专题三 中考五大重难题型-题型三 二次函数的实际应用 课件(共40张PPT)-2026年中考数学二轮专题复习

(共40张PPT)
2026年中考数学二轮专题复习
大单元整合专题三 中考五大重难题型
题型三 二次函数的实际应用
利润最值问题
1.农贸公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售
量（千克）与销售价格 （元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部
分数据如下表：
销售价格 （元/千克） 30 35 40 45 50
日销售量 千克 600 450 300 150 0
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函
数的知识确定与之间的函数表达式，并直接写出与 的函数表达式:
_________________.
（2）农贸公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润
最大？
设日销售利润为 元，由题意得
.
， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，为 ，
公司应该把这批农产品的销售价格定为40元/千克，才能使日销售利润
最大.
（3）若农贸公司每销售1千克这种农产品需支出 元的相关费用，
当时，农贸公司日获利的最大值为2 430元，求 的值.
（日获利日销售利润 日支出费用）
设日获利为 元，由题意得
，
对称轴为直线 .
②若，则当时， 有最大值.
将代入，得 ，
当 时， ，
解得， （不合题意，舍去）.
的值为2.
①若
，
不符合题意，舍去.
解题大招
利用二次函数的性质求最大利润的一般思路
1.根据“总利润（售价进价） 销售量”或“总利润售价销售量 总成本”
列出二次函数表达式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围.
解题大招
2.将二次函数表达式化为顶点式，在自变量的取值范围内，利用二次函数
的性质求最值，求解时应注意：
（1）若顶点的横坐标在自变量的取值范围内，则一般在顶点处取得最值
（注意结合函数图象及题意具体情况具体分析）；
（2）若顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，则需结合二次函数的图
象，利用二次函数的增减性，在自变量的取值范围内求出函数的最值.
注意：在售价变化引起销量变化的问题中，要弄清楚自变量 代表的是售
价还是上涨（下降）的量.
抛物线形问题
2.[2021贵阳24题12分]甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片，如图（1）所示.如
图（2），甲秀楼的桥拱截面 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，
桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是 ．
（1）按如图（2）所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表
达式.
由题意知水面宽是，桥拱顶点到水面的距离是 ，
结合函数图象可知， ，
设二次函数的表达式为 ，
将 代入二次函数的表达式，
可得 ，
二次函数的表达式为 ，
桥拱部分抛物线的函数表达式是 .
（2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 点
时，桥下水位刚好在处，有一名身高 的工人站立在打捞船
正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱？请说明理由．（假设船底
与水面齐平）
他的头顶不会触碰到桥拱.理由如下：
由题意得此时工人距点的距离为 ，
将代入 ，
解得 .
，
此时他的头顶不会触碰到桥拱.
（3）如图（3），桥拱所在的函数图象是抛物线 ，
该抛物线在轴下方部分与桥拱 在平静水面中的倒影组成一个新函数图
象．将新函数图象向右平移 个单位长度，平移后的函数图象在
时，的值随值的增大而减小，结合函数图象，求 的取值范围．
抛物线在轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于
轴成轴对称，如图（1）所示，
则新函数图象的对称轴也是直线 ，
此时，当或时，的值随 值的增大而减小，
将新函数图象向右平移 个单位长度，
可得平移后的函数图象，如图（2）所示，
平移不改变图形的形状和大小，
平移后新函数图象的对称轴是直线 ，
当或时，的值随 值的增大而减小.
图（1）
图（2）
当时，的值随 值的增大而减小，
结合函数图象可知：
且，得 ；
，得 .
又 ，
不符合题意，舍去.
综上所述，的取值范围是 .
图（1）
图（2）
解题大招
利用二次函数的性质求抛物线形问题的一般思路
1.从问题情境入手，建立适当的平面直角坐标系，将实际问题抽象成二次
函数模型，即将题干中的信息转化为抛物线中的相关信息，在图中标注相
应各点的坐标.
2.设出合适的解析式，将题中已知点的坐标代入解析式，求出抛物线的完
整解析式（常用待定系数法）.
3.利用二次函数解析式求出目标点的坐标，进而解决实际问题.
针对训练
3.[2025贵州省一模]如图（1）是某小区设计的一个车棚，其截面如图（2）
所示，顶棚是抛物线的一部分，，垂直于地面 ，且
，，以所在的直线为轴，所在的直线为
轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式
，为常数， ．
（1）求顶棚抛物线的函数关系式.
由题意得， ，
将点，的坐标分别代入 ，
得
解得
顶棚抛物线的函数关系式为 .
图（1）
顶棚抛物线的对称轴为直线 ，
如图（1）， 为车身的宽.
