11.5二次根式及其性质题型专练（含详解）2025-2026学年北京版2024八年级上册数学

11.5 二次根式及其性质
题型一 二次根式的识别
1．（24-25八年级下·湖南湘西·期中）下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列各式中，是二次根式有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（24-25八年级下·上海·假期作业）下列各式中，二次根式的个数有 （ ）
；；；；；．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型二 根据二次根式有意义的条件求参数范围
4．（24-25八年级下·北京·期中）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）下列函数中，自变量x的取值范围是的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
7．（24-25八年级上·北京顺义·期中）如果，那么x的取值范围 ．
8．（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列函数中自变量的取值范围：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型三 利用二次根式被开方数的非负性求值
9．（24-25八年级上·北京昌平·期中）若实数满足，则代数式的值是 ．
10．（2024八年级上·北京·专题练习）若最简二次根式与的被开方数相同，则a值为 ．
11．（12-13八年级下·山东聊城·期中）已知，则 ．
12．（23-24八年级下·北京·开学考试）已知，则的平方根是 ．
题型四 根据二次根式是整数求字母的值
13．（21-22八年级下·北京朝阳·期末）若是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．3 B．7 C．9 D．63
14．（21-22八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ．
15．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个．
16．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（ ）
A．11 B．12 C．15 D．19
题型五 求二次根式的值
17．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）当时，二次根式的值是 ．
18．（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求．
(1)______的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______；
(3)当时，求的值．
19．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值．
(1)．
(2)．
题型六 利用二次根式的性质化简
20．（24-25八年级下·北京丰台·期末）写出一个使式子“”成立的的值，这个值可以是 ．
21．（24-25八年级下·北京大兴·期中）下列各式化简错误的是（ ）
A． B． C． D．
22．（24-25八年级上·北京顺义·期中）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
23．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）已知 ，求代数式 的值．
24．（23-24八年级下·北京·期中）阅读下面的文字后，回答问题：
对题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同：
甲的解答：原式；
乙的解答：原式．
(1)你认为 的解答是错误的；
(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质 ；
(3)模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中．
题型一 数轴与二次根式的化简的综合运用
25．（24-25八年级下·北京朝阳·阶段练习）实数a、b在数轴上位置如图所示，则化简的结果（ ）
A． B． C． D．0
26．（23-24八年级上·北京昌平·期中）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ．

27．（23-24八年级下·北京昌平·期中）数轴上表示a，b两个数的点的位置如图所示：
化简：．
28．（21-22八年级下·北京昌平·阶段练习）实数，，在数轴上对应的点如图：

化简．
题型二 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式
29．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知三角形的三边分别为，其中两边满足，那么这个三角形的最长边的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
30．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题．
化简：
解：隐含条件，解得；
所以；
所以原式．
（1）按照上面的解法，化简： ；
（2）若，求的取值范围： ．
31．（20-21八年级下·江苏无锡·期中）已知a是的小数部分，则式子的值为 ．
32．（22-23九年级上·四川宜宾·期中）若式子化简的结果为，则x的取值范围是 ．
33．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）已知，则化简的结果是（ ）
A． B． C．－ D．
34．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知实数，满足，则的值为（ ）
A． B． C．10 D．18
题型三 复合二次根式化简求值
35．（20-21八年级上·北京门头沟·期中）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，那么便有．例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即
．
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）．
36．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察、思考、作解答：
，
反过来，．
，．
(1)仿照上述过程，化简：；
(2)若，直接写出与之间的关系．
37．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考
形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴．
仿照上面例题，解决下列问题．
(1)．
(2)．
(3)．
1．（23-24八年级下·北京·期中）（1）观察，计算，判断：（只填写符号：，，
①当，时，__________；
②当，时，__________；
③当，时，__________；…
（2）根据第（1）问，当，时，判断与的数量关系并证明，（提示：）
2．（23-24八年级下·北京大兴·期中）阅读材料，解答下列问题：
材料：已知，求的值．
小云同学是这样解答的：
，．
问题：已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
3．（23-24八年级下·北京·期中）已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值．
4．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题：
(1)化简： ， ；
(2)若，则x的取值范围为 ；
(3)已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简．
5．（23-24八年级上·北京延庆·期中）阅读材料：
小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简，
即：．
善于思考的小明进行了以下探索：
对于，若能找到两个数m和n，使且，则 可
变为，即变成，从而使得．
（其中a，b，m，n均为正整数）
例如：∵，
