【2025秋人教九上数学情境课堂教学课件】 24.2.2.2 切线的判定和性质(共24张PPT)

(共24张PPT)
人教版九上 数学
同步课件
1. 会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
2. 理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.
3. 能运用圆的切线的判定定理和性质定理进行计算与证明.
快速转动雨伞时飞出的水珠，用砂轮打磨工件时擦出的火花，都和圆是什么位置关系？
都与圆相切.
根据直线与圆的位置关系，判定切线的方法有哪些？
①与圆只有一个交点；
②圆心到直线的距离等于半径.
还有什么其他的方法吗？本节课我们就一起来探索切线的判定与性质.
思考 如图，在 ⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和 ⊙O 有什么位置关系？
l
O
A
∵OA为⊙O的半径，且OA⊥l，
∴圆心 O 到直线 l 的距离d=r，
∴直线 l 为⊙O的切线.
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
数学语言：
∵OA为⊙O的半径且直线 BC⊥OA于点A，
∴直线BC与⊙O相切，切点为A.
归纳总结
A
B
C
O
切线的判定方法：
(1)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.
(2)数量关系法：到圆心的距离等于半径的直线是圆
的切线.
(3)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
方法总结
A
B
C
O
例1 下列命题中，真命题是(　　)
A. 垂直于半径的直线是圆的切线
B. 经过半径外端的直线是圆的切线
C. 经过切点的直线是圆的切线
D. 圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
D
①OA 为 ⊙O 的半径
②BC⊥OA 于点 A
③BC 为 ⊙O 的切线
切线的判定定理：
如果将①和③作为已知条件，能否推出②的结论呢？下面我们用之前学习的反证法一起证明一下.
A
B
C
O
已知：OA 为 ⊙O 的半径，BC 为 ⊙O 的切线.
证明：假设 BC 与 OA 不垂直，
过点 O 作OM⊥BC；
根据垂线段最短， 得 OM即圆心到直线 BC 的距离<⊙O 的半径OA，
因此，BC 与 ⊙O 相交.
这与已知条件“直线BC与 ⊙O 相切”相矛盾；
所以假设不成立，即 BC 与 OA 垂直.
求证：BC⊥OA .
A
B
C
O
M
A
l
O
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
OA 为 ⊙O 的半径
直线 l 与 ⊙O 相切于A
直线 l ⊥OA
应用条件：
归纳总结
例2 如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与 ⊙O相切于点 D. 求证：AC 是 ⊙O 的切线.
B
O
C
D
A
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只需要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了，而OD是⊙O的半径，因此需要证明OE=OD.
证明：如图，过O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.
∵⊙O 与 AB 相切于点 D，
又∵△ABC 为等腰三角形，O 是 BC 的中点，
∴ AO 是∠BAC的平分线.
∴ OE = OD，即OE是⊙O的半径.
这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与⊙O相切.
B
O
C
D
A
∴OD⊥ AB.
交点不确定时，要作垂直，证半径
E
变式 如图，直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，且 OA = OB，CA = CB.
求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
O
B
C
A
证明：如图，连接 OC .
∵ OA = OB，CA = CB，
∴ OC 是等腰△OAB 底边 AB 上的中线，　
∴ OC⊥AB.
∵OC 是 ⊙O 的半径，
∴ AB 是 ⊙O 的切线.
判定切线的常见辅助线作法：
1.已知交点时，连半径，证垂直；
2.交点不确定时，作垂直，证半径.
温馨提示
1. (2024山西)如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD，若∠AOD=80°，则∠C的度数为(　　)
A. 30°
B. 40°
C. 45°
D. 50°
D
O
B
A
C
D
2. 如图，PB 切☉O 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ☉O 的半径是_______.
O
P
B
A
切线性质题目做法：
主要是构造直角三角形，把问题转化为勾股定理，解直角三角形的问题.
在解决有关圆的切线问题时，常常需要作过切点的半径.
温馨提示
3
分析：如图，连接 OB，
则∠OBP = 90°.
设☉O 的半径为 r，
则OA = OB = r，
OP = OA + PA = r + 2.
在 Rt△OBP 中，OB2 + PB2 = OP 2，
即 r2 + 42 = (r + 2)2.
解得 r = 3，即☉O 的半径为 3.
3.如图，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的☉O与AD相切于点E，求证：AB与☉O相切.
A
B
C
D
E
O
G
解：如图，连接OE，过点O作OG⊥AB于点G，
∵☉O与AD相切于点E，∴OE⊥AD，
∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线，
∴∠BAC=∠DAC=45°，∴OE=OG，
∵OE为☉O的半径，
∴OG为☉O的半径，
∵OG⊥AB，∴AB与☉O相切.
4.(选择条件开放)如图，AB是⊙O的直径，DC切⊙O于点D，OC交AD于点E，连接AC、BD.
(1)①CO⊥AD；②CO//BD；③
请从以上三个条件中选择一个：_____________________，证明AC是⊙O的切线.
②CO//BD(答案不唯一)
A
B
C
D
E
O
分析：连接OD ，根据平行线的性质得到∠B=∠AOC，∠BDO=∠COD，求得∠AOC=∠COD，根据全等三角形的性质得到∠OAC=∠ODC，根据切线的判定定理得到结论；
解：(1)选择②CO//BD，
证明：连接OD，
∵DC切⊙O于点D，∴∠ODC=90°，
∵CO//BD，∴∠B=∠AOC，∠BDO=∠COD，
∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠AOC=∠COD，
在△AOC与△DOC中，
∴△AOC≌△DOC(SAS)，∴∠OAC=∠ODC=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC是⊙O的切线.
A
B
C
D
E
O
(2)若AC是⊙O的切线，AC=4，AB=6，求BD的长.
A
B
C
D
E
O
(2)证明：∵AC是⊙O的切线，DC切⊙O于点D，∴AC=CD，
∵OA=OD，∴OC垂直平分AD，∴OC⊥AD，AE=DE，
∵AB是⊙O的直径，∴∠CAO=90°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵OA=OB，∴
圆的切线垂直于过切点的半径.
切线的判定
和性质
1.定义法；2.数量关系法；3.判定定理.
判定
性质
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
有切线时常用辅助线添加方法:
见切线，连切点，得垂直.
常用作辅助
线的方法
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