四川省攀枝花市2025年中考数学试卷
1．（2025·攀枝花） 2的绝对值是（ ）
A．-2 B．2 C． D．±2
【答案】B
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：2的绝对值是=2，
故答案为：B .
【分析】根据绝对值的定义进行判断即可.
2．（2025·攀枝花） 银江水电站位于攀枝花市境内金沙江与雅砻江交汇处附近，每年可为国家电网输送约16亿千瓦时的清洁能源.16亿可用科学记数法记为（ ）
A．0.16×1010 B．1.6×109 C．16×108 D．1600000000
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：16亿=1600000000，
1600000000 用科学记数法表示为：，
故答案为：B .
【分析】根据科学记数法的形式为：，（，且n为正整数），n等于整数位数减去1即可求解.
3．（2025·攀枝花） 如图，直线a截直线b、c所得的一对同位角是（ ）
A．∠2与∠3 B．∠1与∠4 C．∠5与∠7 D．∠1与∠8
【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A、∠2与∠3是同旁内角，故A不符合题意，
B、∠1与∠4不是同位角，故B不符合题意，
C、∠5与∠7是同位角，故C符合题意，
D、∠1与∠8不是同位角，故D不符合题意，
故答案为：C .
【分析】根据同位角的定义，对各选项中角的关系进行判断即可.
4．（2025·攀枝花） 不等式组的解集是（ ）
A．x＜-2 B．x＜3 C．-2＜x＜3 D．x＜-2或x＜3
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，x＜-2，
解不等式②得，x＜3，
将不等式①②的解集在数轴上表示为：
∴不等式组的解集为x＜-2，
故答案为：A .
【分析】分别求出不等式①②得解集，再找出它们的公共部分即可.
5．（2025·攀枝花） 攀枝花市被誉为“中国钒钛之都”．如图是一个正方体的表面展开图，与“钒”字相对面上的字是（ ）
A．中 B．国 C．之 D．都
【答案】C
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：与“ 钒 ”字相对面上的字是：之，
故答案为： C.
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：Z字两端是对面即可解答.
6．（2025·攀枝花） 如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，两条对角线AC与BD互相垂直，则四边形EFGH一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：设AC交BD于点O，EF交BD于点M，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EF∥AC且EF=AC，GH∥AC且GH=AC， EH∥BD且EH=BD，GF∥BD且GF=BD，
∴EF∥GH，EH∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴∠FEH=∠FPD=∠CQD=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
故答案为： A.
【分析】根据三角形中位线定理可得EF∥AC且EF=AC，GH∥AC且GH=AC， EH∥BD且EH=BD，GF∥BD且GF=BD，进而得出四边形EFGH是平行四边形，再结合AC与BD互相垂直即可得出结论.
7．（2025·攀枝花） 要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300条鱼，在每条鱼身上做个标记，再全部放回池塘．过几天后从池塘中捞出200条鱼，发现当中有20条做过标记．就可估计池塘里鱼的数目为（ ）
A．3000 B．4000 C．6000 D．60000
【答案】A
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：估计池塘里鱼的数目为300÷=3000（条），
故答案为：A .
【分析】由题意已知池塘中有记号的鱼所占的比例，用标记的鱼数除以样本中标记鱼的比例，即可求得鱼的总数.
8．（2025·攀枝花） 如图，在正五边形ABCDE中，∠CAD的大小为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．45°
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：作正五边形ABCDE外接圆，圆心为O，连接OC、OD，如图所示：
∵为正五边形ABCDE外接圆，
∴∠COD==72°，
∴∠CAD=∠COD=36°，
故答案为： B.
【分析】利用正多边形的性质求出圆心角的度数，再根据圆周角定理求出∠CAD的度数即可.
9．（2025·攀枝花） 关于抛物线y＝-x2+6x-7，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线x＝-3
C．与y轴的交点坐标是（0，7） D．顶点坐标是（3，2）
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵抛物线y= -x2+6x-7=-(x -3)2+2，
∴该函数图象开口向下，故A错误，
∴对称轴为直线x=3，故B错误，
与y轴的交点坐标为(0，-7)，故C错误，
顶点坐标为(3，2)，故D正确，
故答案为： D.
【分析】先将抛物线的一般式化为顶点式，再根据顶点式以及二次函数的性质，依次判断各选项的正误即可.
10．（2025·攀枝花） 如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，CE⊥AB于点E，AD与CE相交于点O，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵ AB＝AC＝5， D为BC的中点， BC＝6，
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=3，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠ADC=90°，
∴∠EAD+∠AOE=90°，∠COD+∠OCD=90°，
∵∠AOE=∠COD，
∴∠EAD=∠OCD，
∴△ADB∽△CDO，
∴，
故答案为：B .
