形，则∠B=60°，所以∠A=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系先计算出BC，再计算AC． 【解答】解：连接CD，如图，
∵∠C=90°，D为AB的中点，
∴CD=DA=DB，
而CD=CB，
∴CD=CB=DB，
∴△CDB为等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=AB=×10=5，
∴AC=BC=5．
故选：C． 【知识点7】作图—基本作图 基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线． 1.（2025 通许县一模）如图，AB是⊙O的弦，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点P，连接OP，交⊙O于点C，连接AC．若∠AOB=160°，则∠CAB的度数是（ ） A．70°B．35°C．40°D．20°
【答案】C 【分析】由作图可知OP垂直平分AB，即得，即可得，进而由圆周角定理即可求解． 【解答】解：由作图过程可知OP垂直平分AB，
∴，
∴，
故选：C．
【题型1】利用等边对等角求角度
【典型例题】如图，中，，E是边上的点，先将沿着翻折，得到 ，边交于点 D，再将沿着 翻折，得到，点恰好在上，此时 ，则∠A的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，
，
根据折叠的性质知：，
，
在中，
， ，
，
，
，
故选：C．
【举一反三1】等腰三角形的顶角为，则底角的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵等腰三角形的两个底角相等，顶角是，
∴其底角为，
故选：．
【举一反三2】如图，已知，，，，求的度数为 °．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
故答案为：．
【举一反三3】如图，在中，是边上的高，求的度数．
【答案】解 ∵，
，
，
．
是边上的高，
．
．
【题型2】利用等边对等角进行证明
【典型例题】如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：D．
【举一反三1】如图，已知在，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，
，
，
故选：C．
【举一反三2】如图，在中，，若是边上任意一点，，连接，在①，②，③中，所有正确的结论是( )
A.③ B.①② C.②③ D.①②③
【答案】C
【解析】∵，
∴，，，，
故结论①错误，不符合题意；
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故结论③正确，符合题意；
∵，
∴，
故结论②正确，符合题意；
∴正确的结论是②③．
故选：C．
【举一反三3】如图，在中，，若是边上任意一点，，连接，在①，②，③中，所有正确的结论是( )
A.③ B.①② C.②③ D.①②③
【答案】C
【解析】∵，
∴，，，，
故结论①错误，不符合题意；
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故结论③正确，符合题意；
∵，
∴，
故结论②正确，符合题意；
∴正确的结论是②③．
故选：C．
【举一反三4】如图，已知在，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，
，
，
故选：C．
【举一反三5】如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若，，求证：．
【答案】解 ，
．
在和中，，
，
，
．
【举一反三6】如图，．
(1)求证：；
(2)连接，求证：．
【答案】(1)证明 ∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
(2)证明 ∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴.
【题型3】利用三线合一进行计算
【典型例题】如图，中，，于点，于点，于点，，则．
A.4.8 B.6 C.5 D.6.4
【答案】B
【解析】∵中，，，
∴是的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【举一反三1】如图，在中，，点D是中点，，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，点D是中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【举一反三2】如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到．若，则旋转角的度数是 ．
【答案】
【解析】∵，，，
∴，
∴旋转角的度数是，
故答案为：．
【举一反三3】如图，在中，平分，于点D．若，则的度数是 ．
【答案】
【解析】 平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【举一反三4】如图，在中，，点E和点F分别在和边上，且，连接并延长交的延长线于点G，，取的中点O，连接并延长交于点D．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)解 ∵，
∴，
∵，
∴，
即的度数为；
(2)解 ∵的中点为，
∴，即是的中线，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即的度数为．
【举一反三5】如图所示，中，，于点E，于点D，交于F．
(1)若，求的度数；
(2)若点F是的中点，求证：．
【答案】解 (1)∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
(2)如图，连接，
∵，且点F是的中点，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
【题型4】等边三角形的三个角都等于60°
【典型例题】如图，已知等边三角形，且，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵等边三角形，
∴，
∵，
∴，
故选C
【举一反三1】如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【举一反三2】如图所示，将三个现状、大小完全一样的等边三角形的一个顶点重合放置，，则 ．
【答案】
【解析】∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：
【举一反三3】如图，等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点．如果测得，那么 ．
【答案】
【解析】是等边三角形，
，
由翻折可得，
，
，
，
，
故答案为：．
【举一反三4】如图，在等边中，D是边上一点，E是延长线上一点，连接，若，求的度数．
【答案】解 ∵是等边三角形，
∴.
∵，
∴，
∵，
∴.
∵，
∴.
