【2025秋人教九上数学情境课堂教学课件】 微专题8　切线的判定(共13张PPT)

(共13张PPT)
人教版九上 数学
同步课件
一阶　方法分类练
【解题通法】
判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
方法1：若圆与直线有明确的交点：只需“连半径，证垂直，得切线”.
证垂直时通常利用圆中关系得到90°角，常用方法有：利用平行转化得
90°角、利用等角代换得90°角、利用全等证明得90°角等.
方法1　有交点→连半径，证垂直
一、利用平行证垂直
例1 　如图，AB为☉O的直径，C，D为☉O上不同于A，B的两点，且位于
AB异侧，连接AC，DB，过点C作CE⊥DB交DB的延长线于点E，交AB的
延长线于点F，∠ABD＝2∠BAC. 求证：CF是☉O的切线.
例1题图
证明：如解图，连接OC，
则∠BOC＝2∠BAC，
∵∠ABD＝2∠BAC，
∴∠ABD＝∠BOC，
∴OC∥BD，
∵CE⊥BD，
∴OC⊥CE，
∵OC为☉O的半径，
∴CF是☉O的切线.
解图
二、利用等角代换证垂直
例2 　如图，Rt△ABC内接于☉O，∠ACB＝90°，过点O作OD⊥AB，交
AC于点E，连接CD，且∠D＝2∠BAC. 求证：CD是☉O的切线.
例2题图
证明：如解图，连接OC，
∵OD⊥AB，
∴∠BOD＝90°，
∴∠BOC＋∠COD＝90°.
∵∠BOC＝2∠BAC，∠D＝2∠BAC，
∴∠BOC＝∠D，
∴∠D＋∠COD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
即OC⊥CD.
∵OC为☉O的半径，
∴CD是☉O的切线.
解图
三、利用全等证垂直
例3 如图，CA是以OA为半径的☉O的切线，切点为A，连接OC，过点A作
AB⊥OC，交OC于点D，交☉O于点B，连接OB，BC. 求证：CB是☉O的
切线.
例3题图
证明：∵CA是以OA为半径的☉O的切线，切点为A，
∴∠CAO＝90°，
∵OA＝OB，AB⊥OC，
∴∠COA＝∠COB，
在△CAO和△CBO中，
∴△CAO≌△CBO(SAS)，
∴∠CAO＝∠CBO＝90°，即OB⊥CB，
∵OB为☉O的半径，
∴CB是☉O的切线.
方法2：如果圆与直线没有明确的交点：通常“作垂直，证半径，得切线”.
证明垂线段的长等于半径的常用方法有：利用角平分线定理、利用等腰三
角形的三线合一等.
方法2　公共点不确定→作垂直，证半径
例4 　(定心卷改编)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为BC上一
点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，过点C作AO的垂线，交AO的延长
线于点D. 若∠ACD＝∠COD. 求证：AC是☉O的切线.
例4题图
证明：如解图，过点O作OE⊥AC于点E，
解图
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝∠COD，∠COD＝∠AOB，
∴∠AOB＝∠ACD，
∵∠ABO＝∠ADC＝90°，
∴∠BAO＋∠AOB＝90°，∠ACD＋∠CAD＝90°，
∴∠BAO＝∠CAD，
∴AD为∠BAC的平分线，
∵OE⊥AC，
∴BO＝OE，
∴OE为☉O的半径，
∴AC是☉O的切线.
例4题图
解图
二阶　综合训练
1. 如图，已知四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，点O是AB的中
点，∠COD＝90°，以点O为圆心，AB长为直径作圆☉O.
第1题图
证明：如解图，延长DO交CB的延长线于点E，过点O作
OF⊥CD，垂足为F，
第1题解图
∵点O是AB的中点，
∴AO＝BO，
又∵∠DAO＝∠CBO＝∠EBO＝90°，∠AOD＝∠BOE，
∴△ADO≌△BEO(ASA)，
解图
(1)求证：CD是☉O的切线；
∴DO＝EO，
证明：如解图，延长DO交CB的延长线于点E，过点O作OF⊥CD，垂
足为F，
第1题解图
∵点O是AB的中点，
∴AO＝BO，
又∵∠DAO＝∠CBO＝∠EBO＝90°，∠AOD＝∠BOE，
∴△ADO≌△BEO(ASA)，
解图
(1)求证：CD是☉O的切线；
∴DO＝EO，
∵∠COD＝90°，即CO⊥DE，
∴易得∠DCO＝∠BCO，
∴OF＝OB，
∴OF为☉O的半径，
∴CD是☉O的切线
第1题图
解：如解图，连接BM，
∵点M是OC的中点，∠OBC＝90°，
∴BM＝OC＝OM＝OB，
∴△BOM是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
(2)若OC与☉O的交点M是OC的中点，☉O的半径为2，求CD的长.
由(1)得∠DCO＝∠BCO，
∴∠DCO＝∠BCO＝30°，
∵☉O的半径OB＝2，
∴OC＝4，
解图
第1题图
∵∠DCO＝30°，设OD长为x，则CD长为2x，
在Rt△COD中，由勾股定理得，CD2＝OD2＋OC2，
即4x2＝x2＋16，解得x＝(负值舍去)，
∴CD＝.
解图
第1题图