【2025秋人教九上数学情境课堂教学课件】 24.3 正多边形和圆(共27张PPT)

(共27张PPT)
人教版九上 数学
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1.了解正多边形的有关概念及正多边形与圆的关系.
2. 会应用正多边形和圆的有关知识进行相关计算并解决实际问题.
3. 掌握正多边形的画法: 一是量角器等分圆周；二是用尺规作图等分圆周.
我们知道，各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，利用正多边形，也可以得到许多美丽的图案. 你还能举出一些这样的例子吗？
探究 正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
接下来，我们就一起以圆内接正五边形为例证明.
如图，把 ⊙O 分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形 ABCDE .
(1) 填空：
∵ ，
∴____=____=____=____=____，
∴ =___ =______，
∴∠A_____∠B；
AB
BC
CD
DE
EA
＝
3
·
A
O
E
D
C
B
·
A
O
E
D
C
B
由上述过程可得∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
⊙O是正五边形ABCDE的外接圆.
如图，把 ⊙O 分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形 ABCDE .
(2) 这个五边形 ABCDE 是正五边形吗？简单说说理由.
1. 正多边形的外接圆的圆心，叫做正多边形的中心.
2. 外接圆的半径叫做正多边形的半径.
3. 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心角度数为
4. 中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.
归纳总结
例1 如图，有一个亭子，它的地基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的周长和面积 ( 结果保留小数点后一位 ).
C
D
O
E
F
A
抽象成
B
解：如图，连接OB、OC，因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此，亭子地基的周长 l=6×4=24(m).
作 OP⊥BC ，垂足为 P，在 Rt△OPC 中，
OC=4m， ，利用勾股定理，
可得边心距
亭子地基的面积
O
4 m
A
B
C
D
E
F
P
r
变式 如图，⊙O的半径为 ，⊙O内接一个正多边形，边心距为1，求它的中心角、边长、面积.
解：连接OB，
∵在Rt△AOC中，AC= ，
∴AC=OC，∴∠AOC=∠OAC=45°，
∵OA=OB，OC⊥AB，
∴AB=2AC=2，∠AOB=2∠AOC=90°，
∴这个圆内接正多边形是正方形.
∴面积为22=4，∴中心角为90°，边长为2，面积为4.
思考 正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？
正四边形
正五边形
正六边形
正八边形
正n边形
中心角
A
B
C
D
E
F
O
半径r
边心距r
正多边形边数 内角 中心角 外角
3
4
6
n
60°
120°
120°
90°
90°
90°
120°
60°
60°
正多边形的外角=中心角
归纳总结
2.作边心距，构造直角三角形.
1.连半径，得中心角；
O
A
B
C
D
E
F
R
M
r
·
O
边心距r
边长一半
半径R
C
M
中心角一半
圆内接正多边形的辅助线
归纳总结
实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关. 要制造如图中的零件，也需要等分圆周.
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形. 我们以作一个边长为1.5 cm的正六边形来举例.
利用这种方法，可以画出任意的正n边形.
O
60°
作法：
1. 以1.5 cm为半径作一个⊙O；
2. 用量角器画一个等于 的圆心角，它对着一段弧；
3. 在圆上依次截取与这条弧相等的弧， 得到圆的6个等分点；
4. 顺次连接各分点，即可得到正六边形.
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作. 例如，我们也可以这样来作正六边形.
O
R
作法：
1. 任意作出圆的一条半径R交⊙O于点A；
2. 以点A为圆心，R为半径画弧，交⊙O于点B；
3.以点B为圆心，R为半径画弧，交⊙O于点C，以此类推；
4. 顺次连接A、B、C、D、E、F，即可得到半径为 R 的正六边形.
C
A
B
E
D
F
作图依据：正六边形的边长等于半径.
O
作法：
1. 任意作出圆的一条直径AB；
2. 分别以点A、B为圆心，大于二分之一R为半径画弧，在直径两端分别交于两点C、D；
3.连接C、D，直线CD交圆于E、F两点；
4. 顺次连接A、E、B、F，即可得到正方形.
A
B
C
D
E
F
正方形也是特殊的正多边形，请同学们回忆正方形的特殊性质，并利用正方形的特殊性质作一个正方形？
作图依据：正方形的对角线互相垂直平分.
例2 如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，请用直尺和圆规在图上作出⊙O的圆内接正八边形(保留必要的作图痕迹).
O
A
B
C
D
1. 连接AB、CD；
2. 分别以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OC于点M、N；
3.分别以点M、N为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点P，连接OP并延长交⊙O于点E、F；
4.同样的方法作出∠BOC的角平分线并延长交⊙O于点G、H；
5.顺次连接点B、G、C、E、A、H、D、F、B，得到圆内接正八边形.
M
N
P
F
E
G
F
1.(2024济宁)如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为( )
A. 1 B. 2
C. D.
C
D
O
E
F
A
B
D
2.(2024南京)如图，在正n边形中，∠1=20°，则n的值是( )
A. 16 B. 18
C. 20 D. 36
B
1
3.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC、OD，则∠BAE-∠COD=________．
4.如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，BD为⊙O内接正十二边形的一边，若CD＝ ，则⊙O的半径为________．
2　
A
B
D
C
E
O
36°　
解析：如图，连接OB、OC、OD，则OB=OC=OD，
∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠BOC=120°，
∵BD是⊙O内接正十二边形的一边，∴∠BOD= =30°，
∴∠DOC=∠BOC-∠BOD=90°，
∴△DOC是等腰直角三角形，∴OD= CD=2.
5. (2023山西)蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形，如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放置在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点. 若点P，Q的坐标分别为( ，3)，(0，-3)，求点M的坐标；
O
Q
P
M
x
y
设正六边形的边长为a，
∵∠ABC=120°，∴∠ABO=60°，
∵∠AOB=90°，∴∠BAO=30°，
∴OB= ，OA= ，
∴AC=CE= ，OF=OB+BF= .
∵点P，Q的坐标分别为( ，3)，(0，-3)，
∴ =3，即a=2，∴OE=OC+CE= ，EM=2，
∴点M的坐标为( ，-2)
解：如图，在平面直角坐标系中标记点A、B、C、E、F的位置，连接PF.
O
Q
P
M
x
y
A
B
C
F
E
一、指出图中正方形的
内切圆，外接圆，
中心、半径、边心距、中心角.
外接圆
内切圆
半径
边心距
中心
中心角
二、圆内接正多边形的辅助线作法：
1. 连半径，得中心角；
2. 作边心距，构造直角三角形.
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