【题型5】等边三角形中的三线合一
【典型例题】如图，在等边中，是边上的中线，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵在等边中，是边上的中线，
∴是的平分线，
∴．
故选：D．
【举一反三1】如图，是等边三角形，为中线，为上一点，连接，有，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵为等边三角形，
∴．
∵是等边三角形的中线，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【举一反三2】如图，等边三角形的两条中线，交于点M，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】是等边三角形,
两条中线，交于点M
平分
故选：C．
【举一反三3】已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则 ．
【答案】3
【解析】∵为等边三角形，为的高，
∴点D为的中点，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【举一反三4】如图，是等边三角形的高，，则 ．
【答案】
【解析】∵三角形是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【举一反三5】如图，是等边三角形，，垂足为D，点E在的延长线上，已知，求的度数．
【答案】解 是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴，
∵，
．
【解析】等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【题型6】等边三角形的性质的综合应用
【典型例题】如图，是等边三角形，点是下方的一点，，，点和点分别是和上一点，．若的周长为12，则的周长为( )
A.5 B.6 C.8 D.9
【答案】C
【解析】如图，延长至点，使，连接．
∵是等边三角形，的周长为12，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴的周长．
【举一反三1】如图，已知等边的周长为6，点在边上，点是边上一点，连接，将沿着翻折得到，交于点，交于点，若，则的周长为( )
A. B.2 C. D.3
【答案】B
【解析】 为等边三角形，且周长为6，
，，
由轴对称的性质可知，，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
故选：B．
【举一反三2】如图，、都是等边三角形，那么以下结论不一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 、都是等边三角形，
，，，
， ，
，
和中，
在，
，
，故A选项不符合题意；
，故C选项不符合题意；
，
故B选项不符合题意；
当D、A、E、在同一条直线时，
在和中
，
，
当D、A、E不在同一条直线时，
，
不一定成立，故选项D符合题意．
故选：D.
【举一反三3】如图，为等边三角形，其边长为是等腰三角形，，在上有一动点，连接，在上有一点，使得与的夹角为，连接，则的周长为 ．
【答案】18
【解析】如图，延长至点P，使，连接．
∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的周长=.
故答案为：18
【举一反三4】如图，在等边三角形中，，点O在上，且，点D和点E分别在，上，，，则的长是 ．
【答案】6
【解析】∵在等边三角形中，，，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：6．
【举一反三5】如图，已知和均为等边三角形，点在的延长线上，连结．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)证明 ∵，为等边三角形，
∴，，
，，
∴，
在和中，
，
∴；
(2)解 ∵，
∴，
∴．
【举一反三6】如图所示，和都为等边三角形，点E在上，的延长线交于点F．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)证明 和都为等边三角形，
，，，
，
；
(2)解 由(1)可知，，
，
，
．
【题型7】等角对等边判定等腰三角形
【典型例题】在中，，，则是( )
A.钝角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【答案】B
【解析】在中，，，
∴，
∴是等腰三角形，
故选：B．
【举一反三1】下面是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)，不能够得到两个等腰三角形纸片的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意；
B．如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意；
C．如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意；
D．不可以裁成两个等腰三角形，符合题意；
故选D．
【举一反三2】如图，在中，，，，则图中等腰三角形的个数是 ．
【答案】3
【解析】在中，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，都是等腰三角形，共3个．
故答案为：3．
【举一反三3】在中，，当 度时，是等腰三角形．
【答案】45
【解析】∵在中，，
∴当，是等腰三角形
∴当度时，是等腰三角形，
故答案为：．
【举一反三4】如图，在中，P是的中点，于点D，于点E，且，求证：是等腰三角形．
【答案】解 ，，
∴，
∵P是的中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【题型8】用等角对等边证明线段相等
【典型例题】如图，，，，下列等式不一定正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴选项A正确，不符合题意；
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴选项B正确，选项C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴选项D不一定正确，符合题意．
故选：D．
【举一反三1】在中，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中，，则：，
故选A．
【举一反三2】如图，在中，点分别在边上，与相交于点，下列各个选项所列举的条件中，不能证明的是( )
A.， B.， C.， D.，
【答案】B
【解析】A．因为，，为公共角，
∴，
∴，故A选项不符合题意；
B．根据，，无法判断和全等，故无法得到和的大小关系，则和的大小无法判断，
∴不能证明，故B选项符合题意；
C．∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故C选项不符合题意；
D．∵，，，
∴，
∴，
∴，故D选项不符合题意；
故选：B．
【举一反三3】在中，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中，，则：，
故选A．
【举一反三4】已知，如图，是的边的中点，，，垂足分别为，，且，求证：．
【答案】证明 ∵，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
在与中
，
∴，
∴，
∴．
【举一反三5】如图，分别是的高和角平分线，已知，．
(1)求的度数；
(2)过点E作边的垂线，垂足记作点F，证明 ．
【答案】(1)解 ∵，．
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)证明 由(1)知，
∴，
∴，
∵，
∴．
【题型9】用等角对等边求线段的长
【典型例题】如图，在中，，，平分，交于点E，交于点F，若，，则的长为( )
A. B.4 C.6 D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故选：B．
【举一反三1】如图所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，若，则的周长为13，则长为( )
A. B. C. D.1
【答案】B
【解析】，
，
，
，
，，，
，
，
，
的周长为13，
，即，
，
，
，
，
故选B．
【举一反三2】如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为( )
A.6 B.7 C.9 D.
