专题三 中考五大重难题型-题型四 二次函数图象与性质综合题 课件(共42张PPT)-2026年中考数学二轮专题复习

2026年中考数学二轮专题复习
大单元整合专题三 中考五大重难题型
题型四 二次函数图象与性质综合题
结构化整合
1. 已知二次函数????=?????2+2????????+???? .
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（1）[二次函数图象的对称轴]二次函数图象的对称轴是直线????= ___.
（用含???? 的代数式表示）
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????
?
（2）[二次函数的表达式]当????=1时，若抛物线经过点????(2,3) ，求这个二
次函数的表达式.
?
当????=1时，二次函数的表达式是????=?????2+2????+???? ，
将点????(2,3) 代入得，3=?22+4+????，解得????=3 ,
∴ 当????=1时，二次函数的表达式是????=?????2+2????+3 .
?
（3）[二次函数图象的对称性]在（2）的条件下，抛物线上分别有两点
(?12,????1)，(????,????2)，若????1?
当????=1时，二次函数的对称轴是直线????=1 ,
∴ 点(?12,????1)关于直线????=1的对称点是(52,????1) ，
∴ 当????1?
解题大招
解决二次函数的性质相关试题时，可利用数形结合思想，通过画草图解决
问题.此外贵州中考也常结合分类讨论思想进行命题.
（3）图示速解
拓展：已知二次函数
????=????????2+????????+????(????≠0) 图象上的两点
????(????1,????0),????(????2,????0) ,则二次函数图象的对
称轴为直线????=????1+????22 .
?
（4）[二次函数与一元二次方程的关系]在（2）的条件下，对于一切实数
????,若函数值?????
∵ 对于一切实数????,函数值????∴ 二次函数????=?????2+2????+3的图象与直线????=????+???? 没有交点.
当二次函数????=?????2+2????+3的图象与直线????=????+???? 只有一个交点时，
即关于????的方程?????2+2????+3=????+???? 只有一个解，
整理方程得，?????2+????+3?????=0 ，
∴????=12?4×(?1)×(3?????)=1+12?4????=13?4????=0 ,
解得????=134 ,
∴ 当????>134时，对于一切实数????,函数值?????
（4）图示速解
拓展：二次函数????=????????2+????????+????(????≠0) 与一次函数
????=????????+????(????≠0)的交点情况可以用关于???? 的方程
????????2+????????+????=????????+???? 的根的情况来表示.
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①一个交点?????=0;②两个交点?????>0 ;
③无交点?????<0 .
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解题大招
（5）[二次函数的区间最值问题]在（2）的条件下,当?????2≤????≤???? 时,二
次函数的最大值是?2????，求???? 的值.
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∵ 二次函数????=?????2+2????+3的图象开口向下，对称轴是直线????=1 ,
∴ 分以下3种情况进行讨论.
①当????<1 时，
?????2+2????+3=?2???? ,
解得????=?7+2或????=7+2 （舍去）.
②当?????2>1，即????>3 时，
有?(?????2)2+2(?????2)+3=?2???? ,
解得????=11+4或????=?11+4 （舍去）.
?
③当?????2<1在????=1 处，二次函数取得最大值，
此时?1+2+3=?2???? ,
解得????=?2 ,不符合题意，舍去.
综上，????=?7+2或????=11+4 .
?
（5）图示速解
拓展：见到“最值”找三个点，①取值范围的左端点，②取值范围的右端点，
③抛物线的顶点.
解题大招
（6）若????=1,当2≤????≤4时，函数????的值总大于等于1，求???? 的取值范围.
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当????=1时，二次函数的表达式是????=?????2+2????????+1 ,
∴ 二次函数的图象开口向下，对称轴是直线????=???? .
∵ 当2≤????≤4时，函数???? 的值总大于等于1，
∴ 当????=2时，????=?22+4????+1≥1 ，
解得????≥1 .
当????=4时，????=?42+8????+1≥1 ，
解得????≥2 .
∴????的取值范围是????≥2 .
?