∴ ．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)化简；
(2)化简；
(3)若，求a的值．
6．（23-24八年级下·北京西城·期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
(1)比较和的大小；
(2)求的最大值和最小值．
11.5 二次根式及其性质
题型一 二次根式的识别
1．（24-25八年级下·湖南湘西·期中）下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可．
【详解】解：A、 ，被开方数为负数，无意义，不符合条件；
B、 ，根指数为2且被开方数，符合二次根式定义；
C、，，则，被开方数为负数，不符合条件；
D、，根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式条件；
故选：B．
2．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列各式中，是二次根式有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，一般地，形如的式子叫做二次根式，据此求解即可．
【详解】解：①：根指数为2，被开方数，是二次根式．
②：被开方数，无意义，不是二次根式．
③：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式．
④：被开方数为，当，即时才有意义．但题目未限定的范围，无法保证被开方数非负，故不是二次根式．
⑤：无论取何值，，被开方数恒正，是二次根式．
⑥：分母，被开方数恒正，是二次根式．
综上，符合条件的有①⑤⑥，共3个，
故选B．
3．（24-25八年级下·上海·假期作业）下列各式中，二次根式的个数有 （ ）
；；；；；．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的定义．根据二次根式的定义：式子叫做二次根式，逐一判断即可．
【详解】解：被开方数1.2是正数，满足条件，属于二次根式；
被开方数为，当时，无论y取何值，；当时，无论x取何值，被开方数为0，但若且，被开方数为负数，无意义，因此，该式子不属于二次根式；
无论m、n取何值，，恒成立，属于二次根式；
被开方数为，需才有意义，但题目未限定x的范围，无法保证非负，不属于二次根式；
配方得，被开方数恒为正，属于二次根式；
被开方数为，需才有意义，但题目未限定x的范围，无法保证非负，不属于二次根式；
故二次根式的个数有3个，
故选：B．
题型二 根据二次根式有意义的条件求参数范围
4．（24-25八年级下·北京·期中）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键．
根据二次根式有意义的条件解答即可．
【详解】解：由题意得，
解得：，
故选：D．
5．（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）下列函数中，自变量x的取值范围是的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查自变量的取值范围，熟练掌握分式，二次根式有意义的条件是解题的关键．根据分式，二次根式有意义的条件进行计算即可．
【详解】解：，，即，故选项A不符合题意；
，且，解得且，故选项B不符合题意；
，为任意实数，故选项C不符合题意；
，，即，故选项D符合题意；
故选D．
6．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】本题考查函数自变量有意义的条件，根据分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数解题即可．
【详解】解：由题可得：，，
解得：且，
故选：D．
7．（24-25八年级上·北京顺义·期中）如果，那么x的取值范围 ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，
根据二次根式的被开方数是非负数求解即可．
【详解】∵
∴，
∴．
故答案为：．
8．（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列函数中自变量的取值范围：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)全体实数；
(2)；
(3)；
(4)且．
【分析】（）根据为整式时自变量取值范围是全体实数；
（）根据含有分式时，分母不能为零即可；
（）根据含有二次根式时，被开方数大于等于零即可，
（）根据含有二次根式时，被开方数大于等于零，零指数幂底数不能为零即可；
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式，分式和零指数幂有意义的条件是解题的关键．
【详解】（1）根据题意可得，自变量的取值范围是全体实数；
（2）由题意，得，
解得；
（3）由题意，得，
解得；
（4）由题意，得，
解得且．
题型三 利用二次根式被开方数的非负性求值
9．（24-25八年级上·北京昌平·期中）若实数满足，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握非负数的性质，则，，求出，，进行计算，即可．
【详解】∵实数满足且，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
10．（2024八年级上·北京·专题练习）若最简二次根式与的被开方数相同，则a值为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式，解一元二次方程，根据题意列一元二次方程，求出根后，判断被开方数是否大于0，即可得出答案．
【详解】解：∵与的被开方数相同，
∴，即：，
解得：或，
时，，符合题意，
而时，，故不合题意，舍去，
故a值为．
故答案为：．
11．（12-13八年级下·山东聊城·期中）已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意得即可求解．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，
∴
∴
故答案为：
12．（23-24八年级下·北京·开学考试）已知，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，利用二次根式的意义解题是解题的关键．根据二次根式的意义得，解得，进一步得到，再利用平方根的定义，即得答案．
【详解】由题意，得，
解得，
，
，
即的平方根是．
故答案为: ．
题型四 根据二次根式是整数求字母的值
13．（21-22八年级下·北京朝阳·期末）若是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．3 B．7 C．9 D．63
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质即整数的意义判断解答．
【详解】解：∵63=7×9，
∴，
∵是整数，
∴正整数n的最小值是7，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的性质，整数的定义，正确理解整数的定义是解题的关键．
14．（21-22八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ．
【答案】或或
【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解．
【详解】解：由题意得，
解得，
∵n是正整数，
∴
∴，
∴，
∴，
∵是整数，
∴或或或或，
解得或或或或，
∵n是正整数，
∴或或，
故答案为：或或
【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键．
15．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个．
【答案】3
【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是整数，或或，
∴满足条件的正整数是或或．
即满足条件的正整数共有3个，
故答案为：3．
16．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（ ）
A．11 B．12 C．15 D．19
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．
根据二次根式的定义即可求出答案．