【分析】先利用等腰三角形的性质可得AD⊥BC，CD=BD=3，然后根据垂直定义可得∠AEC=∠ADC=90°，再根据对顶角相等可得∠AOE=∠COD，从而可得∠EAD=∠OCD，进而可得△ADB∽△CDO，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答.
11．（2025·攀枝花） 已知直角坐标系xOy，点A在该坐标系中的坐标为（-1，2），现将直角坐标系xOy绕点O按逆时针方向旋转90°到x'Oy'的位置，则点A在新坐标系x'Oy'中的坐标为（ ）
A．（-1，2） B．（2，1） C．（2，-1） D．（-2，-1）
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：将直角坐标系xOy绕点O按逆时针方向旋转90° 到x'Oy'的位置 ，相当于将点A在直角坐标系中顺时针方向旋转90°，即点A（x，y）顺时针旋转90后为（y，-x）
∵ 点A在原坐标系中的坐标为（-1，2） ，
∴ 点A在新坐标系x'Oy'中的坐标为 （2，1），
故答案为：B .
【分析】根据坐标系逆时针旋转相当于点顺时针旋转，再根据旋转规律计算点在新坐标系中的坐标即可.
12．（2025·攀枝花） 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别为AC、BD的中点，∠ACD＝15°，AC＝8，OD＝OM．以下结论错误的是（ ）
A．MN⊥BD B．MN＝2
C． D．△BAD∽△COD
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；三角形的中位线定理；四点共圆模型；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接MD、MB，如图所示：
∵ ∠ABC＝90°，M为AC的中点，
∴MB=AM=AC，
∵∠ADC＝90°，M为AC的中点，
∴MD=CM=AC，
∴DM=BM，
∵N为BD的中点，
∴MN⊥BD，故A正确，不符合题意；
∵MD=CM=AC， AC=8，∠ACD＝15°，
∴MD=4，∠MDC=∠ACD＝15°，
∴∠AMD=∠MDC+∠ACD＝30° ，
∵OD＝OM ，
∴∠ODM=∠AMD=30°，
∵MN⊥BD，
∴∠DNM=90°，
∴MN=MD=2，故B正确，不符合题意；
∵∠BDC=∠ODM+∠ODC=45°，
∴∠ADB=∠BDC=45°，
∵MB=AM=MD=CM=AC，
∴点A、B、C、D四点在以点M为圆心，半径为4的圆上，
∴∠BCA=∠BDA=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC=AC=，故C错误，符合题意；
∵∠ABD=∠ACD，∠ADB=∠BDC=45°，
∴△BAD∽△COD，故D正确，不符合题意；
故答案为： C.
【分析】连接MD、MB，根据直角三角形的斜边上的中线的性质可得MB=AM=AC，MD=CM=AC，进而得出DM=BM，再根据等腰三角形三线合一即可得出MN⊥BD，根据等腰三角形的性质易得∠ADM=30°，由含30°角的直角三角形的性质即可求得MN的值，进而可以推出点A、B、C、D四点在同一个圆上，由圆周角定理可求得AB的值，最后结合以上条件即可的出△BAD∽△COD.
13．（2025·攀枝花） 请你取一个a的值，说明命题“|a-1|＝a-1”是假命题，那么a＝ ．
【答案】-1
【知识点】反证法；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：说明命题“|a-1|=a-1”是假命题的反例时，a取不满足|a-1|=a-1的值，例如a=-1（不唯一），
故答案为：-1（答案不唯一） .
【分析】说明命题为假命题，反例满足条件，但不能满足结论，根据此方法即可得出结论.
14．（2025·攀枝花） 已知a、b是方程x2+2x-3＝0的两根，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵已知a、b是方程x2+2x-3＝0的两根，
∴根据根与系数的关系可知：a+b=-2，ab=-3，
∴，
故答案为： .
【分析】根据根与系数的关系求得a+b=-2，ab=-3，再代入求值即可.
15．（2025·攀枝花） 在分别写有数字1到10的10张卡片中，随机地抽出1张卡片，抽到卡片上的数字是质数的概率是 ．
【答案】
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：在分别写有数字1到10的10张卡片中，卡片上的数字是质数的有：2，3，5，7，共四个，
∴抽到卡片上的数字是质数的概率是，
故答案为： .
【分析】根据题意，先找出卡片中质数的个数，再根据概率公式求出抽到卡片上的数字是质数的概率即可.
16．（2025·攀枝花） 类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成n个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当n无限大时，这些“小扇形”可以近似地看成底边长分别为l1，l2， ，ln，高为r的“小三角形”，它们的面积和为．即扇形面积．
请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为3和7，DE＝4，则图中阴影部分面积是 ．
【答案】20
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形OEF的半径为R，扇形ODG的半径为r，
∵DE=4，
∴R-r=4，即R=r+4，
∵两扇形的圆心角相同，
∴，
∴r=3，R=7，
根据题意，图中阴影部分面积=S扇形OEF-S扇形ODG=×7×7-×3×3=20，
故答案为：20 .
