【2025秋人教九上数学情境课堂教学课件】 24.1.3 弧、弦、圆心角(主题情境：任务三：安装转盘指针)(共29张PPT)

(共29张PPT)
人教版九上 数学
同步课件
1.理解圆的中心对称性和旋转不变性.
2.掌握圆心角的概念及弧、弦、圆心角之间的关系.
3.能运用弧、弦、圆心角之间的关系定理解决相关问题.
任务一：制作圆形卡纸(两个)
任务二：设计面积等分线
任务三：安装转盘指针
为了给下周举办的数学班会制作活动道具，小琳和小梅需要制作桌面抽奖转盘。
核心情境
前两节课通过小琳和小梅制作转盘过程学习了圆的相关知识.
本节课我们要给等分好的转盘安装指针，并将转盘固定在支架上.
任务三：安装转盘指针
如果是你，你会怎么制作指针？
制作指针
1.用卡纸剪一个等腰三角形，并作两底角的角平分线，标记交点；
2.用图钉将等腰三角形交点和圆形纸片的圆心固定，并固定在支撑架上；
3.将做好的转盘转动，调试.
以下是她们商量好的制作步骤：
还记得中心对称图形的定义吗？
中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
在测试转盘的过程中，观察转动的转盘.
通过观察⊙O的旋转过程，发现⊙O绕着点O旋转180°以后能够与原来的图形重合，所以圆是中心对称图形，圆心是旋转中心.
.
O
A
B
180°
问题1
圆是中心对称图形吗？如果是，你能指出它的对称中心吗？
问题2
把圆绕圆心旋转任意一个角度，仍与原来的圆重合吗？
通过观察图①、图②的旋转过程，发现把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，所以圆具有旋转不变性.
O
α
·
图①
图②
将等分的转盘抽离成如下的数学图形，观察下图：
抽离
思考1
∠AOB有什么特征？
①∠AOB的顶点在圆心上；
②∠AOB的两条边与圆相交.
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
将等分的转盘抽离成如下的数学图形，观察下图：
思考2
图中的角、弦、弧有什么关系？
抽离
①圆心角∠AOB，对应一条弦AB，对应一条弧AB.
②弦AB ，对应一个圆心角∠AOB，对应两条弧，
优弧AB，劣弧AB.
③弧AB，对应一个圆心角∠AOB，对应一条弦AB.
注意：一条弧所对的圆心角只有一个 ，
一条弧所对的弦只有一条.
将等分的转盘抽离成如下的数学图形，观察下图：
可以发现：
①
② AB=A′B′
=
O
A
B
A′
B′
抽离
思考3
在⊙O中，当圆心角∠AOB= ∠A′OB′时，它们所对的弧 和
、弦AB和A′B′相等吗？为什么？
我们把∠AOB连同 绕圆心O旋转，使射线OA与OA′重合.
O
A
B
A′
B′
∵∠AOB=∠A′OB′，
∴射线OB与OB′重合.
又∵OA=OA′，OB=OB′，
∴点A与点A′重合，点B与点B′重合.
因此 与 重合，AB与A′B′重合.
即 = ，AB=A′B′.
你还有其他证明方法吗？
在制作过程中转盘部分破损，小琳打算修补转盘，拿出和转盘大小一样的纸片，剪出其中一个扇形，重新固定到转盘中.
修补转盘纸片
探究
如何保证剪下来的扇形纸片和转盘中的缺失部分完全重合呢？
只要保证剪下来的扇形纸片的圆心角和缺失部分扇形的圆心角度数相等就好啦！
你知道这是为什么吗？
探究
如何保证剪下来的扇形纸片和转盘中的缺失部分完全重合呢？
如下图所示，⊙O和⊙O′是半径相等的圆，当∠AOB＝∠CO′D时：
O ′
C
D
O
A
B
AB=CD， = .
定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
归纳总结
在同圆或等圆中：①圆心角相等；②弧相等；③弦相等
已知：①
可推出
②③
猜想1：②
？
①③
根据圆的旋转不变性可得猜想1和猜想2都是成立的
猜想2：③
①②
？
定理
注意：弧包括优弧和劣弧
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
∠AOB=∠A'OB'
在同圆或等圆中
知一推二
AB=A'B'
弧AB=弧A'B'
弧、弦、圆心角之间的关系
归纳总结
拓展思考 定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如果丢掉了“同圆或等圆”这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.
A
B
O
D
C
分析：如图，∠DOC=∠AOB，
但两圆半径不同，故DC≠AB，弧DC≠弧AB.
A
B
C
O
例 如图，在⊙O中， = ，∠ACB=60°.
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形．
又∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA.
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
证明：
∵ = ，
变式 如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AD＝BC.
求证：AB＝CD．
O
A
C
B
D
证明：∵AD=BC，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴AB = CD.
1. 下列图形中的角是圆心角的是( )
B
A
B
C
D
2. (万唯原创)如图，AB，CD是☉O的两条直径，E是劣弧 的中点，连接AE，若∠BAE＝52°，则∠DOA的度数是( )
A．48° B．38°
C．28° D．26°
提示：连接OE.
C
3. 如图，在⊙O中，A，B，C，D是⊙O上的点，AD是⊙O的直径，B是 的中点，若∠AOC＝120°，则∠AOB＝________，∠BOC＝________，∠COD＝______， 的大小关系为__________，AB与CD的数量关系为_________．
60°
60°
60°
AB＝CD
4. 如图，小明根据在同一圆中圆心角、弧、弦三个量之间的关系认为，若∠AOB＝2∠COD，则 ，AB＝2CD，你认为小明的想法是否正确？并说明理由．
解：小明的想法不完全正确，若∠AOB＝2∠COD，则 ，
但AB ≠ 2CD. 理由如下：
如解图，取 的中点E，连接AE，BE，OE，
∴ ，
∴ ，∠AOE＝∠BOE＝∠COD，
∴ AE＝BE＝CD，∠AOB＝2∠COD.
E
∵AE＋BE > AB，
∴2CD > AB，
∴小明的想法不完全正确．
4. 如图，小明根据在同一圆中圆心角、弧、弦三个量之间的关系认为，若∠AOB＝2∠COD，则 ，AB＝2CD，你认为小明的想法是否正确？并说明理由．
E
圆心角
相等
弧
相等
弦
相等
在同圆或等圆中：
顶点在圆心的角叫做圆心角.
圆心角的定义
弧、弦、圆心角
弦、弧、圆心角
的关系定理
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