【2025秋人教九上数学情境课堂教学课件】 24.1.2 垂直于弦的直径(主题情境：任务二：设计面积等分线)(共31张PPT)

(共31张PPT)
人教版九上 数学
同步课件
1.理解圆的轴对称性．
2.探索并证明垂径定理及其推论.
3.学会运用垂径定理及其推论解决有关的证明、计算和作图问题．
任务一：制作圆形卡纸(两个)
任务二：设计面积等分线
任务三：安装转盘指针
为了给下周举办的数学班会制作活动道具，小琳和小梅需要制作桌面抽奖转盘。
核心情境
上节课，小琳和小梅已经制作了转盘所需的圆形纸片，本节课我们需要作平分圆形纸片的等分线.
小琳和小梅商量后决定通过折叠的方式完成.
任务二：设计面积等分线
折叠圆形纸片
第四步将折叠的纸片打开，得到将面积等分的折痕.
第一步
第二步
第四步
第三步
沿折痕画线段，对每一等份扇形涂上不同颜色作区分，再依次写上数字1-8.
画线、涂色并写数字
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
通过折叠圆形纸片的过程，你发现了什么？
问题1
因为对称轴是直线，而直径是线段，所以不能说圆的直径是圆的对称轴.
点击播放视频
你能证明发现的这个结论吗？
问题2
如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.
要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线 (对称轴)的对称点也在圆上．
C
D
A
O
证明：过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′.
在△OAA′中，
∵OA=OA′，
∴△OAA′是等腰三角形.
又∵AA′⊥CD，
∴AM=MA′.
即CD是AA′的垂直平分线.
如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.
对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线对称.即：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
C
D
A
O
A′
∟
M
从以上的证明过程中，能得到哪些结论？
观察与思考
C
D
A
O
A′
∟
M
=
=
AM=A'M
平分的弧包括优弧和劣弧
CD 是⊙O 的直径，CD⊥AA'于点M
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
归纳总结
通过学习垂径定理，文字语言描述如下：
·
O
D
E
A
B
C
一条直线若满足:
①过圆心
②垂直于弦
则：
③平分弦
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
已知①②
可推出
③④⑤
猜想：已知①③
？
②④⑤
猜想1 如果有一条直径平分一条弦，那么这条直径就能垂直于这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧.
图示：
被平分的弦是直径
·
O
D
A
B
C
·
O
D
E
A
C
B
·
O
D
E
A
B
C
·
O
D
E
A
B
C
被平分的弦不是直径
猜想1 如果有一条直径平分一条弦，那么这条直径就能垂直于这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧.
图示：
·
O
D
A
B
C
反例：
O
D
·
A
B
C
直径虽然平分弦但不垂直于弦
所以猜想1不成立，我们不妨要求被平分的弦不能是直径，提出猜想2再来研究一下是否成立
猜想2 如果有一条直径平分一条不是直径的弦，那么它就能垂直于这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧.
已知：如图，CD 是⊙O 的直径，AE=BE.
求证：CD ⊥AB于点E ，
= ， =
C
D
A
O
B
∟
E
证明： 连接 AO、BO，则 AO = BO.
在△OAB中，∵OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形.
∵AE=BE，
∴OE⊥AB于点E，即CD⊥AB于点E.
∴
= ， =
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
·
O
D
A
C
B
∵ CD 是⊙O 的直径，CD平分AB，
∴ CD ⊥ AB，
数学语言：
通过学习垂径定理，文字语言描述如下：
·
O
D
E
A
B
C
一条直线若满足:
①过圆心
②垂直于弦
则
③平分弦
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
已知①②
可推出
③④⑤
可推出
已知①③
②④⑤
？
猜想：已知①④
②③⑤
请自主完成其它猜想
一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件，就可以推出其他三条结论，称为知二得三(知二推三).
①过圆心；
②垂直于弦；
③平分弦；
④平分弦所对的优弧；
⑤平分弦所对的劣弧.
垂径定理
归纳总结
C
D
A
O
A′
∟
M
例1 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
①过圆心 ②垂直于弦
是
O
A
B
C
不是，
因为没有垂直.
是
A
B
D
C
O
E
不是，
因为CD没有过圆心.
A
B
O
C
D
E
∟
A
B
O
E
C
∟
∟
例2 赵州桥(如右图)是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1 400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶. 它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
37
7.23
弓形高：弧中点到弦的距离
解：如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为 O，半径为 R.
经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC，D 为垂足，OC 与 相交于点C，连接OA. 根据垂径定理，D是AB的中点，C 是 的中点，CD 就是拱高.
由题设可知
AB=37，CD=7.23，
所以
AD = AB= ×37=18.5，
OD=OC-CD=R-7.23.
D
C
O
A
B
R
∟
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2= AD2+OD2，
即
R2 =18.52+(R-7.23)2.
解得
R ≈ 27.3 .
因此，赵州桥的主桥拱半径约为 27.3 m.
D
C
O
A
B
R
∟
结论：有中点，连圆心
1.如图，P是⊙O内一点，且⊙O的半径为5，OP=3，则经过点P的弦的长度最短为 ( )　
A．7 B．8
C．9 D．10
·
O
P
B
2.(2023陕西)陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图. AB是⊙O的一部分，D是 的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知AB = 24 cm，碗深CD =8 cm，则⊙O的半径OA为( )　
图②
图①
A．13 cm B．16 cm
C．17 cm D．26 cm
A
3. 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为 5 cm，油面宽 AB 为 6 cm，如果再注入一些油后，油面宽变为 8 cm，则油面 AB上升了(　　)
A．1cm B．3cm
C．3cm或4 cm D．1cm或7cm
D
点拨：上升的过程中油面宽度为8cm不止是一个时刻. 注意圆中的多种情况.
4. (传统文化)在中国传统建筑中，“圆”早就有着广泛的运用，例如最具代表性的园林中的月亮洞门(圆弧形洞门)，如图是它的简单示意图，AB为⊙O的直径，若DF＝200厘米，CD＝EF＝25厘米，CD，AB，EF均垂直于地面，则该月亮洞门的最高点A距离地面的长AB为多少米？
解：如图，连接CE交AB于点G，连接OC，
由题意易得四边形CDFE为矩形，
∴OG⊥CE，CE＝DF.
G
设⊙O的半径为r，在Rt△OCG中，
CG＝EG＝ CE＝100，OG＝r－CD，
∵CG2＋OG2＝CO2，
∴1002＋(r－25)2 ＝ r2，
解得r＝212.5厘米．
∵212.5厘米＝2.125米，
∴最高点A距离地面的长AB为2.125×2＝4.25米．
G
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
圆的对称性
垂径定理
垂直于弦
的直径
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论
①连半径；②作弦的垂线
目的:构造直角三角形，运用勾股定理解题.
一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件，就可以推出其他三条结论，称为知二得三(知二推三).
①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
“知二推三”
辅助线作法
垂直于弦
的直径
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