【2025秋人教九上数学情境课堂教学课件】 24.2.2.3 切线长定理及三角形内切圆(共27张PPT)

(共27张PPT)
人教版九上 数学
同步课件
1.探索并证明切线长定理.
2.了解三角形的内切圆、内心的概念.
3.会运用切线长定理进行计算与证明.
4.能用尺规作图：作三角形的内切圆.
前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知⊙O和⊙O外一点 P，你能过点 P 画出⊙O 的切线吗？
O.
P
A
B
我们发现，过圆外一点可以作圆的两条切线，那么这两条切线之间有什么关系呢？
作图依据：
直径所对的圆周角是直角.
如图，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与☉O相切，经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.
①切线是直线，不可度量；
②切线长是切线上切点与切点外另一点之间的线段的长，可以度量.
温馨提示
P
O
A
B
探究 如图，PA，PB是☉O的两条切线，切点分别为A，B. 在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
PA=PB，∠APO=∠BPO.
接下来我们一起来证明一下这个结论.
证明：如图，连接OA和OB.
∵PA和PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
又OA=OB，OP=OP.
∴Rt△AOP ≌ Rt△BOP(HL).
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
P
O
A
B
已知：如图，PA，PB是☉O的两条切线，切点分别为A，B.
求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
应用条件:
数学语言:
∵PA、PB是☉O的两条切线，A，B为切点
∴PA=PB，∠APO=∠BPO
P
O
A
B
归纳总结
例1 下列说法正确的是(　　)
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
C
思考 如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？
分析：要作的这个圆的圆心到三角形三条边的距离都等于半径，而我们以前学过，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离都相等.
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
M
N
D
作法：
1.作∠ABC 和∠ACB的平分线BM 和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC，垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
A
B
C
O
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
B
A
C
O
☉O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心，△ABC是☉O的外切三角形.
归纳总结
例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13. 求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x，则AE=x.
CD=CE=AC-AE=13-x，
BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD + CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14.
解得 x=4.
因此 AF=4，BD=5，CE=9.
变式 如图，△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，☉O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则☉O的面积为______(结果保留π).
A
C
B
E
F
D
O
π
解析：连接OE、OF，
∵AC=3，BC=4，∠C=90°，∴AB=5，
∵☉O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，
∴EB=DB，CE=CF，AD=AF，OE⊥BC，OF⊥AC，
又∵∠C=90°，OF=OE，∴四边形ECFO为正方形，
∴设OE=OF=CF=CE=x，∴BE=4-x，FA=3-x，
∴DB=4-x，AD=3-x，
∴AB=AD+DB=3-x+4-x=5，解得x=1，
则☉O的面积为π.
求三角形内切圆的问题，一般的作辅助线的方法为：
一是连顶点、内心产生角平分线；
二是连切点、内心产生半径及垂直条件.
温馨提示
例3 如图，在△ABC中，∠A=76°，点 I 是△ABC的内心，求∠BIC的度数.
A
B
C
I
解：连接IB，IC.
∵点 I 是△ABC的内心，
∴BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB.
在△IBC 中，
三角形内切圆 定义 三角形内心 定义 性质 角度关系
位置 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心位置均在三角形内部，等边三角形的内心外心重合.
与三角形各边都相切的圆叫做三角形内切圆.
三角形三条角平分线的交点，叫做三角形内心.
三角形的内心到三角形三条边的距离相等.
归纳总结
1.下列说法错误的是(　　)
A. 三角形有且只有一个内切圆
B. 等腰三角形的内心一定在它的底边的高上
C. 三角形的内心不一定都在三角形的内部
D. 若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC
C
三角形的内心都在三角形的内部，但是垂心不一定在三角形的内部，钝角三角形的垂心和中心都在它的外部.
2.如图，周长为15cm的三角形纸片ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆☉O，他先沿着与☉O相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE，已知AC=4cm，则三角形纸片BDE的周长是( )
A. 9cm B. 8cm C. 7cm D. 随直线DE的变化而变化
C
解析：如图，设△ABC与☉O相切于点M、N、F，
DE与☉O相切于点G．
∴AM=AF，BM=BN，CF=CN，DM=DG，EN=EG，
∴△BDE的周长=BD+BE+DE=BD+BE+DM+EN=BM+BN，
而AC=AF+CF=AM+CN=4cm.
∴l△BDE=BM+BN=l△ABC-AC-AM-CN=15-4-4=7cm.
M
N
F
G
3.(2023淄川)等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆半径为( )
A. 6 B. C. D. 3
C
分析：首先，过点A作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形三线合一的性质与勾股定理求出AF的长，求出△ABC的面积；
然后，过点O分别作三角形三边的垂线，连接OA，OB，OC，设△ABC内接圆的半径为r，将△ABC的面积分为△AOB、△BOC和△AOC三部分，用含r的代数式表示出△ABC的面积；
最后，根据两种方法求出的面积相等，列等式求出r的值.
O
A
B
C
F
G
E
归纳总结
对于任意的△ABC，S为△ABC的面积，a、b、c分别是△ABC的三边长，l为△ABC的周长，r为△ABC内接圆的半径，那么
4.(2024自贡)在Rt△ABC中，∠C=90°，☉O是△ABC的内接圆，切点分别为D，E，F.
(1)图①中三组相等的线段分别是CE=CF，AF=______，BD=______；若AC=3，BC=4，则☉O的半径长为________.
(2)如图②，延长AC到点M，使AM=AB，过点M作MN⊥AB于点N，求证：MN是☉O的切线.
AD
BE
1
O
C
F
A
B
E
D
图①
O
C
F
A
B
E
D
N
M
图②
(2)证明：如图，连接OD，OE，OF，OA，OM，ON，OB，
过点O作OG⊥MN于点G，
设☉O的半径为r，
∵MN⊥AB，∴∠ACB=∠ANM=90°，
∵∠CAB=∠NAM，AM=AB，
∴△CAB≌△NAM，
∴S△CAB=S△NAM，AC=AN，BC=MN，
∵☉O是△ABC的内接圆，切点分别为D，E，F，
∴OD=OE=OF=r，
G
∴
同理，
∴
∴OG=r，
∴OG是☉O的半径，
∵OG⊥MN，
∴MN是☉O的切线.
G
三角形内切圆的相关概念
切线长定理和
三角形内切圆
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
三角形内切圆作辅助线的方法：
①连顶点、内心产生角平分线；
②连切点、内心产生半径及垂直条件.
P
O
A
B
B
A
C
O
PA=PB，∠APO=∠BPO.
三角形的内切圆
圆的外切三角形
三角形的内心
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