【2025秋人教九上数学情境课堂教学课件】 24.4.1 弧长和扇形面积 (共26张PPT)
文档属性
| 名称 | 【2025秋人教九上数学情境课堂教学课件】 24.4.1 弧长和扇形面积 (共26张PPT) |
|
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-11 19:12:53 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
人教版九上 数学
同步课件
1. 能推导弧长和扇形面积的计算公式.
2. 会利用弧长和扇形面积的计算公式解决问题.
3. 在弧长和扇形面积计算公式的探究过程中，感受转化、类比的数学思想.
我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分，如何计算圆周长呢？
计算出圆周长后，我们又该如何计算弧长呢？它与圆周长有怎样的关系呢？本节课让我们一起来探究吧.
问题1 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几
(1) 圆心角是180°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的______.
O
R
180°
(2) 圆心角是90°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的______.
O
R
90°
(3) 圆心角是45°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_______.
(4) 圆心角是n°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_______.
O
R
45°
O
R
n°
注意：
1.用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义：n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
2.也可以用 表示 的长.
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为
归纳总结
例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度L. (结果取整数)
因此所要求的展直长度 L≈2×700+1570=2970 (mm).
答：管道的展直长度为2970 mm．
解：由弧长公式，可得 的长
变式 如图所示的扇形中，已知OA=20，AC=40， 的长为40，则 的长为_________.
120
A
B
O
C
D
解析：设∠AOB=n°，
∵ 的长为40，则 ，
解得
∴ 的长为
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
如图，绿色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几？
O
R
90°
圆心角占
周角的比例 扇形面积占
圆面积的比例 扇形的
面积
=
O
R
180°
O
R
45°
O
R
n°
半径为 R 的圆中，圆心角为 n° 的扇形面积是
公式中 n 的意义：n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的.
归纳总结
问题3 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
O
R
n°
O
R
n°
可以用弧长表示扇形面积：
其中 l 为扇形的弧长，R为半径.
例2 某扇形的圆心角为 72°，面积为 5π，则此扇形的弧长为( )
A. π
B. 2π
C. 3π
D. 4π
B
例3 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.3 m. 求截面上有水部分的面积 ( 结果保留小数点后两位 )．
O
分析：连接圆心与弦两端，得到扇形，有水部分面积等于扇形面积减三角形面积．
解：如图，连接 OA，OB，作弦 AB 的垂直平分线，垂足为 D，交 于点 C，连接 AC.
∵OC = 0.6 m，DC = 0.3 m，
∴OD = OC - DC = 0.3(m).
∴OD = DC.
又 AD⊥DC，
∴AD 是线段 OC 的垂直平分线.
∴AC = AO = OC.
O
A
B
C
D
从而∠AOD = 60°，∠AOB = 120°.
有水部分的面积
O
A
B
C
D
O
D
E
C
B
A
变式 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.9 m，求截面上有水部分的面积.
解：连接OA、OB，
由题意得，OA=OB=OC=0.6m，CE=0.9m，
∴OE=CE-OC=0.9-0.6=0.3m，
∵AB⊥CD，∴AE=BE，∠BEO=90°，
在Rt△BEO中，OB=2OE，∴∠OBE=30°，
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=120°.
由勾股定理得，
∴截面上有水部分的面积
O
D
E
C
B
A
O
小于圆面积的一半
弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积公式
O
大于圆面积的一半
归纳总结
C
1.(2023安徽)若扇形AOB的半径为6，∠AOB=120°，则 的长为( )
A. 2π B. 3π C. 4π D. 6π
2.(2024山西)如左图是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，右图是其几何示意图(阴影部分为花窗)，通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA=1m，点C、D分别为OA、OB的中点，则花窗的面积为
_________m2.
A
C
O
D
B
3.(2024兰州)“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中☉M，☉N的半径分别是1cm和10cm，当☉M顺时针转动3周时，☉N上的点P随之旋转n°，则n=________.
108
M
N
P
4.(2024诸暨)如图，半圆O的直径AB=2，弦CD//AB，∠CAD=30°，
(1)求弧CD的长；
解：(1)连接OC、OD，
∵∠CAD=30°，∴∠COD=60°，
∵半圆O的直径AB=2，∴OC=1，
∴弧CD的长为
(2)求阴影部分的面积(结果保留π).