（6）图示速解
解题大招
（7）[对称轴位置不定]若????=1,是否存在实数????(????>1)，使得当1≤????≤4
时，二次函数的最大值比最小值大3，若存在，求出???? 的值；若不存在，请
说明理由.
?
存在.
∵ 当????=1时，二次函数的表达式是????=?????2+2????????+1 ,
∴ 二次函数的图象开口向下，对称轴是直线????=????，顶点坐标是(????,????2+1) .
当????=1时，????=?1+2????+1=2???? ,
当????=4时，????=?16+8????+1=?15+8???? .
∵ 当1≤????≤4 时，二次函数的最大值比最小值大3，
∴ 当????>1 时，分以下3种情况讨论.
①若????>4，此时????=4，????有最大值，????=1，???? 有最小值，
∴?15+8?????2????=3，解得????=3 （舍去）.
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②若1∴????2+1?(?15+8????)=3 ，
解得????=?3+4或????=3+4 （舍去）.
③若2.5∴????2+1?2????=3 ，
解得????=3+1或????=?3+1 （舍去）.
综上，????的值为?3+4或3+1 .
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（7）图示速解
拓展：抛物线开口向下，到对称轴距离
越远的点函数值越小；抛物线开口向上，
到对称轴距离越远的点，函数值越大.
解题大招
（8）[结合“将军饮马”模型]在（2）的条件下,若二次函数的图象分别交????
轴于点????，????，且点????在点????的左侧，与????轴交于点???? ，则对称轴上是否存在
一点????，使得????????+????????的值最小，若存在，求出点???? 的坐标；若不存在，请
说明理由.
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存在.
由（2）知，二次函数的表达式为????=?????2+2????+3 ，
∴ 点????的坐标是(0,3)，对称轴是直线????=1 .
当????=0时，解得????=3或????=?1 ,
∴ 点????的坐标是(?1,0)，点????的坐标是(3,0) .
∵ 点????,????关于直线????=1 对称，
∴????????+????????=????????+????????≥???????? .
设直线????????的表达式为????=????????+????,分别代入点????,???? 的坐标，
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得&3????+????=0,&????=3,解得&????=?1,&????=3,
∴ 直线????????的表达式是????=?????+3 ，
∴ 当????=1时，????=2 ,
∴ 当????????+????????的值最小时，点????的坐标是(1,2) .
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（8）图示速解
“将军饮马”模型链接本书【专题一遍过】第136页问题1
>> 设问源自2023年贵州省中考第24题第（2）问
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解题大招
（9）[距离最值问题]在（8）的条件下,若点????为抛物线???????? 上一动点
（不与点????，????重合），求点????到直线???????? 的最大距离.
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过点????作????????//????轴交直线????????于点????,交????轴于点???? ,
作????????⊥????????于点???? ,
由（8）知，直线????????的表达式是????=?????+3 ，
设????(????,?????2+2????+3),则????(????,?????+3) ，
∴????????=?????2+2????+3?(?????+3)=?????2+3????=?(?????32)2+94 ，
∴ 当????=32时，????????有最大值，为94 .
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由（8）知，????????=3,????????=3 ,
∴∠????????????=∠????????????=45? ，
∴∠????????????=∠????????????=45? ，
∴????????=????????×sin?45?=94×22=928 ，
∴ 点????到直线????????的最大距离为928 .
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（9）图示速解
拓展：本问利用到转化思想，通过作辅助线将“求???????? 的最大值”转化为“求
????????的最大值”,其中45? 角是本问隐含的关键条件.#2.15
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解题大招
（10）[抛物线的平移]在（2）的条件下，平移抛物线????=?????2+2????????+???? ，
使平移后的抛物线的顶点在直线????=????+1上，求平移后的抛物线与???? 轴交
点纵坐标的最大值．
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由（2）知，抛物线的表达式是????=?????2+2????+3 ，
∵ 平移后的抛物线的顶点在直线????=????+1 上，
∴ 设平移后的抛物线的表达式为????=?(??????)2+?+1 ，
∴????=?????2+2???????2+?+1 .