【分析】根据类比圆面积公式的推导扇形面积，通过“大扇形-小扇形”计算阴影部分的面积即可.
17．（2025·攀枝花） 计算：．
【答案】解：原式==.
【知识点】分式的乘法
【解析】【分析】根据分式的乘法法则进行计算即可.
18．（2025·攀枝花） 中国在2024年巴黎奥运会上再次刷新了境外参赛的金牌数纪录，显示出中国体育竞技水平的持续提升．以下是我国体育健儿在近六届奥运会中获得的金牌数条形统计图．
（1）根据图中数据将近六届奥运会中国获得的金牌数整理成一个统计表；
（2）近六届奥运会中国获得的金牌数的众数、中位数分别是多少？
【答案】（1）解：列表如下：
第28届 第29届 第30届 第31届 第32届 第33届
32块 51块 38块 26块 38块 40块
（2）解：这组数据中38出现2次，所以众数为38块；
这组数据的第3、4个数据分别为38、38，
所以这组数据的中位数为=38（块）．
【知识点】统计表；条形统计图；中位数；众数
【解析】【分析】（1）根据题意列表即可；
（2）根据众数和中位数的定义求解即可.
19．（2025·攀枝花） 如图，函数y＝x-1和的图象相交于A、B两点．
（1）A点的坐标为 ，B点的坐标为 ；观察图象，不等式x-1的解集为 ；
（2）若y轴上存在点C，使S△ABC＝6，求点C的坐标．
【答案】（1）（2，1）；（-1，-2）；0＜x＜2或x＜-1
（2）解：设 y＝x-1与y轴的交点为M，则点M的坐标为（0，-1），
设C点的坐标为 （0，yc），
由题意知，S△ABC＝S△BCM+S△ACM|-1-yC|×1|-1-yC|×2|yC+1|＝6，
解得|yc+1|＝4，
当 yc+1≥0 时，yc+1＝4，解得yc＝3，
当 yc+1≤0 时，yc+1＝-4，解得yc＝-5，
∴点C的坐标为（0，3）或（0，-5）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数中的面积问题
20．（2025·攀枝花） 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）根据锐角三角函数的定义，证明：sin2A+cos2A＝1；
（2）若sinA=，求cosA的值．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2，sinA=，cosA=，
∴sin2A+cos2A＝（）2+（）21；
（2）解：∵sin2A+cos2A＝1，
∴+cos2A＝1，
∴cos2A=，
∴cosA=或cosA=（舍去），
即cosA的值为．
【知识点】计算器—三角函数；已知某个三角函数值求其他三角函数值
【解析】【分析】（1）由勾股定理可得，由锐角三角函数可知：sinA=，cosA=，然后进行计算即可；
（2）根据（1）的结论进行计算即可.
21．（2025·攀枝花） 在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量y箱与售价x元/箱满足关系式y＝-20x+2200．
（1）若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润；
（2）若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围．
【答案】（1）解：∵y＝-20x+2200，
∴当x＝80时，y＝-20×80+2200＝600，
∴600×（80-60）＝12000（元），
答：若芒果的售价为80元/箱，合作社每天芒果的销售利润为12000元；
（2）解：由题意得：，
解得：86≤x≤95，
答：芒果的售价x的范围为86≤x≤95．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据每天的销售量y箱与售价x元/箱满足关系式由售价计算出销售量，再根据总利润=（售价-成本）×数量即可求得答案；
（2）根据“售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱”列出不等式求解即可.
22．（2025·攀枝花） 如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DOE＝120°，∠EOF＝150°．
（1）求△ABC的三个内角的大小；
（2）设⊙O的直径为d，证明：d＝AB+AC-BC．
【答案】（1）解：∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴AB⊥OD，BC⊥OE，CA⊥OF，
∴∠ODB＝∠OEB＝∠OEC＝∠OFC＝90°，
∵∠DOE＝120°，∠EOF＝150°，
∴∠B＝360°-∠ODB-∠OEB-∠DOE＝60°，∠C＝360°-∠OEC-∠OFC-∠EOF＝30°，
∴∠A＝180°-∠B-∠C＝90°，
∴∠A、∠B、∠C的度数分别为90°、60°、30°．
（2）证明：∵AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE，
∴BD+CF＝BE+CE＝BC，
∵AB+AC＝AD+BD+CF+AF＝2AF+BC，
∴2AF＝AB+AC-BC，
∵∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°，
∴四边形ADOF是矩形，
∴OD＝AF，
∵⊙O的直径为d，OD为⊙O的半径，
∴d＝2OD＝2AF，
∴d＝AB+AC-BC．
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；三角形的内切圆与内心；切线长定理；多边形的内角和公式
【解析】【分析】（1）由内切圆的性质得∠ODB＝∠OEB＝∠OEC＝∠OFC＝90°，再根据四边形的内角和为360°和三角形的内角和为180°即可求解；
（2）由切线长定理得AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE，则BD+CF＝BE+CE＝BC，进而得出2AF＝AB+AC-BC，由（1）易证四边形ADOF是矩形求得0D=AF，结合已知条件即可得出结论.