(2)∵CD//AB，∴S△OCD=S△ACD，
∴阴影部分的面积=扇形OAC的面积=
扇形面积计算公式：
弧长和
扇形面积
O
B
A
弧
扇形
弧长计算公式：
弓形面积计算公式(割补法)：
S弓形=S扇形-S三角形，S弓形=S扇形+S三角形
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同步课件
1. 能推导弧长和扇形面积的计算公式.
2. 会利用弧长和扇形面积的计算公式解决问题.
3. 在弧长和扇形面积计算公式的探究过程中，感受转化、类比的数学思想.
我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分，如何计算圆周长呢？
计算出圆周长后，我们又该如何计算弧长呢？它与圆周长有怎样的关系呢？本节课让我们一起来探究吧.
问题1 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几
(1) 圆心角是180°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的______.
O
R
180°
(2) 圆心角是90°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的______.
O
R
90°
(3) 圆心角是45°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_______.
(4) 圆心角是n°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_______.
O
R
45°
O
R
n°
注意：
1.用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义：n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
2.也可以用 表示 的长.
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为
归纳总结
例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度L. (结果取整数)
因此所要求的展直长度 L≈2×700+1570=2970 (mm).
答：管道的展直长度为2970 mm．
解：由弧长公式，可得 的长
变式 如图所示的扇形中，已知OA=20，AC=40， 的长为40，则 的长为_________.
120
A
B
O
C
D
解析：设∠AOB=n°，
∵ 的长为40，则 ，
解得
∴ 的长为
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
如图，绿色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几？
O
R
90°
圆心角占
周角的比例 扇形面积占
圆面积的比例 扇形的
面积
=
O
R
180°
O
R
45°
O
R
n°
半径为 R 的圆中，圆心角为 n° 的扇形面积是
公式中 n 的意义：n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的.
归纳总结
问题3 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
O
R
n°
O
R
n°
可以用弧长表示扇形面积：
其中 l 为扇形的弧长，R为半径.
例2 某扇形的圆心角为 72°，面积为 5π，则此扇形的弧长为( )
A. π
B. 2π
C. 3π
D. 4π
B
例3 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.3 m. 求截面上有水部分的面积 ( 结果保留小数点后两位 )．
O
分析：连接圆心与弦两端，得到扇形，有水部分面积等于扇形面积减三角形面积．
解：如图，连接 OA，OB，作弦 AB 的垂直平分线，垂足为 D，交 于点 C，连接 AC.
∵OC = 0.6 m，DC = 0.3 m，
∴OD = OC - DC = 0.3(m).
∴OD = DC.
又 AD⊥DC，
∴AD 是线段 OC 的垂直平分线.
∴AC = AO = OC.
O
A
B
C
D
从而∠AOD = 60°，∠AOB = 120°.
有水部分的面积
O
A
B
C
D
O
D
E
C
B
A
变式 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.9 m，求截面上有水部分的面积.
解：连接OA、OB，
由题意得，OA=OB=OC=0.6m，CE=0.9m，
∴OE=CE-OC=0.9-0.6=0.3m，
∵AB⊥CD，∴AE=BE，∠BEO=90°，
在Rt△BEO中，OB=2OE，∴∠OBE=30°，
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=120°.
由勾股定理得，
∴截面上有水部分的面积
O
D
E
C
B
A
O
小于圆面积的一半
弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积公式
O
大于圆面积的一半
归纳总结
C
1.(2023安徽)若扇形AOB的半径为6，∠AOB=120°，则 的长为( )
A. 2π B. 3π C. 4π D. 6π
2.(2024山西)如左图是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，右图是其几何示意图(阴影部分为花窗)，通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA=1m，点C、D分别为OA、OB的中点，则花窗的面积为
_________m2.
A
C
O
D
B
3.(2024兰州)“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中☉M，☉N的半径分别是1cm和10cm，当☉M顺时针转动3周时，☉N上的点P随之旋转n°，则n=________.
108
M
N
P
4.(2024诸暨)如图，半圆O的直径AB=2，弦CD//AB，∠CAD=30°，
(1)求弧CD的长；
解：(1)连接OC、OD，
∵∠CAD=30°，∴∠COD=60°，
∵半圆O的直径AB=2，∴OC=1，
∴弧CD的长为
(2)求阴影部分的面积(结果保留π).
(2)∵CD//AB，∴S△OCD=S△ACD，
∴阴影部分的面积=扇形OAC的面积=
扇形面积计算公式：
弧长和
扇形面积
O
B
A
弧
扇形
弧长计算公式：
弓形面积计算公式(割补法)：
S弓形=S扇形-S三角形，S弓形=S扇形+S三角形
Thanks!
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