设平移后的抛物线与????轴交点的纵坐标为???? ,
则????=??2+?+1=?(??12)2+54 ，
∴ 当?=12时，平移后的抛物线与????轴交点纵坐标的最大值为54 .
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（10）解题技巧#2.16
平移前抛物线的表
达式
平移???? 个单位长度
(????>0)
平移后抛物线的表达式
????=????????2+????????+????
向左
????=????(????+????)?2+????(????+????)+????
向右
????=????(?????????)?2+????(?????????+????)
向上
????=????????2+????????+????+????
向下
????=????????2+????????+??????????
平移前抛物线的表
达式
平移后抛物线的表达式
向左
向右
向上
向下
解题大招
平移前抛物线的表
达式
平移???? 个单位长度
(????>0)
平移后抛物线的表达式
????=????(??????)2+????
向左
????=????(??????+????)?2+????
向右
????=????(???????????)?2+????
向上
????=????(??????)2+????+????
向下
????=????(??????)2+?????????
平移前抛物线的表
达式
平移后抛物线的表达式
向左
向右
向上
向下
续表
针对训练
2.[2025贵阳花溪区模拟]已知二次函数????=????2+2(?????2)????+????2 ．
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（1）求二次函数图象的对称轴（用含???? 的式子表示）.
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二次函数图象的对称轴为直线????=?2(?????2)2×1=2????? .
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（2）若????为自然数，且二次函数的图象与????轴有两个不同交点(????1,0) 和
(????2,0)(????1?
∵ 二次函数的图象与???? 轴有两个不同交点，
∴[2(?????2)]2?4????2>0 ，
解得????<1 .
∵???? 为自然数，∴????=0，∴????=????2?4???? .
令0=????2?4???? ,∴????(?????4)=0 .
∵????1∴????2?????1=4?0=4 .
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（3）若????<0，直线????=????+????与该二次函数的图象交于点????(0,2?????) ．当
????≤????≤????+1时，求二次函数????=????2+2(?????2)????+????2 的最小值．
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∵ 直线????=????+????与????轴的交点为(0,????) ，与二次函数的图象交于点
????(0,2?????) ，
∴????=2????? ，
解得????=1 ，
∴ 点????的坐标为(0,1) ，
∴????2=1 .
∵????<0 ，
∴????=?1 ，
∴ 二次函数的表达式为????=????2?6????+1=(?????3)2?8 .
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①当????≤????≤????+1≤3，即????≤2 时，
二次函数的最小值为当????=????+1 时对应的函数值，
当????=????+1时，????=(????+1?3)2?8=????2?4?????4 .
②当????+1>3且????<3，即2二次函数的最小值为当????=3时对应的函数值，是?8 .
③当????≥3时，二次函数的最小值为当????=???? 时对应的函数值，
当????=????时，????=(?????3)2?8=????2?6????+1 .
综上,二次函数????=????2+2(?????2)????+????2的最小值为 &????2?4?????4(????≤2),&?8(2?
3.[2025宁波七中模拟]如图，已知抛物线????=?????2?2????????+5与???? 轴交于点
????，????（点????在点????的右边），与????轴交于点????，????????=5???????? .
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（1）求抛物线的表达式及顶点坐标.
由题意知，
当????=0时，????=5 ，∴????????=5 ，∴????????=1 ，∴????(?1,0) .
将点????的坐标代入得，?1+2????+5=0 ，
解得????=?2 ，
∴ 抛物线的表达式为????=?????2+4????+5=?(?????2)2+9 ，即顶点坐标为(2,9) .
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（2）当?1≤????≤7时，求二次函数????=?????2?2????????+5 的最大值与最小值
的差.
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由（1）知函数图象开口向下，顶点坐标为(2,9) ，
∴ 当?1≤????≤7 时，最大值在顶点处取得，
最小值在????=7处取得，为????=?(7?2)2+9=?16 ，
∴ 当?1≤????≤7时，?16≤????≤9 ，
∴ 最大值与最小值的差为9?(?16)=25 .