23．（2025·攀枝花）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t（s）、运动快慢v（cm/s）、运动路程y（cm）的数据．
【收集整理数据】
运动时间t（s） 0 4 8 12 16 20 …
运动快慢v（cm/s） 12 10 8 6 4 2 …
运动路程y（cm） 0 44 80 108 128 140 …
【数学建模探究】
（1）【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：v与t之间的关系可以近似地用 函数表示，y与t之间的关系可以近似地用 函数表示．（选填：一次、二次、反比例）
（2）【检验】根据猜想求出v与t，y与t之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证．
（3）【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以3cm/s的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么AB的最大值是多少？
【答案】（1）一次；二次
（2）解：求v与t的函数关系式：
设v＝kt+b，把t＝0，v＝12和t＝4，v＝10代入，
可得，解得，所以v＝-0.5t+12，
验证：当t＝8时，v＝-0.5×8+12＝8，与表格数据一致；
求y与t的函数关系式：
设y＝at2+bt+c，把t＝0，y＝0，t＝4，y＝44，t＝8，y＝80代入，
可得
解得，
∴y＝-0.25t2+12t，
验证：当t＝12时，y＝-0.25×144+12×12＝108，与表格数据一致；
（3）解：设运动时间为t秒时弹珠追上小车，
此时弹珠运动的路程y等于AB的距离加上小车运动的路程3t，即y＝s+3t（s为AB的距离），
由y＝-0.25t2+12t，
可得-0.25t2+12t＝s+3t，
整理得s＝-0.25t2+9t，
对于二次函数s＝-0.25t2+9t，a＝-0.25＜0，
其最大值在t＝18时取得，
把t＝18代入s＝-0.25t2+9t，得s＝81，
所以AB的最大值是81cm．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）【猜想】
，
观察v随t的变化，是均匀减小，符合一次函数特征；y与t的关系结合图象判断为二次函数，
故答案为：一次，二次；
【分析】（1）利用描点法即可得出答案；
（2）利用待定系数法直接代入求解验证即可；
（3）根据追及关系列出方程，再结合二次函数的性质即可得出答案.
24．（2025·攀枝花）如图1，正方形ABCD的边长为2．E、F分别为边BC、CD上的动点，△CEF的周长为4，G是CB延长线上的一点，且GB＝DF．
（1）求证：AG⊥AF；
（2）试问∠EAF的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
（3）如图2，若M为边BC的中点，过点A作AH⊥EF，垂足为H．求MH的最小值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD时是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝∠BAD＝90°，
∴∠ABG＝∠ADF＝90°，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，
∴∠BAD＝∠DAF+∠BAF＝∠BAG+∠BAF＝∠GAF＝90°，
∴AG⊥AF；
（2）解：由（1）知△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，
∵△CEF的周长为4，CD+CB＝2+2＝4，
∴CE+EF+CF＝CB+CD＝CF+DF+CE+BE，
∴EF＝DF+BE＝BG+BE＝EG，
在△AGE和△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SSS），
∴，
∴∠EAF的大小为定值45°；
（3）解：设BE＝x，DF＝y，则EF＝EG＝x+y，∵正方形边长为2，
∴CE＝CB-BE2-x，CF＝CD-DF＝2-y，
在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，
即（2-x）2+（2-y）2＝（x+y）2，
整理得xy＝4-（x+y），
∵AH⊥EF，
∴S△AEF=AH （x+y），
又∵S△AEF＝S正方形ABCD-S△ABE-S△ADF-S△CEF
＝4-x-y-2+（x+y）-xy
＝4-x-y-2+（x+y）-2+（x+y）
=（x+y），
∴AH （x+y）=（x+y），
∴AH＝2，
∵M为BC中点，
∴BM==1，
∴AM=，
∵MH≥AM-AH，当且仅当A、H、M三点共线时取等，
∴MH，
即MH最小值为．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定定理—SAS易证△ABG≌△ADF，可得∠BAG＝∠DAF，进而可得结论；
（2）由△CEF的周长为4和正方形ABCD的边长为2可得EF＝EG，再根据三角形全等的判定定理—SSS可证△AGE≌△AFE，进而即可得出结论；
（3）设BE＝x，DF＝y，则EF＝EG＝x+y，在Rt△CEF中利用勾股定理可得xy＝4-（x+y），再利用等面积可得AH=2，最后利用三角形的三边关系即可得出答案.
