第二章 2.1.1倾斜角与斜率--人教A版高中数学选择性必修第一册教学课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
第二章　直线和圆的方程
2.1.1 倾斜角与斜率第1课时
数学
1.理解直线的倾斜角与斜率的概念；
2.了解直线的方向向量与直线的斜率的关系；
3.会求直线的斜率与倾斜角；
4.掌握确定直线的条件及直线倾斜角与斜率的取值范围.
思考:(1)在平面直角坐标系中,如何确定一条直线的位置
(2)在平面直角坐标系中,由一点能否确定一条直线
(3)如图,这些直线都过点P,它们之间有什么区别？
(1)两点或一点和方向;
(2)不能;
(3)方向不同.
探究一：直线的倾斜角
不同的方向(倾斜程度)必须是相对于同一个参照物而言的.怎样借助平面直角坐标系表示直线的方向呢
问题1:如何表示直线的方向
以x轴为基准,当直线l与x轴相交时形成了四个角,我们用其中哪个角表示直线的倾斜程度
设A,B为直线上的两点,则就是这条直线的方向向量；在平面直角坐标系中,我们规定水平的直线的方向向右,其他直线向上的方向为这条直线的方向.
这些直线相对于轴的倾斜程度不同，也就是它们与轴所成的角不同，因此可以利用
这样的角来表示这些直线的方向.
概念生成
当直线与轴相交时,我们以轴为基准,轴正向与直线向上的方向之间所成的角α叫做直线的倾斜角.
当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为.
因此,直线的倾斜角α的取值范围为≤α<.
90°
2.直线倾斜角 　　　 .　 　　　　　
1.下列图中标出的直线的倾斜角对不对 如果不对,请同学们找出正确的直线的倾斜角.
(1)不对,应该是与x轴正向所成角;
(2)不对,应该是x轴正向与直线向上方向所成角;
(3)不对,应该是直线向上方向与x轴正向所成角,不是y轴;
(4)不对,应该是直线向上方向与x轴正向所成角,不是y轴.
探究二：直线的斜率
问题2:由两点确定一条直线可知,直线上的两点与直线的倾斜角必有内在联系,
设直线的倾斜角为α.
(1)已知直线经过点倾斜角α与点的坐标有什么关系
(2)类似地,如果直线经过点倾斜角α与点的坐标又有什么关系
(3)一般地,如果直线经过两点,那么倾斜角α与的坐标有什么关系
如图,向量=(,1),且直线OP的倾斜角也为α.由正切函数的定义,有tan α=.
(1)已知直线经过点倾斜角α与点的坐标有什么关系
如图,=(-1-,1-0)=(-1-,1).平移向量,则点P的坐标为(-1-,1),且直线OP的倾斜角也是α.由正切函数的定义,有tan α==1.
(2)类似地,如果直线经过点倾斜角α与点的坐标又有什么关系
(3)一般地,如果直线经过两点,那么倾斜角α与的坐标有什么关系
如图,当向量的方向向上时,=.平移向量,则点P的坐标为,且直线的倾斜角也是,由正切函数的定义,有.
同理，当向量的方向向上时，也有.
当时,直线的倾斜角为,上式无意义.
直线的倾斜角与直线上的两点的坐标的关系为.
概念生成
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母表示,即
说明:(1)当时,正切值不存在,直线与轴垂直,斜率不存在;
(2)当时,直线的斜率都存在;
(3)如果直线过两点,那么直线的斜率公式为(≠).
问题3:当直线的倾斜角由逐渐增大到时,直线的斜率如何变化
1.当直线的倾斜角 从逐渐增加到时直线的斜率大于等于0，并且越来越大;
2.当倾斜角等于时，直线的斜率不存在;
3.当倾斜角从逐渐增加到时直线斜率小于 0，并且越来越大.
(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率. ( )
(2)倾斜角为的直线的斜率为 1. ( )
(3)若一条直线的倾斜角为 α，则它的斜率为 . ( )
(4)直线斜率的取值范围是. ( )
思考辨析
√
×
×
×
探究三：直线的方向向量与斜率
问题4:直线上的方向向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量,那么直线的方向向量与直线的斜率有什么关系呢
如果直线过两点直线的斜率为,则直线的方向向量则直线的斜率
结论:(1)若直线的斜率为,它的一个方向向量的坐标为,则;
当时,向量也是直线的方向向量，其坐标为 1,.
结论:(2)如果直线的斜率为,则它的一个方向向量的坐标为.
例1　如图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
解 线AB的斜率kAB=,
直线BC的斜率kBC==-,
直线CA的斜率kCA==1.
由kAB>0及kCA>0可知,直线AB与CA的倾斜角均为锐角;
由kBC<0可知,直线BC的倾斜角为钝角.
例2　已知直线l的斜率k的取值范围为[-1,1],求直线l的倾斜角α的取值范围.
解 (1)当直线l的斜率k∈[-1,0)时,
(2)当直线l的斜率k∈[0,1]时,
综上所述,直线l的倾斜角α的取值范围是{α|
练习 1.已知直线只经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
C
2. 如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(　　)
A.k1C.k3D
3.已知坐标平面内三点连接为上一动点，则直线斜率的变化范围是(　　)
A. B. C. D.
解析 如图，
,
因为D为上一动点，所以直线斜率的变化范围是.
故选D.
D
4.已知经过A(0,2),B(-1,0)两点的直线的方向向量为(1,k),求k的值.
解 ∵是直线的一个方向向量, =(-1-0,0-2)=(-1,-2),∴k==2.
确定直线位置的几何要素
直线的倾斜角
直线的斜率
直线的方向向量
必做：
课本练习第55页中第1、2、3、4、5题
习题2.1中第 1、2、3、4题
选做：习题2.1 7、8