2025-2026学年人教版中考：将军饮马模型专题复习课件 (共30张PPT)

(共30张PPT)
将军饮马
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”。诗中隐含着一个有趣的数学问题，被称为将军饮马问题。
在一些线段和差的最值问题中，通过图形的平移、对称、旋转变换，应用
（1）线段公理：两点之间线段最短；
（2）垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短；
求得最值，这类问题一般称之为“将军饮马”问题。
基本模型：如图，两定点A、B在直线l 同侧，在直线 l上找一点P，使PA+PB最小。
基本模型：如图，两定点A、B在直线l 同侧，在直线 l上找一点P，使PA+PB最小。
做轴对称
例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4， △ABC面积是12，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F．若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，求△PCD周长的最小值．
例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是12，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F．若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，求△PCD周长的最小值．
例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是12，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F．若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，求△PCD周长的最小值．
类型二：如图，点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。
类型二：如图，点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。
类型二：如图，点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。
做两次轴对称
例2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA上有一动点Q，OB上有一动点R。若△PQR周长最小，则最小周长是多少？
例2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA上有一动点Q，OB上有一动点R。若△PQR周长最小，则最小周长是多少？
类型三：如图，A、B是直线l同侧两点，在l上找一点P、D且PD=a(定值），使得PA+PD+BD最小．
类型三：如图，A、B是直线l同侧两点，在l上找一点P、D且PD=a(定值），使得PA+PD+BD最小．
类型三：如图，A、B是直线l同侧两点，在l上找一点P、D且PD=a(定值），使得PA+PD+BD最小．
平移加对称
例3.在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，求AC+BD的最小值．
例3.在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，求AC+BD的最小值．
类型四：如图，在角的内部有一点A，在角的两边上找两点B、C， 使得BA+BC最小。
类型四：如图，在角的内部有一点A，在角的两边上找两点B、C， 使得BA+BC最小。
对称加垂线段最短
例4. 如图,∠BAC=30°，M为AC上一点, AM=2,点P是AB上一动点,PQ⊥AC,垂足为点Q,求PM+PQ的最小值．
例4. 如图,∠BAC=30°，M为AC上一点, AM=2,点P是AB上一动点,PQ⊥AC,垂足为点Q,求PM+PQ的最小值．
类型五：如图，A、B是直线l异侧两点，在l上找一点P，使得|PB
-PA|最大．
类型五：如图，A、B是直线l异侧两点，在l上找一点P，使得|PB-PA|最大．
例5.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，求|PA﹣PB|的最大值．
例5.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，求|PA﹣PB|的最大值．
例6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3，E，F为边AC，BC上的两个动点，且CF=AE，连接BE，AF，则BE+AF的最小值为 ．
例7.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），B（0，1），C（0，4），将线段AB向右平移，则在平移过程中，AC+BC的最小值是　 　．
将军饮马问题解题妙招
遇到线段和与差的最小或最大问题时，先分析其中的定点和动点，若动点在一条线上动，则考虑利用对称、平移或旋转把无关的折线放在一条线上，利用两点之间线段最短或垂线段最短解决问题。