1 / 1四川省攀枝花市2025年中考数学试卷
1．（2025·攀枝花） 2的绝对值是（ ）
A．-2 B．2 C． D．±2
2．（2025·攀枝花） 银江水电站位于攀枝花市境内金沙江与雅砻江交汇处附近，每年可为国家电网输送约16亿千瓦时的清洁能源.16亿可用科学记数法记为（ ）
A．0.16×1010 B．1.6×109 C．16×108 D．1600000000
3．（2025·攀枝花） 如图，直线a截直线b、c所得的一对同位角是（ ）
A．∠2与∠3 B．∠1与∠4 C．∠5与∠7 D．∠1与∠8
4．（2025·攀枝花） 不等式组的解集是（ ）
A．x＜-2 B．x＜3 C．-2＜x＜3 D．x＜-2或x＜3
5．（2025·攀枝花） 攀枝花市被誉为“中国钒钛之都”．如图是一个正方体的表面展开图，与“钒”字相对面上的字是（ ）
A．中 B．国 C．之 D．都
6．（2025·攀枝花） 如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，两条对角线AC与BD互相垂直，则四边形EFGH一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
7．（2025·攀枝花） 要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300条鱼，在每条鱼身上做个标记，再全部放回池塘．过几天后从池塘中捞出200条鱼，发现当中有20条做过标记．就可估计池塘里鱼的数目为（ ）
A．3000 B．4000 C．6000 D．60000
8．（2025·攀枝花） 如图，在正五边形ABCDE中，∠CAD的大小为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．45°
9．（2025·攀枝花） 关于抛物线y＝-x2+6x-7，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线x＝-3
C．与y轴的交点坐标是（0，7） D．顶点坐标是（3，2）
10．（2025·攀枝花） 如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，CE⊥AB于点E，AD与CE相交于点O，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·攀枝花） 已知直角坐标系xOy，点A在该坐标系中的坐标为（-1，2），现将直角坐标系xOy绕点O按逆时针方向旋转90°到x'Oy'的位置，则点A在新坐标系x'Oy'中的坐标为（ ）
A．（-1，2） B．（2，1） C．（2，-1） D．（-2，-1）
12．（2025·攀枝花） 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别为AC、BD的中点，∠ACD＝15°，AC＝8，OD＝OM．以下结论错误的是（ ）
A．MN⊥BD B．MN＝2
C． D．△BAD∽△COD
13．（2025·攀枝花） 请你取一个a的值，说明命题“|a-1|＝a-1”是假命题，那么a＝ ．
14．（2025·攀枝花） 已知a、b是方程x2+2x-3＝0的两根，则的值为 ．
15．（2025·攀枝花） 在分别写有数字1到10的10张卡片中，随机地抽出1张卡片，抽到卡片上的数字是质数的概率是 ．
16．（2025·攀枝花） 类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成n个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当n无限大时，这些“小扇形”可以近似地看成底边长分别为l1，l2， ，ln，高为r的“小三角形”，它们的面积和为．即扇形面积．
请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为3和7，DE＝4，则图中阴影部分面积是 ．
17．（2025·攀枝花） 计算：．
18．（2025·攀枝花） 中国在2024年巴黎奥运会上再次刷新了境外参赛的金牌数纪录，显示出中国体育竞技水平的持续提升．以下是我国体育健儿在近六届奥运会中获得的金牌数条形统计图．
（1）根据图中数据将近六届奥运会中国获得的金牌数整理成一个统计表；
（2）近六届奥运会中国获得的金牌数的众数、中位数分别是多少？
19．（2025·攀枝花） 如图，函数y＝x-1和的图象相交于A、B两点．
（1）A点的坐标为 ，B点的坐标为 ；观察图象，不等式x-1的解集为 ；
（2）若y轴上存在点C，使S△ABC＝6，求点C的坐标．
20．（2025·攀枝花） 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）根据锐角三角函数的定义，证明：sin2A+cos2A＝1；
（2）若sinA=，求cosA的值．
21．（2025·攀枝花） 在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量y箱与售价x元/箱满足关系式y＝-20x+2200．
（1）若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润；
（2）若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围．
22．（2025·攀枝花） 如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DOE＝120°，∠EOF＝150°．
（1）求△ABC的三个内角的大小；
（2）设⊙O的直径为d，证明：d＝AB+AC-BC．
23．（2025·攀枝花）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t（s）、运动快慢v（cm/s）、运动路程y（cm）的数据．
【收集整理数据】
运动时间t（s） 0 4 8 12 16 20 …
运动快慢v（cm/s） 12 10 8 6 4 2 …
运动路程y（cm） 0 44 80 108 128 140 …
【数学建模探究】
（1）【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：v与t之间的关系可以近似地用 函数表示，y与t之间的关系可以近似地用 函数表示．（选填：一次、二次、反比例）
（2）【检验】根据猜想求出v与t，y与t之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证．
（3）【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以3cm/s的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么AB的最大值是多少？
24．（2025·攀枝花）如图1，正方形ABCD的边长为2．E、F分别为边BC、CD上的动点，△CEF的周长为4，G是CB延长线上的一点，且GB＝DF．
（1）求证：AG⊥AF；
（2）试问∠EAF的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
（3）如图2，若M为边BC的中点，过点A作AH⊥EF，垂足为H．求MH的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：2的绝对值是=2，
故答案为：B .
