专题三 中考五大重难题型-题型五 几何探究题 课件(共43张PPT)-2026年中考数学二轮专题复习

(共43张PPT)
2026年中考数学二轮专题复习
大单元整合专题三 中考五大重难题型
题型五 几何探究题
解题大招
1.[2024贵州25题12分]
综合与探究:如图, ,点在的平分线上,于点 .
. .
（1）【操作判断】
如图（1）,过点作于点,根据题意在图（1）中画出 ,图中
的度数为____度.
. .
（2）【问题探究】
如图（2）,点在线段上,连接,过点作交射线于点 .
求证: .
（3）【拓展延伸】
点在射线上,连接,过点作交射线于点,射线 与射
线相交于点,若,求 的值.
【大招点拨】识别题干信息：【操作】【探究】 【延伸】.
①找特征：根据，判断该题的特征是“角平分线 垂直”.
②找模型：根据[2]画出 ，进而解决第（1）问.利用角平分线的性质和
“手拉手”模型（链接本书【专题一遍过】第126页）找到全等三角形，逐
步证明第（2）问中线段之间的关系.
请依据①②的讲解完成第（1）、（2）问的解答.
. .
（1）【操作判断】
如图（1）,过点作于点,根据题意在图（1）中画出 ,图中
的度数为____度.
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画图如图（1）所示.
图（1）
. .
（2）【问题探究】
如图（2）,点在线段上,连接,过点作交射线于点 .
求证: .
图（2）
证明：如图（2），过点作于点 ．
由题意知，四边形 是矩形，
点在的平分线上，， ，
，
矩形 是正方形，
， .
，
.
，
，
，
，
．
图（2）
【大招点拨】识别题干信息：【操作】【探究】 【延伸】.
③找结构：本题中的“不变结构”是点在 的平分线上.
④类比解决：迁移第（2）问中辅助线的作法，应用到第（3）问.先按
题目要求分情况讨论并画出图形，再作辅助线找相似三角形,进而可求
得线段的比值.
请依据③④的讲解完成第（3）问的解答.
（3）【拓展延伸】
点在射线上,连接,过点作交射线于点,射线 与射
线相交于点,若,求 的值.
图（3）
第1步：考虑“点在线段 上”这一种情况，并
作辅助线
①当点在线段上时，如图（3），延长 ，
交于点 .
第2步：利用线段关系找全等三角形
由（2）知， ，
设，则， ．
.
， ，
，
.
图（3）
第3步：在相似三角形中，利用线段间的数量关系，得出结论
易得， ，
，
， .
第4步：考虑“点在 的延长线上”这一情况，并作辅助线
图（3）
图（4）
②当点在的延长线上时，如图（4），过点 作
于点，并延长交于点 ．
第5步：类比第2步，找全等三角形
由（2）知，四边形 是正方形，
， ， .
，
.
，
，
，
.
设，则 ，
， .
图（4）
第6步：类比第3步，在相似三角形中，利用线段间的数量关系，得出结
论
， ，
，即 ， .
， ，
，
， .综上，的值为
．
图（4）
针对训练
2.[2025贵阳南明区模拟]
【试题改编】
（1）小聪同学将教材习题进行了如下改编：
如图（1），四边形是正方形，是一个等边三角形，连接 ，
则____ .
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【解析】解法提示： 四边形 是正方形，
， .
是等边三角形，
， ，
， ，
.
【深入探索】
（2）小悦同学接着小聪同学所编的题目继续进行改编：如图（2），点
在正方形内部，且是一个等边三角形，此时发现点 恰好在
上.
提出问题：你能证明 吗？
证明： 四边形 是正方形，
， .
和 是等边三角形，
，， ，
， ，
， ，
.
，
.
【能力升华】
（3）老师看到小聪和小悦编的题后，非常高兴，稍作思考，也提出一个
问题：在正方形中，点在正方形内部，且 是一个等边三角形，
以为边作等边三角形，连接，，直接写出 的值．
的值为 或1.