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（3）点????为抛物线上任意一点，将点????向上平移2个单位长度得到点????1 ，若
点????1关于原点????的对称点????2恰好落在抛物线上，求此时点???? 的坐标.
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设点????的坐标为(????,?????2+4????+5)，则点????1的坐标为(????,?????2+4????+7) .
∵ 点????1关于原点的对称点为????2 ，
∴ 点????2的坐标为(?????,????2?4?????7) .
∵ 点????2在抛物线????=?????2+4????+5 上，
∴ 将点????2 的坐标代入,
得?????2?4????+5=????2?4?????7 ，
解得????=?6或6 ，
∴ 点????的坐标为(6,46?1)或(?6,?46?1) .
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30?min
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1.[2025北京海淀区模拟]在平面直角坐标系???????????? 中，已知抛物线
????=????????2?2?????????8????≠0与????轴交于点???? .
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（1）求点???? 的坐标及抛物线的对称轴.
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∵ 抛物线????=????????2?2?????????8????≠0与????轴交于点???? ，
∴ 当????=0时，????=?8 ，
∴????0,?8 .
∵?????2????=??2????2????=1 ,
∴ 抛物线????=????????2?2?????????8????≠0的对称轴为直线????=1 .
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专题训练
（2）当????>0时，抛物线上有两点2,????1，????,????2，若????1>????2，求???? 的取值
范围.
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由（1）得,抛物线????=????????2?2?????????8????≠0的对称轴为直线????=1 ，
∵????>0，∴ 当????<1时，????随????的增大而减小；当????>1时，????随???? 的增大而
增大.
∵ 点2,????1?关于直线????=1的对称点为0,????1? ，
∴ 当????1?>????2时，0?
（3）若?????????2,????1，????????,????2，????????+3,????3 都在抛物线上，是否存在实
数????，使????1不存在，请说明理由.
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∵????=????????2?2?????????8=?????????12??????8 ,
∴ 抛物线的顶点坐标为1,??????8 .
∵????1∴ 抛物线开口向下，∴????<0 .
当????=?????2 时，
????1?=?????????22??2????(?????2)?8=????????2?6????????+8?????8 ；
当????=????时，????2?=????????2?2?????????8 ；
当????=????+3时，????3=????????+32?2????(????+3)?8=????????2+4????????+3?????8 .
①若????1解得????<12 ；
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②若????3解得????>?12 ；
③若????1解得????<2 .
综上所述，存在实数???? ，使得????1∴????的取值范围为?12?
2.[2025浙江中考]已知抛物线????=????2?????????+5(????为常数)经过点1,0 .
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（1）求???? 的值.
?
把1,0代入????=????2?????????+5 ，
得1?????+5=0,解得????=6 .
?
（2）过点????0,????与????轴平行的直线交抛物线于????,????两点，且点????为线段????????
的中点，求???? 的值.
?
由（1）知二次函数的表达式为????=????2?6????+5 .
抛物线的对称轴为直线????=3 .
因为点????的坐标为0,????,且点????为线段???????? 的中点，
所以设点????????,????,则点????2????,???? .
?
如图（1），由对称性可得????+2????2=3 ，
解得????=2 ,
当????=2时，????=22?6×2+5=?3 .
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（3）设????<3与????轴平行的直线????1,????2之间.若直线????1,????2之间的距离为16,求????????? 的最大值.
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如图（2）,因为????=????2?6????+5=?????32?4 ,
所以抛物线的顶点坐标为3,?4 .
因为抛物线的一段????=????2?????????+5????≤????≤???? 夹在平
行线????1，????2之间，且????<3所以下方的直线不能在顶点3,?4 上方.
因为直线????1，????2 之间的距离为16,
?
所以要使?????????最大，则????1经过顶点3,?4 ,
?
此时????2为直线????=12 .
当????=12时，?????32?4=12 ,
解得????1=?1,????2=7 ,
所以?????????的最大值为7??1=8 .