【分析】根据绝对值的定义进行判断即可.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：16亿=1600000000，
1600000000 用科学记数法表示为：，
故答案为：B .
【分析】根据科学记数法的形式为：，（，且n为正整数），n等于整数位数减去1即可求解.
3．【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A、∠2与∠3是同旁内角，故A不符合题意，
B、∠1与∠4不是同位角，故B不符合题意，
C、∠5与∠7是同位角，故C符合题意，
D、∠1与∠8不是同位角，故D不符合题意，
故答案为：C .
【分析】根据同位角的定义，对各选项中角的关系进行判断即可.
4．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，x＜-2，
解不等式②得，x＜3，
将不等式①②的解集在数轴上表示为：
∴不等式组的解集为x＜-2，
故答案为：A .
【分析】分别求出不等式①②得解集，再找出它们的公共部分即可.
5．【答案】C
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：与“ 钒 ”字相对面上的字是：之，
故答案为： C.
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：Z字两端是对面即可解答.
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：设AC交BD于点O，EF交BD于点M，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EF∥AC且EF=AC，GH∥AC且GH=AC， EH∥BD且EH=BD，GF∥BD且GF=BD，
∴EF∥GH，EH∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴∠FEH=∠FPD=∠CQD=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
故答案为： A.
【分析】根据三角形中位线定理可得EF∥AC且EF=AC，GH∥AC且GH=AC， EH∥BD且EH=BD，GF∥BD且GF=BD，进而得出四边形EFGH是平行四边形，再结合AC与BD互相垂直即可得出结论.
7．【答案】A
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：估计池塘里鱼的数目为300÷=3000（条），
故答案为：A .
【分析】由题意已知池塘中有记号的鱼所占的比例，用标记的鱼数除以样本中标记鱼的比例，即可求得鱼的总数.
8．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：作正五边形ABCDE外接圆，圆心为O，连接OC、OD，如图所示：
∵为正五边形ABCDE外接圆，
∴∠COD==72°，
∴∠CAD=∠COD=36°，
故答案为： B.
【分析】利用正多边形的性质求出圆心角的度数，再根据圆周角定理求出∠CAD的度数即可.
9．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵抛物线y= -x2+6x-7=-(x -3)2+2，
∴该函数图象开口向下，故A错误，
∴对称轴为直线x=3，故B错误，
与y轴的交点坐标为(0，-7)，故C错误，
顶点坐标为(3，2)，故D正确，
故答案为： D.
【分析】先将抛物线的一般式化为顶点式，再根据顶点式以及二次函数的性质，依次判断各选项的正误即可.
10．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵ AB＝AC＝5， D为BC的中点， BC＝6，
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=3，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠ADC=90°，
∴∠EAD+∠AOE=90°，∠COD+∠OCD=90°，
∵∠AOE=∠COD，
∴∠EAD=∠OCD，
∴△ADB∽△CDO，
∴，
故答案为：B .
【分析】先利用等腰三角形的性质可得AD⊥BC，CD=BD=3，然后根据垂直定义可得∠AEC=∠ADC=90°，再根据对顶角相等可得∠AOE=∠COD，从而可得∠EAD=∠OCD，进而可得△ADB∽△CDO，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答.
11．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：将直角坐标系xOy绕点O按逆时针方向旋转90° 到x'Oy'的位置 ，相当于将点A在直角坐标系中顺时针方向旋转90°，即点A（x，y）顺时针旋转90后为（y，-x）
∵ 点A在原坐标系中的坐标为（-1，2） ，
∴ 点A在新坐标系x'Oy'中的坐标为 （2，1），
故答案为：B .
【分析】根据坐标系逆时针旋转相当于点顺时针旋转，再根据旋转规律计算点在新坐标系中的坐标即可.