【详解】由题意可知：，
，
∵是整数，是正整数，
∴或7或8，
，
故选：D．
题型五 求二次根式的值
17．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）当时，二次根式的值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查二次根式求值，直接把代入二次根式，计算即可．
【详解】解：当时，
．
故答案为：3．
18．（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求．
(1)______的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______；
(3)当时，求的值．
【答案】(1)小亮
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
（1）根据二次根式的性质分析即可；
（2）根据二次根式的性质分析即可；
（3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴
，
当时，
原式，
∴小亮的解法是错误的；
（2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：，
当时，；
（3）解：∵，
∴，
∴原式．
19．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值．
(1)．
(2)．
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键．
（1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可．
（2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可．
【详解】（1）解：当 时，
；
（2）解： 当 时，
．
题型六 利用二次根式的性质化简
20．（24-25八年级下·北京丰台·期末）写出一个使式子“”成立的的值，这个值可以是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．根据二次根式的性质与化简得出，然后找出一个符合条件的值即可．
【详解】解：若，
则，
所以a的值可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
21．（24-25八年级下·北京大兴·期中）下列各式化简错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质逐项分析，即可求解．
【详解】解：A、，A选项运算正确，不符合题意；
B、，B选项运算正确，不符合题意；
C、，C选项运算正确，不符合题意；
D、，D选项运算错误，符合题意；
故选：D．
22．（24-25八年级上·北京顺义·期中）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质计算即可得解，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键．
【详解】解：，
故选：B．
23．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，利用二次根式的性质正确化简是解题的关键；先化简二次根式，再代入计算求值即可．
【详解】解：，
，
当时，原式．
24．（23-24八年级下·北京·期中）阅读下面的文字后，回答问题：
对题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同：
甲的解答：原式；
乙的解答：原式．
(1)你认为 的解答是错误的；
(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质 ；
(3)模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中．
【答案】(1)甲
(2)
(3)2
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
（1）（2）根据二次根式的性质去判断即可；
（3）根据二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴
，
∴甲的解答是错误的；
故选：甲；
（2）解：错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质，
故答案为：；
（3）解：
，
∵，
∴，，
∴原式．
题型一 数轴与二次根式的化简的综合运用
25．（24-25八年级下·北京朝阳·阶段练习）实数a、b在数轴上位置如图所示，则化简的结果（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】此题主要考查了利用二次根式的性质化简，实数与数轴之间的对应关系，解题关键是根据a，b在数轴上的位置判断各数的符号以及绝对值的大小．首先结合数轴确定，易得，然后再根据运算法则进行计算，即可获得答案．
【详解】解：由数轴可知，，
∴，
∴
，
故选：A．
26．（23-24八年级上·北京昌平·期中）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ．

【答案】
【分析】利用数轴判断出、的符号，并进一步确定出的符号；然后利用二次根式的性质，将二次根式化简，再合并同类项即可求得结果．
【详解】解：由数轴可知：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
27．（23-24八年级下·北京昌平·期中）数轴上表示a，b两个数的点的位置如图所示：
化简：．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、数轴，正确得出a，b的符号是解题关键．观察数轴可得，从而得到，再根据二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】解：由数轴可得，
，
．
28．（21-22八年级下·北京昌平·阶段练习）实数，，在数轴上对应的点如图：

化简．
【答案】
【分析】根据数轴上点的位置判断绝对值里式子的正负，利用绝对值和二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：由图可知：，
∴，，，，
∴
．
【点睛】此题考查了二次根式和绝对值的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
题型二 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式
29．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知三角形的三边分别为，其中两边满足，那么这个三角形的最长边的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由完全平方公式因式分解，再由二次根式性质化简得到，结合绝对值非负性及非负数和为零的条件求解即可得到，从而由三角形三边关系即可得到答案．
【详解】解：，
，则，
，
要使，则，
解得，
由三角形的三边关系可知，
是这个三角形的最长边，
，即这个三角形的最长边的取值范围是，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形三边关系、绝对值非负性、非负数和为零的条件、完全平方公式因式分解、二次根式性质等知识，熟记三角形三边关系、绝对值非负性、非负数和为零的条件、完全平方公式因式分解、二次根式性质等知识是解决问题的关键．
30．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题．
化简：
解：隐含条件，解得；
所以；
所以原式．
（1）按照上面的解法，化简： ；
（2）若，求的取值范围： ．
【答案】
【分析】本题考查了化简二次根式，绝对值，熟练掌握二次根式性质和二次根式有意义的条件，是解题的关键．
（1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可；
（2）先将化简为，然后分类讨论：当时，当时，当时，根据绝对值的意义分别化简，得出结论即可．
【详解】（1）∵二次根式有意义，
∴，即，
，
∴原式
；
（2），
∴，
当时，；
当时，；
当时，；
∴x的取值范围是．
31．（20-21八年级下·江苏无锡·期中）已知a是的小数部分，则式子的值为 ．
【答案】2
