专题一 “见招出招”攻破常考几何模型-类型3 “一线三等角”模型 课件(共23张PPT)-2026年中考数学二轮专题复习

2026年中考数学二轮专题复习
大单元整合专题一 “见招出招”攻破常考几何模型
类型3 “一线三等角”模型
解题大招
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见一条直线上有
三个相等的角
↓
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构造“一线三等
角”模型
1.同侧型“一线三等角”(∠????=∠????????????=∠????)
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2.异侧型“一线三等角”(∠????????????=∠????????????=∠????????????)
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结论： ①△????????????∽△???????????? ;②若任一对应边相等,则
△????????????≌△???????????? .
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见一条直线上有
三个相等的角
↓
___________________
构造“一线三等
角”模型
问题1 与全等三角形结合
1.[2025南通三模改编]如图，在正方形????????????????的边????????上有一点????，连接???????? ，
把????????绕点????逆时针旋转90? ，得到????????.连接????????，则???????????????? 的值为_ __.
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22
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. .
点拨 如图,易得△ADE≌△EHF,∴HF=DE,EH=AD,
∴EH=DC,∴DE=CH=HF,即可得????????????????的值
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2.已知????????是经过∠????????????的顶点????的一条直线，????????=????????，????，???? 分别是直线
????????上的两点，连接????????，????????,∠????????????=∠????????????=???? .
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（1）如图（1），若直线????????经过∠????????????的内部，且点????，????在射线???????? 上，
∠????????????+????=180? .求证：????????=????????????????? .
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证明：在△????????????中，∠????????????+∠????????????=180?????? .
∵∠????????????+????=180? ，
∴∠????????????=180?????? ，
∴∠????????????+∠????????????=∠???????????? .
∵∠????????????+∠????????????=∠???????????? ，
∴∠????????????=∠???????????? .
又∠????????????=∠????????????，????????=???????? ，
∴△????????????≌△???????????? ，
∴????????=????????，????????=???????? .
∵????????=?????????????????，∴????????=????????????????? .
?
（2）如图（2），若直线????????不经过∠????????????的内部，∠????????????=???? ，猜想线段
????????，????????，???????? 之间的数量关系，并加以证明.
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猜想：????????=????????+???????? .
证明：∵∠????????????+∠????????????+∠????????????=180? ，
∴∠????????????+∠????????????=180?????? .
在△????????????中，∠????????????+∠????????????=180?????? ，
∴∠????????????=∠???????????? .
又∠????????????=∠????????????，????????=???????? ，
∴△????????????≌△???????????? ，
∴????????=????????，????????=???????? .
∵????????=????????+????????，∴????????=????????+???????? .
?
问题2 与相似三角形结合
3.如图，沿直线????????折叠等边三角形纸片?????????????[1]，使点????
落在????????边上任意一点????处（不与点????，???? 重合），已知
△????????????的边长为9，????为????????上一点，????????=5，????????=2 ，
则????????= ___.
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145
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【大招点拨】①见招：由[1]得∠????=∠????????????=∠????=60? ，发现“一线三等
角”.②出招：得出△????????????∽△????????????，进而求出???????? 的长.
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. .
提示 如图,△DBF∽△FCE,即????????????????=????????????????
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4.【感知】如图（1），在正方形????????????????中，????为????????边上一点，连接???????? ，过
点????作????????⊥????????交????????于点????.易证：△????????????∽△???????????? .（不需要证明）
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【探究】
如图（2），在矩形????????????????中，????为????????
边上一点，连接????????，过点???? 作
????????⊥????????交????????于点???? .
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（1）求证：△????????????∽△???????????? .
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证明：∵ 四边形???????????????? 是矩形，
∴∠????=∠????=90? ，
∴∠????????????+∠????????????=90? .
∵????????⊥???????? ，
∴∠????????????=90? ，
∴∠????????????+∠????????????=90? ，
∴∠????????????=∠???????????? .
∵∠????=∠???? ，
∴△????????????∽△???????????? .
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（2）若????????=10，????????=6，????为????????的中点，求???????? 的长.
?
∵????为???????? 的中点，
∴????????=????????=5 .
由（1）知，△????????????∽△???????????? ，
∴????????????????=???????????????? ，
即65=5???????? ，
∴????????=256 .
?
【应用】
（3）如图（3），在△????????????中，∠????????????=90? ，????????=????????，????????=4.????为????????
边上一点（点????不与点????,????重合），连接????????，过点????作∠????????????=45? 交???????? 于
点????.当△????????????为等腰三角形时，求???????? 的长.