12．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；三角形的中位线定理；四点共圆模型；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接MD、MB，如图所示：
∵ ∠ABC＝90°，M为AC的中点，
∴MB=AM=AC，
∵∠ADC＝90°，M为AC的中点，
∴MD=CM=AC，
∴DM=BM，
∵N为BD的中点，
∴MN⊥BD，故A正确，不符合题意；
∵MD=CM=AC， AC=8，∠ACD＝15°，
∴MD=4，∠MDC=∠ACD＝15°，
∴∠AMD=∠MDC+∠ACD＝30° ，
∵OD＝OM ，
∴∠ODM=∠AMD=30°，
∵MN⊥BD，
∴∠DNM=90°，
∴MN=MD=2，故B正确，不符合题意；
∵∠BDC=∠ODM+∠ODC=45°，
∴∠ADB=∠BDC=45°，
∵MB=AM=MD=CM=AC，
∴点A、B、C、D四点在以点M为圆心，半径为4的圆上，
∴∠BCA=∠BDA=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC=AC=，故C错误，符合题意；
∵∠ABD=∠ACD，∠ADB=∠BDC=45°，
∴△BAD∽△COD，故D正确，不符合题意；
故答案为： C.
【分析】连接MD、MB，根据直角三角形的斜边上的中线的性质可得MB=AM=AC，MD=CM=AC，进而得出DM=BM，再根据等腰三角形三线合一即可得出MN⊥BD，根据等腰三角形的性质易得∠ADM=30°，由含30°角的直角三角形的性质即可求得MN的值，进而可以推出点A、B、C、D四点在同一个圆上，由圆周角定理可求得AB的值，最后结合以上条件即可的出△BAD∽△COD.
13．【答案】-1
【知识点】反证法；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：说明命题“|a-1|=a-1”是假命题的反例时，a取不满足|a-1|=a-1的值，例如a=-1（不唯一），
故答案为：-1（答案不唯一） .
【分析】说明命题为假命题，反例满足条件，但不能满足结论，根据此方法即可得出结论.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵已知a、b是方程x2+2x-3＝0的两根，
∴根据根与系数的关系可知：a+b=-2，ab=-3，
∴，
故答案为： .
【分析】根据根与系数的关系求得a+b=-2，ab=-3，再代入求值即可.
15．【答案】
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：在分别写有数字1到10的10张卡片中，卡片上的数字是质数的有：2，3，5，7，共四个，
∴抽到卡片上的数字是质数的概率是，
故答案为： .
【分析】根据题意，先找出卡片中质数的个数，再根据概率公式求出抽到卡片上的数字是质数的概率即可.
16．【答案】20
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形OEF的半径为R，扇形ODG的半径为r，
∵DE=4，
∴R-r=4，即R=r+4，
∵两扇形的圆心角相同，
∴，
∴r=3，R=7，
根据题意，图中阴影部分面积=S扇形OEF-S扇形ODG=×7×7-×3×3=20，
故答案为：20 .
【分析】根据类比圆面积公式的推导扇形面积，通过“大扇形-小扇形”计算阴影部分的面积即可.
17．【答案】解：原式==.
【知识点】分式的乘法
【解析】【分析】根据分式的乘法法则进行计算即可.
18．【答案】（1）解：列表如下：
第28届 第29届 第30届 第31届 第32届 第33届
32块 51块 38块 26块 38块 40块
（2）解：这组数据中38出现2次，所以众数为38块；
这组数据的第3、4个数据分别为38、38，
所以这组数据的中位数为=38（块）．
【知识点】统计表；条形统计图；中位数；众数
【解析】【分析】（1）根据题意列表即可；
（2）根据众数和中位数的定义求解即可.
19．【答案】（1）（2，1）；（-1，-2）；0＜x＜2或x＜-1
（2）解：设 y＝x-1与y轴的交点为M，则点M的坐标为（0，-1），
设C点的坐标为 （0，yc），
由题意知，S△ABC＝S△BCM+S△ACM|-1-yC|×1|-1-yC|×2|yC+1|＝6，
解得|yc+1|＝4，
当 yc+1≥0 时，yc+1＝4，解得yc＝3，
当 yc+1≤0 时，yc+1＝-4，解得yc＝-5，
∴点C的坐标为（0，3）或（0，-5）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数中的面积问题
20．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2，sinA=，cosA=，
∴sin2A+cos2A＝（）2+（）21；
（2）解：∵sin2A+cos2A＝1，
∴+cos2A＝1，
∴cos2A=，
∴cosA=或cosA=（舍去），
即cosA的值为．
【知识点】计算器—三角函数；已知某个三角函数值求其他三角函数值
【解析】【分析】（1）由勾股定理可得，由锐角三角函数可知：sinA=，cosA=，然后进行计算即可；
（2）根据（1）的结论进行计算即可.
21．【答案】（1）解：∵y＝-20x+2200，
∴当x＝80时，y＝-20×80+2200＝600，
∴600×（80-60）＝12000（元），
答：若芒果的售价为80元/箱，合作社每天芒果的销售利润为12000元；
（2）解：由题意得：，
解得：86≤x≤95，
答：芒果的售价x的范围为86≤x≤95．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据每天的销售量y箱与售价x元/箱满足关系式由售价计算出销售量，再根据总利润=（售价-成本）×数量即可求得答案；
（2）根据“售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱”列出不等式求解即可.