【分析】先用夹逼法估算，得出a的值，根据完全平方公式得出，再把a的值代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分为1，则，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，分母有理数，解题的关键是正确得出a的值，掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
32．（22-23九年级上·四川宜宾·期中）若式子化简的结果为，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质，将转化为：，分，和三种情况讨论，求解，根据化简的结果为，得出结论即可．
【详解】解：，
当时：原式，不满足题意；
当时：原式，不满足题意；
当时：原式，满足题意；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的性质，以及化简绝对值．熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．
33．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）已知，则化简的结果是（ ）
A． B． C．－ D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简；
由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简．
【详解】解：有意义，
，
，
又，
，
．
故选：A．
34．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知实数，满足，则的值为（ ）
A． B． C．10 D．18
【答案】A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式计算等．
首先根据平方根的定义确定x的值，再代入求出y的值，最后计算表达式的值．
【详解】解：∵和同时有意义，
∴且，
∴．
将代入，得．
∴．
故选A．
题型三 复合二次根式化简求值
35．（20-21八年级上·北京门头沟·期中）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，那么便有．例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即
．
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的、，即可求解．
【详解】解：（1）；
（2）．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用，掌握二次根式的性质以及完全平方公式是解题的关键．
36．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察、思考、作解答：
，
反过来，．
，．
(1)仿照上述过程，化简：；
(2)若，直接写出与之间的关系．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）模仿题干过程，得，故，即可作答．
（2）因为，则，即可作答．
【详解】（1）解：依题意
．
（2）解：∵，
∴，
即，．
37．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考
形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴．
仿照上面例题，解决下列问题．
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握复合二次根式化简的方法是解答本题的关键．
（1）仿照阅读材料中的方法计算即可；
（2）仿照阅读材料中的方法计算即可；
（3）仿照阅读材料中的方法计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
1．（23-24八年级下·北京·期中）（1）观察，计算，判断：（只填写符号：，，
①当，时，__________；
②当，时，__________；
③当，时，__________；…
（2）根据第（1）问，当，时，判断与的数量关系并证明，（提示：）
【答案】（1），，；（2）
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，
（1）把各组、的值分别代入和中计算可判断它们的大小公式；
（2）由于，然后利用完全平方公式展开，变形后可得到；
灵活运用二次根式的性质是关键．
【详解】解：（1）当，时，，，则；
②当，时，，，则；
③当，时，，，则；
故答案为：，，；
（2）；理由如下：
，
，
，
；
故答案为：；
2．（23-24八年级下·北京大兴·期中）阅读材料，解答下列问题：
材料：已知，求的值．
小云同学是这样解答的：
，．
问题：已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)1
(2)2
【分析】（1）利用例题的解题思路进行计算，即可解答；
（2）设，，然后利用（1）的结论可得：，从而进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，加减消元法，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】（1）解：
，
，
；
（2）解：设，，
由（1）得：，
解得：，
．
3．（23-24八年级下·北京·期中）已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值．
【答案】
【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，非负数的性质．由同类二次根式的定义和非负数的性质得出①，②，③，将①、②代入③得，求得，继而可得、，将分式化简、代入计算可得．
【详解】解：最简二次根式与可以合并，，
且、，
则①，②，③，
将①、②代入③，得：，
解得：，
、，
．
4．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题：
(1)化简： ， ；
(2)若，则x的取值范围为 ；
(3)已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质；
（1）根据化简即可；
（2）根据可知，解不等式即可；
（3）先根据数轴判断出，，再根据二次根式和绝对值的性质化简．
【详解】（1）解：，，
故答案为：2，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：由数轴得：，
∴，，
∴．
5．（23-24八年级上·北京延庆·期中）阅读材料：
小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简，
即：．
善于思考的小明进行了以下探索：
对于，若能找到两个数m和n，使且，则 可
变为，即变成，从而使得．
（其中a，b，m，n均为正整数）
例如：∵，
∴ ．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)化简；
(2)化简；
(3)若，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可；
（2）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可；
（3）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，则．
【点睛】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键．
6．（23-24八年级下·北京西城·期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
(1)比较和的大小；
(2)求的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)的最大值为2，最小值为
【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值．
【详解】（1），
，
而，，
，
；
（2）由，，得，
，
∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．
【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．