车身的宽为 ，
车身左端点的坐标为 .
过点作于点，与抛物线交于点 ,
将代入 ，得 ，
即 ， 小星能驾驶这辆车进入车棚.
（2）小星想驾驶一辆高为，宽为 的货车进入车棚．通过计算判断：
他能驾驶这辆车进入车棚吗？
（3）如图（3），为了使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固．在顶棚
，之间的抛物线上有两个点和（不与点， 重合）．它们的横坐标
分别为，，连接，．设点与点之间部分（含点和点 ）的最
高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点 ）的
最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求 的值．
第1步：求出 的取值范围
点，在抛物线， 之间，
，
，
第2步：正确写出点和点 的坐标
， ,
第3步：求出关于 的函数关系式
.
第4步：分两种情况讨论，并求出关于 的函数关系式
图（2）
①如图（2），当在对称轴的左侧时，，
.
,
，
解得, （不合题意，舍去）.
②如图（3），当点在对称轴上或对称轴的右侧时， ，
.
易得顶棚抛物线的顶点坐标是 ，
，
，
解得 （不合题意，舍去），
（不合题意，舍去）.
图（3）
图（3）
第5步：写出满足条件的 的值
综上所述，的值为 .
1.[2025达州中考]为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文
旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售
价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可
以多售出10件．
（1）设该款巴小虎吉祥物的售价降价 元，则每天售出___________件.
（2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物的售价应该降价多少元，才能使
文旅公司每天的利润是630元.
专题训练
根据题意可得, ，
整理可得, ，
解得， .
要让利于游客， 舍去，
该款巴小虎吉祥物的售价降价3元时,文旅公司每天的利润是630元.
（3）设文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为 元，当售价为多
少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
由题意得
.
，
当时， 取得最大值，为640，
此时售价为38元.
答：当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元．
2.[2025郑州金水区模拟]【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长 ，
宽的矩形水池 进行加长改造（如图（1），改造后的水池
仍为矩形，以下简称为水池1），同时，再建造一个周长为 的
矩形水池 （如图（2），以下简称为水池2）．
【建立模型】
设水池的边的加长长度为 ，加长后水池1的总面
积为，则关于的函数解析式为 .设水池2的边
的长为，面积为，则关于 的函数解析式为
，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图
象如图（3）．
【问题解决】
（1）写出关于 的函数解析式：______________.
（2）在时，求两个水池面积差的最大值和此时 的值.
如图，设一次函数图象和二次函数图象的交点为, ,在抛物
线的段上任取一点，过点作轴交线段于点 ，
设，则 ，
.
，
当时，有最大值,为 ，
在时，两个水池面积差的最大值为，此时的值为 .
（3）假设水池的边的长度为 ，其他条件不变（这个加长改造
后的新水池简称为水池3），则水池3的总面积关于 的
函数解析式为．若水池3与水池2的面积相等， 有唯
一值，求 的值．
水池3与水池2的面积相等，
，
即 ，
．
水池3与水池2的面积相等时， 有唯一值，
，
解得 .
3.[2025山西中考改编]综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据
青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线
与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合.
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路
线的最高点距地面,起跳点与落地点的距离为 .
. .
数学建模：如图（1）,将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点
为,对称轴为直线,仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为,落地点为 .
以为原点，所在直线为轴，过点与 所在水平地面垂直的直线为
轴，建立平面直角坐标系.
图（1）
图（2）
（1）请直接写出顶点 的坐标，并求该抛物线的函数表达式.
顶点的坐标为 .
设抛物线的函数表达式为 .
由题意得，点的坐标为 .
将点的坐标代入 ,
得 ，
解得 ，
抛物线的函数表达式为 .
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线
的形状不变.
（2）如图（1）,若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为 ,
点的坐标为,点在轴的正半轴上.求起跳点与落地点 的水平距
离 的长.
由题意得，过点的抛物线是由（1）中的抛物线沿直线 向上平移得到的，
顶点为 .
其表达式为 .
当时， ，
解得, （不符合题意，舍去），
点的坐标为 ，
起跳点与落地点的水平距离的长为 .
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个
点在竖直方向上的距离不少于 ,才能安全通过.如图（2）,水平地面上
有一个障碍物，其纵切面为四边形,其中 ,
,,.仿青蛙机器人从距离左侧
处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个
平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物.求该平台的
高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线
在同一竖直平面内）.
点到起跳点的水平距离为，点 到起跳点的水平距离为
.
对于 ，
当时， .
，刚好满足距离不少于 的要求.
当时， .
，
若要刚好满足安全通过该障碍物的要求，抛物线需向上平移 ，故平台
的高度为 .