22．【答案】（1）解：∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴AB⊥OD，BC⊥OE，CA⊥OF，
∴∠ODB＝∠OEB＝∠OEC＝∠OFC＝90°，
∵∠DOE＝120°，∠EOF＝150°，
∴∠B＝360°-∠ODB-∠OEB-∠DOE＝60°，∠C＝360°-∠OEC-∠OFC-∠EOF＝30°，
∴∠A＝180°-∠B-∠C＝90°，
∴∠A、∠B、∠C的度数分别为90°、60°、30°．
（2）证明：∵AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE，
∴BD+CF＝BE+CE＝BC，
∵AB+AC＝AD+BD+CF+AF＝2AF+BC，
∴2AF＝AB+AC-BC，
∵∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°，
∴四边形ADOF是矩形，
∴OD＝AF，
∵⊙O的直径为d，OD为⊙O的半径，
∴d＝2OD＝2AF，
∴d＝AB+AC-BC．
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；三角形的内切圆与内心；切线长定理；多边形的内角和公式
【解析】【分析】（1）由内切圆的性质得∠ODB＝∠OEB＝∠OEC＝∠OFC＝90°，再根据四边形的内角和为360°和三角形的内角和为180°即可求解；
（2）由切线长定理得AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE，则BD+CF＝BE+CE＝BC，进而得出2AF＝AB+AC-BC，由（1）易证四边形ADOF是矩形求得0D=AF，结合已知条件即可得出结论.
23．【答案】（1）一次；二次
（2）解：求v与t的函数关系式：
设v＝kt+b，把t＝0，v＝12和t＝4，v＝10代入，
可得，解得，所以v＝-0.5t+12，
验证：当t＝8时，v＝-0.5×8+12＝8，与表格数据一致；
求y与t的函数关系式：
设y＝at2+bt+c，把t＝0，y＝0，t＝4，y＝44，t＝8，y＝80代入，
可得
解得，
∴y＝-0.25t2+12t，
验证：当t＝12时，y＝-0.25×144+12×12＝108，与表格数据一致；
（3）解：设运动时间为t秒时弹珠追上小车，
此时弹珠运动的路程y等于AB的距离加上小车运动的路程3t，即y＝s+3t（s为AB的距离），
由y＝-0.25t2+12t，
可得-0.25t2+12t＝s+3t，
整理得s＝-0.25t2+9t，
对于二次函数s＝-0.25t2+9t，a＝-0.25＜0，
其最大值在t＝18时取得，
把t＝18代入s＝-0.25t2+9t，得s＝81，
所以AB的最大值是81cm．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）【猜想】
，
观察v随t的变化，是均匀减小，符合一次函数特征；y与t的关系结合图象判断为二次函数，
故答案为：一次，二次；
【分析】（1）利用描点法即可得出答案；
（2）利用待定系数法直接代入求解验证即可；
（3）根据追及关系列出方程，再结合二次函数的性质即可得出答案.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD时是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝∠BAD＝90°，
∴∠ABG＝∠ADF＝90°，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，
∴∠BAD＝∠DAF+∠BAF＝∠BAG+∠BAF＝∠GAF＝90°，
∴AG⊥AF；
（2）解：由（1）知△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，
∵△CEF的周长为4，CD+CB＝2+2＝4，
∴CE+EF+CF＝CB+CD＝CF+DF+CE+BE，
∴EF＝DF+BE＝BG+BE＝EG，
在△AGE和△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SSS），
∴，
∴∠EAF的大小为定值45°；
（3）解：设BE＝x，DF＝y，则EF＝EG＝x+y，∵正方形边长为2，
∴CE＝CB-BE2-x，CF＝CD-DF＝2-y，
在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，
即（2-x）2+（2-y）2＝（x+y）2，
整理得xy＝4-（x+y），
∵AH⊥EF，
∴S△AEF=AH （x+y），
又∵S△AEF＝S正方形ABCD-S△ABE-S△ADF-S△CEF
＝4-x-y-2+（x+y）-xy
＝4-x-y-2+（x+y）-2+（x+y）
=（x+y），
∴AH （x+y）=（x+y），
∴AH＝2，
∵M为BC中点，
∴BM==1，
∴AM=，
∵MH≥AM-AH，当且仅当A、H、M三点共线时取等，
∴MH，
即MH最小值为．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定定理—SAS易证△ABG≌△ADF，可得∠BAG＝∠DAF，进而可得结论；
（2）由△CEF的周长为4和正方形ABCD的边长为2可得EF＝EG，再根据三角形全等的判定定理—SSS可证△AGE≌△AFE，进而即可得出结论；
（3）设BE＝x，DF＝y，则EF＝EG＝x+y，在Rt△CEF中利用勾股定理可得xy＝4-（x+y），再利用等面积可得AH=2，最后利用三角形的三边关系即可得出答案.
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