【解析】解法提示：分以下两种情况进行讨论.
①如图（1），当点在正方形的外部时，过点
作于点 ，
设 ，
由（2）知，， ，
，
， ，
，
，
.
②如图（2），当点在正方形 的内部时，
和 是等边三角形，
.
四边形 是正方形，
，
，
，
.
，
，
， .
综上所述，的值为 或1．
1.劳动课上，同学们创造性地选用铁皮代替锅来烙一块与铁皮形状、大
小相同的饼．
图 （1）
图 （2）
图 （3）
图 （4）
专题训练
（1）【操作发现】
小红找到一块如图（1）所示的等腰三角形的铁皮，饼烙好一面后将其翻
身，这块饼正好落在“锅”中，利用的数学原理是___.
B
A.三角形的稳定性
B.等腰三角形是轴对称图形
C.三角形的内角和等于
（1）【操作发现】
小红找到一块如图（1）所示的等腰三角形的铁皮，饼烙好一面后将其翻
身，这块饼正好落在“锅”中，利用的数学原理是___.
B
A.三角形的稳定性
B.等腰三角形是轴对称图形
C.三角形的内角和等于
（2）【思考操作】
如图（2），小红找到一块直角三角形的铁皮．如果饼烙好一面后将其翻
身，那么这块饼不能正好落在“锅”中．小红将饼切了一刀，然后将两小块
都翻身，结果饼就能正好落在“锅”中，请你在图中作出“切痕”（尺规作图，
保留作图痕迹，不写作法）.
如图（1）， 即为所画切痕.
图（1）
（3）【拓展延伸】
如图（3），小星拿到一块既不是等腰三角形也不是直角三角形的铁
皮．小星只切3刀，也能使饼翻身后，正好落在“锅”中．用两种不同方法
画出“切痕”，写出切割的依据；
如图（4），小星最后拿到一块凸四边形 铁皮．他能否在四边形内部
取一点，使切法满足，，， ．让烙
饼翻身仍能正好落在“锅”中？写出推理过程．
图 （3）
图 （4）
图（2）
方法一：如图（2）所示，作于点，点,
分别是,的中点，连接, ，分成四个等腰三
角形，则,, 即为所画切痕.
依据：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
图（3）
方法二：如图（3）所示，分别作，， 的垂
直平分线交于点，连接，， ，分成三个等
腰三角形，则,, 即为所画切痕.
依据：三角形的外心到各顶点的距离相等.
不存在点，使，， ，
．
图（4）
证明：如图（4），假设在凸四边形 内部存在
一点 ，
，，， ，
， ，
， .
，
.
，
，与题干相矛盾，
假设不成立，
不能在凸四边形内部取一点，使切法满足， ，
，
2.[2025河南中考]在中,点是的平分线上一点,过点 作
,垂足为点,过点作,垂足为点,直线,交于点 ,过
点作,垂足为点 .#1
图（1） 图（2）
（1）观察猜想
如图（1）,当为锐角时,用等式表示线段,, 的数量关系:_____
__________.
图（1）
（2）类比探究
如图（2）,当 为钝角时,请依据题意补全图形（无需尺规作图）,并判
断（1）中的结论是否仍然成立.若成立,请证明;若不成立,请写出正确结论,
并证明.
图（2）
图（1）
补全图形如图（1）所示.
不成立,正确结论为 .
图（2）
证明：如图（2），过点作,垂足为点 .
, .
平分, .
, ,
,
.
, ,
,
四边形是矩形, ,
.
（3）拓展应用
当 ,且 时,若,请直接写出 的值.
或 .
解法提示：分两种情况讨论.
图（3）
①当 为锐角时，如图（3），可知
.
，， ，
， ，
故可设，， ，
.
， ，
.
又 ，
，
.
图（4）
②当 为钝角时，如图（4），可知
.
同理可证 ，
故可设，， ，
.
同理可证 ，
.
综上可知，的值为或 .