【答案】C
【解析】∵是和的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【举一反三3】如图，中，是角平分线，，点在边上，如果周长为，，则 ．
【答案】17
【解析】∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴．
故答案为：17．
【举一反三4】如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得，．求从B处到灯塔C的距离．
【答案】解 根据题意，可得(海里)，
，，
，
，
(海里)，
答：从B处到灯塔C的距离为40海里．
【举一反三5】如图，，求的长．
【答案】解 ∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【题型10】三个角都相等的三角形是等边三角形
【典型例题】适合条件的三角形是( )
A.锐角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∴此三角形是等边三角形．
故选：B．
【举一反三1】如图是一款圣诞帽，该帽子的下方是正六边形ABCDEF，延长BA，EF，交于点G，则帽子的顶部△GAF的形状是( )
A.只有两边相等的等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.无法确定
【答案】B
【解析】∵正六边形ABCDEF，
∴，
△GAF是等边三角形，
故选B
【举一反三2】若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是( )
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形
【答案】A
【解析】∵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，
∴若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，则与之不相邻的两个内角相等，
∴这个三角形是等边三角形．
故选：A．
【举一反三3】命题“三个角都是的三角形是等边三角形”是 (填“真”或“假”)命题．
【答案】真
【解析】三个角都是的三角形是等边三角形，故该命题是真命题，
故答案为：真．
【举一反三4】在中，如果，，那么的形状为 ．
【答案】等边三角形
【解析】在中，由得，
又∵，
∴，
∴是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
【举一反三5】如图，在四边形中，，平分，，．
(1)求证：．
(2)若，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明 ∵，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；
(2)解 是等边三角形，
理由如下：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
【题型11】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【典型例题】下列图形中，一定是等边三角形的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵含有60°的等腰三角形是等边三角形，A．B．C．D都是等腰三角形，只有B选项有一个内角是60°，则B选项是等边三角形，
故选B
【举一反三1】在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A．，则，为等边三角形，不符合题意；
B．，若不是的中点时，则不是等边三角形，符合题意；
C．，为等边三角形，不符合题意；
D．，则，为等边三角形，不符合题意，
故选：B．
【举一反三2】小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ．
【答案】(答案不唯一)
【解析】添加，理由如下：
为等腰三角形，
，
为等边三角形，
故答案为：(答案不唯一)．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点F，E，求证：△AEF是等边三角形．
【答案】证明 ∵在△ABC中，∠BAC＝，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD＝，∠CAD+∠C＝，
∴∠BAD＝∠C＝，∠CAD＝，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBE，
∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AF＝AE，
∵∠CAD＝，
∴△AEF为等边三角形．
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，点D恰好在AB上．
(1)若AC＝4，求DE的值；
(2)确定△ACD的形状，并说明理由．
【答案】解 (1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，
∴AB=2AC=8，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，
∴DE=AB=8；
(2)△ACD是等边三角形，
理由：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A=60°，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，
∴AC=CD，
∴△ACD是等边三角形．
【题型12】等边三角形判定与性质的综合应用
【典型例题】如图，在中，，将沿射线的方向平移2个单位后，得到，连接，则线段的长为( )
A.2 B.5 C.3 D.7
【答案】B
【解析】∵将沿射线的方向平移2个单位后，得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故选B．
【举一反三1】如图，在，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，，交于点，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选：C．
【举一反三2】如图，是等边三角形，D为外一点，且，连接，若，则的长为 ．
【答案】
【解析】在上截取，连接，如图所示，
，
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【举一反三3】如图，在等边中，点D是边上一点，将绕点B逆时针旋转得到，若，，则的周长为 ．
【答案】
【解析】∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
【举一反三4】如图，是等边三角形，是边上的点，过点作交于点，求证：是等边三角形．
【答案】证明 ∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形．
【举一反三5】如图，已知是等边三角形，E为延长线上任意一点，选择一点D，使是等边三角形，如果M是的中点，N是的中点．
(1)求证：；
(2)是等边三角形．
【答案】证明 (1)∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
(2)∵，
∴，
∵M、N分别是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