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①若????????=????????，则∠????????????=∠????????????=45? ，∠????????????=90? ，则点????与点???? 重
合，点????与点???? 重合，不符合题意.
②若????????=????????，则∠????????????=∠????????????=180??45?2=67.5? ，
∵∠????????????为△???????????? 的外角，
∴∠????????????=∠????+∠???????????? .
∵∠????????????=90? ，????????=???????? ，
∴∠????=∠????=45? ，
∴∠????????????=∠?????????????∠????=67.5??45?=22.5? ，
?
∠????????????=90??∠????????????=90??67.5?=22.5? ，
∴∠????????????=∠???????????? .
∵∠????=∠????，????????=???????? ，
∴△????????????≌△???????????? ，
∴????????=???????? .
∵∠????????????=90? ，????????=????????，????????=4 ，
∴????????=22????????=22 ，
∴????????=22 .
?
③若????????=????????，则∠????????????=∠????????????=45? ，
∴∠????????????=90? .
在△????????????中，∠????=∠????????????=45? ，
∴∠????????????=90? ，
∴????????⊥???????? .
∵????????=???????? ，
∴????为???????? 的中点，
∴????????=12????????=2 .
综上，????????的长为22 或2.
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30?min
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（第1题）
1.[2025宣城期末]如图，将等边三角形???????????? 折叠，使
点????落在????????边上的点????处（不与点????,???? 重合），折痕
为????????．若????????=5，????????=2，则???????? 的长是( )
?
B
A.43 B.83 C.2 D.52
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专题训练
（第2题）
2.[2024 德州模拟]如图，一块含45? 角的三角板的一
个顶点????与矩形????????????????的顶点重合，直角顶点???? 落在边
????????上，另一个顶点????恰好落在边???????? 的中点处，若
????????=12，则???????? 的长为 ___ ．
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8
3.[2025连云港赣榆区期中]如图，△???????????? 中，
????????=????????=4，????????=6，点????，????分别在????????，???????? 上
（点????不与????，????两点重合），且∠1=∠????，若????????=???????? ，
则???????? 的长为___.
?
2
4.[2025深圳宝安区期中]有五本形状为长方体的书放置在矩形书架中，如
图，其中四本竖放，第五本斜放，点???? 正好在书架边框上．每本书的厚度
为5?cm,高度为20?cm,书架宽????????为40?cm,则????????的长为___cm ．
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4017
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（1）如图（1），????,????,????在同一直线上，∠????????????=∠????????????=∠???????????? ，
????????=????????，则利用ASA可以证明△????????????≌△???????????? ，平时大家习惯称其为
“一线三等角”．请你完成两三角形全等的证明过程．
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证明：∵∠????+∠????????????+∠????????????=180? ，
∠????????????+∠????????????+∠????????????=180?， ∠????????????=∠????????????=∠???????????? ，
∴∠????=∠???????????? .
在△????????????和△???????????? 中，
&∠????=∠????????????,&????????=????????,&∠????????????=∠????????????, ∴△????????????≌△????????????ASA .
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图（1）
5.[2025金华金东区期中节选]【方法储备】
【拓展应用】
（2）如图（2），????在等边三角形????????????的边????????上，????在边????????上，以???????? 为边的
等边三角形????????????的顶点????恰好在∠????????????的平分线上，若????????=5，求???????? 的长．
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图（2）
如图,在????????上取一点????，使????????=????????，连接????????，延长????????
交????????于点???? ，
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∵△????????????和△???????????? 是等边三角形，
∴∠????=∠????????????=60? ，????????=???????? .
?
∵∠????+∠????????????+∠????????????=180? ，
∠????????????+∠????????????+∠????????????=180? ，
∴∠????????????=∠???????????? .
在△????????????和△???????????? 中，
?
&????????=????????,&∠????????????=∠????????????,&????????=????????,
∴△????????????≌△????????????SAS ，
∴∠????=∠????????????=60? ，????????=???????? .
令????????=????，????????=????，则????????=????????=????+???? ，
∴????????=?????????????????=5?????????? .
∵????????是∠???????????? 的平分线，
∴????是???????? 的中点，
?
∴????????=????????=?????????????????=5????? ，
∴????????=?????????????????=5?2????=???????? .
∵∠????????????=60? ，
∴????????=2???????? ，
∴5?2????=2???? ，
∴????+????=2.5 ，
∴????????=????+????=2.5 .